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Asignatura: Matemàtiques, Profesor: hola ke ase, Carrera: Ingeniería tecnologías y servicios de Telecomunicación, Universidad: UAM
Tipo: Apuntes
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Contenido
Actividad 1.1 Resuelve manualmente la ecuación z^2 + 2z + 3 = 0. Sol. z = − 1 ±
2 i.
Actividad 1.2 Resuelve manualmente la ecuación z^2 + z + 1 = 0. Sol. z = − 12 + (^12)
3 i.
La representación en forma cartesiana^1 del complejo
z = a + bi
es un par ordenado de números reales
z = (a, b).
Ejemplo 1.3 Forma cartesiana y forma binómica.
Forma binómica Forma cartesiana z = 2 + 3i z = (2, 3) z = i z = (0, 1) z = 2 z = (2, 0) z = 2 − 3 i z = (2, −3) ¤
Actividad 1.3 Resuelve manualmente la ecuación z^2 + 2 = 0 y escribe las soluciones en forma cartesiana. Sol:
El módulo del número complejo
z = a + bi
es el número real |z| =
p a^2 + b^2.
Para el número complejo z = 2 + 3i,
obtenemos |z| =
p 22 + 3^2 =
Observa que si z es real, entonces el módulo coincide con el valor absoluto de la parte real. El argumento del complejo z = a + bi es el ángulo que forma el vector (a, b) con el eje OX+. El módulo puede interpretarse como el módulo del vector (a, b).
(^1) También se denomina forma rectangular.
La determinación del argumento es más complicada que la del módulo. Es preciso considerar cuatro casos distintos.
θ = arg z =
μ arctan
b a
Ejemplo 1.4 Calcula el módulo y el argumento de los complejos
z 1 = 1 + i, z 2 = −1 + i, z 3 = − 3 i.
Los módulos son
|z 1 | =
1 + 1 = 2, |z 2 | =
1 + 1 = 2, |z 3 | =
Para calcular el argumento, debemos tener en cuenta si la parte real es positiva, negativa o nula.
Un número complejo queda perfectamente determinado si conocemos su módulo r y su argumento θ
r = |z| , θ = arg z.
La representación en forma polar del número complejo es
z = (r)θ.
Ejemplo 1.6 Forma polar. Determina la forma polar de los siguientes números complejos
z 1 = 1 + i, z 2 = i, z 3 = − 0 .234 + 1. 231 i.
Expresa el argumento en radianes.
r 1 =
2 , θ 1 = arctan 1 = π/ 4 rad,
por lo tanto z 1 =
π/ 4 rad
r 3 = 1. 2530 , θ 1 = arctan
por lo tanto z 1 = (1.2530) 1. 7586 rad. ¤
Actividad 1.6 Determina la forma polar de los complejos del ejemplo an- terior, expresando el argumento en grados. Sol. z 1 =
45 o^ ;^ z^2 = (1)^90 o^ ;^ z^3 = (1.2530)^100.^76 o^.
Actividad 1.7 Determina la forma binómica de los siguiente complejos
z 1 = (1) 23 o , z 2 = (2) 1. 23 rad , z 3 = (1.24) 2. 45 rad.
Sol. z 1 = 0.9250 + 0. 3907 i; z 2 = 0.6685 + 1. 8850 i; z 2 = − 0 .9551 + 0. 7908 i.
Dado un número complejo z = (r)θ , su forma trigonométrica es
z = r (cos θ + i sin θ).
La forma trigonométrica combina la forma binómica y polar.
Actividad 1.8 Expresa en forma trigonométrica los siguientes números complejos.
z 1 = −1 + i, z 2 = i, z 3 = − 2 i, z 4 = 1 + i.
Sol. z 1 =
cos 34 π + i sin 34 π
, z 2 = cos π 2 + i sin π 2 , z 3 = cos − 2 π + i sin − 2 π , z 4 =
cos π 4 + i sin π 4
Dado un número real θ, la Fórmula de Euler define eiθ^ como
eiθ^ = (cos θ + i sin θ).
Si tenemos el número complejo en forma polar z = (r)θ , entonces su expre- sión en forma exponencial es z = reiθ.
Actividad 1.9 Expresa en forma exponencial los siguientes números com- plejos. z 1 = −1 + i, z 2 = i, z 3 = − 2 i, z 4 = 1 + i.
Sol. z 1 =
2 ei^
3 π (^4) , z 2 = ei^ π (^2) , z 3 = e−i^ π (^2) , z 4 =
2 e
π (^4).
2 Modo complejo
La calculadora puede manejar números complejos, para ello debemos activar el modo complejo en las opciones del [CAS] en [MODE].
Binómica z = a + bi. Cartesiana z = (a, b).
Polar z = (r)θ. Trigonométrica z = r (cos θ + i sin θ). Exponencial z = reiθ.
Una de las características más destacadas de la calculadora es que nos per- mite operar con números complejos expresados en distintos formatos. Para obtener el resultado en la forma binómica y cartesiana, debemos configurar el sistema de coordenadas en modo rectangular
Cuando el modo de coordenadas rectangular esta activo, aparece el indicador XYZ en la parte superior de la pantalla
Actividad 2.3 Activa el modo de coordenadas rectangular. Observa el in- dicador en la pantalla.
Si seleccionamos el modo de coordenadas polar
entonces el indicador de sistema de coordenadas es
Actividad 2.4 Activa el modo de coordenadas polar. Observa el indicador en la parte superior de la pantalla.
En el modo complejo exacto
la calculadora produce número complejos exactos como
2 +
3 i,
i.
Cuando la calculadora está en modo complejo exacto, aparece el indicador (C=) en la parte superior de la pantalla.
Actividad 2.5 Configura la calculadora en modo complejo exacto. Observa el indicador (C =) en la parte superior de la pantalla.
La presentación del complejo en la pila puede ser en forma binómica o car- tesiana según la configuración del flag 27.
Actividad 2.6 Fija el modo complejo exacto, el modo de coordenadas rec- tangular y activa el flag 27.
3 i operando desde la pila.
Parece ser que el flag 27 tiene un problema de funcionamiento cuando la calculadora está en modo exacto y la parte imaginaria es negativa. Para confirmarlo, realiza la siguiente actividad.
Actividad 2.7 Fija el modo complejo exacto; desactiva el flag 27.
Carga en la pila los complejos
1 − 3 i,
2 i, sin 2 + i sin 3, 1 −
2 i
Observa que los complejos con parte imaginaria negativa continúan en forma binómica
El problema desaparece cuando realizamos una evaluación decimal pulsando →[NUM].
Actividad 2.8 Fija el modo complejo aproximado, el sistema de coorde- nadas rectangular, el modo angular en grados sexagesimales. y el formato numérico estándar.
1 + i, i, 1 − i, −i,
obtendrás:
obtendrás:
entonces resulta:
Observa que ahora los argumento están expresado en radianes.
Actividad 3.1 Carga en la pila los números √ 3 , 1 /
5 , 0 .0023 + 0. 1745 i.
Evalúalos en forma decimal, pulsando →[NUM] si es necesario.
y pulsar [VIEW].
También puedes usar [TOOL][VIEW].
El submenu [ANGLE]
permite configurar el modo angular y el sistema de coordenadas. La opción [CYLIN] activa el sistema de coordenadas polares.
También en este caso, pulsando la tecla [NEXT] aparece una opción para volver al menú principal de configuración de modos.
