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Matemáticas I

Lección 1: Números reales y complejos

Ramón Esteban Romero

14 de septiembre de 2016

Esquema

(^1) Números naturales, enteros, racionales y reales

(^2) Números complejos Forma binómica Forma polar Raíces de números complejos

Números naturales, enteros, racionales y reales

En Z es posible resolver cualquier ecuación de la forma x + a = b, pero no es posible resolver 4x = 2. Esto motiva la definición de números racionales a partir de fracciones

a b

con a, b ∈ Z, b 6 = 0:

Dos fracciones

a b

y

c d

son equivalentes, escrito

a b

c d

, cuando ad = bc. Dos fracciones equivalentes representan el mismo número racional. Identificaremos un número racional con una de las fracciones que lo representan.

Números naturales, enteros, racionales y reales

Dados dos números racionales a b

y c d

, se definen:

a b

c d

ad + bc bd

a b

c d

ac bd

Los resultados no dependen de las fracciones elegidas, sino solo del número racional que representan. Denotamos por Q el conjunto de todos los números racionales. Identificaremos un número entero n con el número racional n 1

De este modo, Z ⊆ Q. La ecuación ax = b con a, b ∈ Q, a 6 = 0, siempre tiene solución en Q.

Números naturales, enteros, racionales y reales

Los números racionales pueden ordenarse: Supongamos que

a b

c d

∈ Q con a, b, c, d ∈ Z, b > 0, d > 0. Entonces

a b

c d

si y solo si ad > bc.

Números naturales, enteros, racionales y reales

El conjunto de los números reales R posee dos operaciones + y · y un orden ≤. Es posible identificar los números reales con aquellos que admiten una expresión decimal, finita o infinita, por ejemplo:

π = 3 , 14159265358979323846264338327950288419716939937510...

Podemos identificar también los números reales con los puntos de una recta.

Números complejos

Forma binómica

Definición Dos números complejos a + bi y c + di son iguales si y solo si a = c y b = d.

Definición Si a + bi, c + di ∈ C, su suma y su producto se definen como

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (bc + ad)i.

Basta con aplicar las propiedades habituales de la suma y el producto y que i^2 = −1. Podemos identificar los números reales con los números con parte imaginaria 0: si a ∈ R, a = a + 0i.

Números complejos

Forma binómica

Definición El conjugado del número complejo z = a + bi es ¯z = a − bi.

Propiedades Supongamos que z, w ∈ C. Entonces: (^1) z¯¯ = z, (^2) z ∈ R si y solo si z = ¯z, (^3) z + w = ¯z + ¯w, (^4) z · w = ¯z · w.¯

Números complejos

Forma polar

Propiedades Si z, w ∈ C, entonces: |z| = 0 si y solo si z = 0 , |−z| = |z¯| = |z|, |Re(z)| ≤ |z|, |Im(z)| ≤ |z|, |z|^2 = z · ¯z, |z · w| = |z| · |w|, |z + w| ≤ |z| + |w| (desigualdad triangular).

Números complejos

Forma polar

Propiedad Si z ∈ C, z 6 = 0 , entonces

z−^1 =

|z|^2

¯z.

Propiedad

a + bi c + di

a + bi c + di

c − di c − di

(a + bi) · (c − di) c^2 + d^2

ac + bd c^2 + d^2

bc − ad c^2 + d^2 i.

Números complejos

Forma polar

Cualquier ángulo α que satisfaga la condición

cos α =

a |z|

, sen α =

b |z|

no necesariamente en ]−π, π], se denomina argumento de z. Dos argumentos de un número complejo no nulo se diferencian en un múltiplo de 2π. Todos los ángulos se medirán en radianes, no se indicará la unidad. Para pasar de grados sexagesimales a radianes, tendremos en cuenta que 2 π = 360 ◦.

Números complejos

Forma polar

α c

a b

sen α = b a

cos α = c a

tan α = sen α cos α

b c

Números complejos

Forma polar

− 2 − 1 1 2

− 2

− 1

1

2

α

cos(π − α), sen(π − α)

= (− cos α, sen α)

cos(α + π), sen(α + π)

cos(α − π), sen(α − π)

= (− cos α, − sen α)

cos(−α), sen(−α)

= (cos α, − sen α)

(cos α, sen α)

Números complejos

Forma polar

Por tanto,

a = |z| cos α, b = |z| sen α.

Definición Dado z = a + bi ∈ C con z 6 = 0, la forma polar de z es |z|α, donde α es un argumento de z.

Podemos sustituir α por α + 2 kπ para cualquier k ∈ Z, ya que dos argumentos de un número complejo se diferencian en un múltiplo de π.

Definición La expresión z = |z|(cos α + i sen α) se denomina forma trigonométrica de z.