Propiedades matemáticas de suma y multiplicación: unidad, asociatividad y elemento neutro., Guías, Proyectos, Investigaciones de Cálculo

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Índice

............................................................................................... 3 .................................................................................................................................... 3 ........................................................................................................ 4 ............................................................................... 4 ...................................................... 4 ................................................................. 12 ..................................................................... 18 .......................................................................................................................... 26 .............................................................................. 26 .................................................................................... 31 ........................................................................ 45 .............................................................................................................. 50 ......................................................................................................................... 50 ............................................................................................................ 51

 ^ ab | a b,  ,b 0 

 



x y,  x y

x y

x  ( y  z )  ( x  y )z x y z, , 

x  y  y x x y, 

0  x  0 x x

x  x x  ( x)  0

(i) x  ( y  z)  ( x  y ) z  x  y z

(^0)  x

0' x  0'x x

x 0 0  0'  0 0

0  0' 0' 0 0' x

x  ( y  z ) ( x  y )z x y z, ,  x  y y x x y,  1  1  0 x 1 x

x

x x 0 x^1  x x^1  1

x y· xy (v) x· ( y· z)  ( x· y)· zx· · yz

1 x^1

1' x 1' x x

x 1 1 1'  1 1 1 1'  1 '

1 1' x

x' x x'  1

x '  x '  1  x ' ( x  x ^1 )  ( x ' x)  x ^1  1 x 1 x^1 x 1 x'

x y z, ,  x  0 x y· x z· y z

𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑧 𝑥−^1 ∙ [𝑥 ∙ 𝑦]^ = 𝑥−^1 ∙ [𝑥 ∙ 𝑧] 𝑥𝑦 = 𝑥𝑧[𝑥−^1 ∙ 𝑥]^ ∙ 𝑦 = [𝑥−^1 ∙ 𝑥]^ ∙ 𝑧 1 ∙ 𝑦 = 1 ∙ 𝑧 𝑦 = 𝑧 x y. x z. y z

x y,  x·( y  z )  x· y x z·

( x y )  z  ( x  z )  ( yz)

x 0·x  0

(  x)   [ ( x)]  0 (  x)  x 0 ( x )   [ ( x)]  ( x ) x  ( x )x ( ) 0 [ ( )] 0 ( )

· · 0

Inverso aditivo Unicidad del producto Propiedad distributiva

y y x y y x xy x y

        

xy  ( xy )  0 xy  x(  y)  xy  ( xy) x(  y)  xy (  x y)  xy

( ) 0 ( ) [· ( )] ( ) 0· ( ) ( )( ) 0

Inverso aditivo Unicidad del producto Propiedad distributiva

y y x y y x x y x y

            

(  x y)  xy xy  ( x)(  y)  0  ( xy)  ( x)( y) (  x)(  y) xy

x  \ {0} n  {0] n x

x^ n  x· 1, xn 1 sisinn^ ^00

nveces xn  x  x n x x  0 0 n 0 n  0 00

m n,  { ] 0 x  \ {0} x m·^ xn^ x m^ n

 xm^ ^ nxnm

x (a) · veces veces ( )veces m n

m n m

n m x x n x x x x x x x            

(b)

  veces veces veces veces

n m (^) veces m n

n (^) m m n n

m m xm  x   x x   x   x   x  x x x

(a) x^1 (b)

 x^ ^1  n^  x^ n^ ^1 x^1 n

x y,  n  x n y 𝑛 √ (^) 𝑦= 𝑥 𝑥𝑛 (^) = 𝑦

x  0 P' x  0

x y,  x y y x x  yP x  y 0 x y y x x y, 

x y x y x y

x y z, ,  x y y z x z x y z  0 xz zy x y x  z  y z x y x y,  (^01) y^ ^1 x

(a) x y y z y  x z,  yP P ( y  x)  ( z  y)P z  x P x z (b) y  x z, P P ( y  x z) P yz  xz 0 xz yz (c) y  xP ( y  z) (x z)P ( y  z)  ( x  z)P x  z  y z x  0 x^1  0 x^1  0 1  x· x^1  0 x y,  P x^1 , y^1 P (b)

1 1 1 1 1 1 1 1

· · · 1·

1 · ·

inverso multiplica

por (ii) por (ii) Asociatividad e inv

ti erso multiplicati

vo vo

x y y

x

x y y x

y x x y x y

       



 

 

S  S x

x  n  n x x n

x 0  n x 0 n 

sup( )   1   1  m   1 m  m 1  m  1  sup( )

x y,  x  0 n  y nx y x  n^ 

y (^) n x  y nx

 (^46)  8

9 3  (^3)   3 2  (^9)   (^3) ^2  9

9  3

    x  x  x     x     x    0 x   ( ) 0 x  0 x·    x·(^   ) x  0 x·    x·(^   )

x x x 

x y,  x  y  x y

 x  0 y  0 x x y y x  y  x  y  x  y  x  0 y  0 x x y  y x y x  y 0 x  y  x  y  x y x  y 0

x  y    x  y   x  y  x y

x  y  x  y  x   y  x y

 x  0 y  0

 x  0 y  0 x  x y  y

x  y   x  y   x  y  x y

x  y  xy x y, 

x y,  x y· x ·y

 x  0 y^ ^0 x x y y x y·  x y· x ·y

 x  0 y^ ^0 x^ x y^  y xy^ ^0

xy   xy  x   yx ·y

 x  0 y  0  x  0 y^ ^0 x  x y  y xy^ ^0

x y ·  x y·   x   y x ·y

x y· x ·y x y, 

a b,  a b