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Departamento de Matematica´ Casa Central
Ayuds. Sebasti´an Mor´an V. Noah Silva W. - Eduardo Soto M.
MAT 043 – TEOR´IA DE PROBABILIDAD Y ESTAD´ISTICA
Gu´ıa #06 - Complementaria
1. Modelos de Regresi´on Lineal Simple
- Un proceso de elaboraci´on de un producto consta de dos etapas que se realizan una tras otra sin interrupci´on. Para evaluar si el proceso se encuentra bajo control se selecciona una muestra de 250 productos, a los cuales se les midi´o las variables T 1 y T 2 que denotan el tiempo, en horas, que demor´o el proceso en la primera etapa y en total, respectivamente. La muestra obtenida fue:
N◦^ Prod. T 1 T 2 1 10,70 18, 2 17,88 30, 3 13,85 25, 4 16,17 28, .. .
Cantidades de inter´es:
∑^250
i= 1
T (^1) i = 3978 , 5000 ,
∑^250
i= 1
T (^2) i = 6771 , 2500
∑^250
i= 1
T (^12) i = 65780 , 2253 ,
∑^250
i= 1
T (^22) i = 187703 , 6609
∑^250
i= 1
T (^1) i T (^2) i = 110750 , 0093
a. ¿Qu´e puede decir respecto al grado de asociaci´on lineal existente entre los dos tiempos medidos? Responda utilizando un indicador adecuado. b. Plantee expl´ıcitamente el modelo de regresi´on que le permita estimar la duraci´on total del proceso a partir de lo que demor´o la primera etapa. Pronostique cu´anto se espera que demore el proceso de elaboraci´on de un producto cuya primera etapa demor´o 15 horas. c. La variable S = T 2 − T 1 denota el tiempo que demora la segunda etapa del proceso. i. Calcule su valor promedio junto con su desviaci´on est´andar. ii. ¿A cu´anto asciende el grado de asociaci´on lineal entre el tiempo de la primera y el de la segunda etapa del proceso?
- Se ha realizado un estudio para investigar el efecto de un determinado proceso t´ermico en la dureza superficial de una determinada pieza. Once piezas se seleccionaron para el estudio. Antes del trata- miento se realizaron pruebas de dureza para determinar la dureza de cada pieza. Despu´es, las piezas fueron sometidas a un proceso t´ermico de templado con el fin de mejorar su dureza. Al final del pro- ceso, se realizaron nuevamente pruebas de dureza y se obtuvo una segunda lectura. Se recogieron los siguientes datos (Kg. de presi´on):
Dureza Previa 172 222 181 190 138 239 265 203 231 470 252 Dureza Posterior 183 195 179 205 123 205 204 146 195 299 211 ∑ Previa = 2563 ,
Posterior = 2145 ,
Previa × Posterior = 534529 ∑ Previa^2 = 673093 ,
Posterior^2 = 437613 a. ¿Existe una asociaci´on lineal entre ambas variables? Justifique con un indicador adecuado. b. Suponiendo que es v´alido establecer relaci´on lineal entre ambas variables. Plantee el modelo que le permitir´a pronosticar la dureza superficial de una pieza despu´es de ser sometida al proceso de templado, a partir de la dureza inicial. c. Estime la dureza que se espera tenga una pieza tras ser sometida al proceso de templado, cuando su dureza inicial es de 241 Kg. de presi´on. Comente su resultado. ¿Es posible obtener el residuo de dicha estimaci´on? Calc´ulelo de ser posible.
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- El n´umero de ventas de un centro comercial de art´ıculos de camping tiene una influencia estacional. La tabla muestra el n´umero de ventas para 7 per´ıodos de a˜nos determinados:
t [per´ıodo] 0 1 2 3 4 5 6 Yt [No^ de ventas] 25 40 46 29 12 6 17
a. Determine, usando m´ınimos cuadrados, los coeficientes b 0 y b 1 suponiendo que el n´umero de ventas, en funci´on del per´ıodo, est´a determinado por Yt = b 0 + b 1 sin t. b. El porcentaje de la varianza de Yt explicado el modelo dado en (a) viene dado por el cociente:
t= 0 (Yt^ −^ Yˆt)
2 ∑ 6 t= 0 (Yt^ −^ Y) 2
que corresponde a una medida que cuantifica la calidad del modelo ajustado. ¿Qu´e porcentaje de la varianza de Yt explica el modelo? Comente e interprete su resultado.
- Seg´un los principios de la Termodin´amica la presi´on, P, de un gas, a diferentes valores de su volumen, V, se relacionan seg´un el modelo P Vβ^1 = β 0 donde β 0 y β 1 son par´ametros constantes. a. Hallar β 0 y β 1 usando el m´etodo de los m´ınimos cuadrados. b. La siguiente tabla muestra los valores experimentales de la presi´on P de un gas, correspondiente a diferentes valores de su volumen V.
V [pulg.^3 ] 54,3 61,8 72,4 88,7 118,6 194, P [b/pulg.^2 ] 61,2 49,5 37,6 28,4 10,2 10,
Estime P cuando V = 100 [pulg.^3 ].
- La fatiga es una forma de fractura que se produce en estructuras met´alicas sujetas a tensiones din´ami- cas o fluctuantes. El t´ermino fatiga es usado debido a que este tipo de fractura se produce normalmente despu´es de un periodo de tensiones c´ıclicas, las cuales se producen por el efecto de cargas repetitivas. A. W¨ohler introdujo las curvas S - N (Tensi´on - N´umero de ciclos) que llevan su nombre para descri- bir la relaci´on entre la amplitud de las tensiones c´ıclicas y el n´umero de ciclos para su ruptura. Los siguientes resultados muestran los logaritmos de la Tensi´on (log S ) y los logaritmos de los n´umeros de ciclos (log N) de los datos que se obtuvieron para analizar dicha relaci´on.
ln S 2,033 2,143 2,276 2,305 2,322 2,371 2,394 2,410 2,423 2,
ln N
6,032 5,776 5,640 5,362 5,041 4,954 4,929 4,924 4,898 4, 5,903 5,362 5,017 4,944 4,919 4,568 4, 5,104 5,000 4,914 4,
a. Determine el grado de asociaci´on lineal entre el logaritmo del n´umero de ciclos y el logaritmo de la tensi´on. b. El modelo de regresi´on lineal que permite pronosticar el logaritmo del n´umero de ciclos a partir del logaritmo de la tensi´on est´a dado por
ln N = β 0 + β 1 ln S
Encuentre los estimadores de β 0 y β 1 usando el m´etodo de los m´ınimos cuadrados. c. Pronostique el n´umero de ciclos cuando se tiene una tensi´on de 10.
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Ayuds. Sebasti´an Mor´an V. Noah Silva W. - Eduardo Soto M.
- Una empresa fabrica balanzas de precisi´on. La forma de determinar que ´estas se encuentran bien calibradas consiste en pesar un patr´on de 10 miligramos en una determinada cantidad de balanzas obtenidas de la l´ınea de producci´on. Suponga que las desviaciones detectadas respecto al valor objetivo en las balanzas elaboradas son distribuidos uniformemente entre -1 y 1. a. Si se prueban 497 balanzas, ¿cu´al es la probabilidad de que la suma de los errores exceda los 15 miligramos? b. ¿Cu´antas balanzas deben considerarse tal que el promedio de los errores en las balanzas examina- das se encuentre entre -0,01 y 0,01 miligramos con una probabilidad de al menos 99 %? (Suponga n → ∞)
- Mediante una encuesta realizada entre alumnos universitarios se sabe que 60 % de los estudiantes tie- ne un computador port´atil o uno en casa. Sea X la variable que representa el n´umero de estudiantes que poseen alg´un tipo de computador en un grupo de 1.100 alumnos entrevistados. Calcule aproxima- damente: a. ¿Cu´al es la probabilidad de que m´as de 670, pero a lo m´as 676 estudiantes, tengan alg´un tipo de computador en casa? b. ¿Cu´al es la probabilidad de que al menos 706 tengan alg´un un tipo de computador?
- Se ha comprobado que el tiempo de vida de ciertos componentes el´ectricos sigue una distribuci´on exponencial con media 10 a˜nos. Se selecciona una muestra aleatoria de 70 componentes: a. ¿Cu´al es la probabilidad de que el tiempo de vida promedio de las 70 componentes seleccionadas sea de al menos 7 a˜nos? b. ¿Cu´al es la probabilidad de que el tiempo de vida promedio de las 70 componentes sea superior a su tiempo esperado? c. Bajo el supuesto de muestra grande, ¿cu´antas componentes debiesen seleccionarse tal que la pro- babilidad de que el tiempo de vida promedio de las n componentes sea de al menos 9 a˜nos, el 95 % de las veces?
Respuestas
1. Modelo de Regresi´on Lineal
- a. Correl(T 1 ,T 2 ) = 0,9184. Buena asociaci´on lineal. b. Modelo: ̂T 2 = 7 , 777 + 1 , 213 T 1. Estimaci´on: T 1 = 15 ⇒ ̂T 2 = 25 , 976 c. i. S = 11 , 171 y Var(S ) = 3 , 1442 ii. Correl(T 1 , S ) = 0 , 3777
- a. Correlaci´on = 0, b. Modelo: Posterior̂ = 88 , 362 + 0 , 458 Inicial. c. Estimaci´on: I = 241 ⇒ ̂P = 198 , 661. No es posible calcular el residuo de esta estimaci´on.
- a. b 1 = 20 , 033, b 0 = 25 , 295 b. ∑ 6 t= 0 (Yt^ −^ Yˆt) (^2) = 22 , 451, ∑ 6 t= 0 (Yt^ −^ Y) (^2) = 1276. El modelo explica el 98,24 % da la varianza de Yt, es un buen modelo.
- a. Linealizando: ln( ︸︷︷︸P) P∗
= ln( ︸︷︷︸β 0 ) b 0
︸︷︷︸^ −β^1 b 1
︸︷︷︸^ ln(V) V∗
, basta trabajar el modelo: P∗^ = b 0 + b 1 V∗, donde se obtiene:
b 1 = Cov(P
∗, V∗) S (^) V^2 ∗
, b 0 = P∗^ − b 1 V∗
b. Con los datos: ̂ b 1 = − 1 , 568 ⇒ ̂β 1 = 1 , 568 ̂ b 0 = 10 , 309 ⇒ ̂β 0 = 29997 , 212
} ⇒ V = 100 ⇒ ̂P = 21 , 92
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Casa Central Ayuds. Sebasti´an Mor´an V.
- a. Correl = -0, Noah Silva W. - Eduardo Soto M.
- b. β 1 = − 3 , 399, β 0 = 13 ,
- a. 0, 2. Teorema del L´ımite Central
- a. 0,
- a. 0,
- a. 0,
- 0,
- a. 0,
- a. 0,
- a. 0,
