Factorización en Matemáticas: Métodos y Ejemplos, Apuntes de Matemática Elemental

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Complemento de Mate- máticas

Factorización

Complemento de Matemáticas

Semana 03

Universidad Privada Antenor Orrego

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Factorización

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1 Factorización

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Factorización

Métodos para factorizar

Factor común De dos o más expresiones algebraicas, es la parte numérica y/o literal que esté repetida en dichas expresiones. El factor común puede ser de tres tipos: 1 Factor común monomio 2 Factor común polinomio 3 Factor común por agrupación

1. Factor común monomio Cuando el factor común a todos los términos del polinomio es un monomio. Ejm: Factorizar: 72 x^2 ayb^ + 48xa+1yb+1^ + 24xay^2 b

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Factorización

factorización

2. Factor común polinomio Cuando el factor común que aparece es un polinomio. Ejm: Factorizar (a + 1)^7 (a^2 + 1)^10 − (a + 1)^5 (a^2 + 1)^11
3. Factor común por agrupación Cuando no hay un factor común a todos los términos del polinomio. Ejm: Factorizar xm+n^ + ym+n^ + (xy)m^ + (xy)n

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Método del aspa

Aspa Simple Se utiliza para factores trinomios de la forma:

ax^2 n^ ± bxn^ ± c

o de la forma: x^2 n^ ± bxn^ ± c Para factorizar, se descompone en dos factores los términos ax^2 n^ o x^2 n, según sea el caso. Se coloca estos factores en las puntas de la izquierda del aspa. EL término independiente, incluyendo el signo, también se descompone en dos factores, los cuales se coloca en las puntas de la derecha del aspa. El término central del trinomio debe ser igual a la suma de los productos del aspa. Por último los factores de la nueva expresión son las sumas en forma horizontal de los extremos del aspa. Ejm: Factorizar: x^4 n^ + 7x^2 n^ + 12.

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Aspa doble

Aspa doble Se aplica para factorizar polinomios de la forma:

ax^2 n^ ± bxnyn^ ± cy^2 n^ ± dxn^ ± eyn^ ± f

y también para algunos polinomios de 4 grado. Procedimiento: Primero se ordena convenientemente; es decir, en forma decreciente para una de las variables, luego se traza y ejecuta un aspa simple para los tres primeros términos con rayas continuas o llenas. A continuación, y pegada a este aspa, se traza otra de tal modo que el producto de los elementos del extremo derecho de este aspa-multiplicados verticalmente sea el término independiente. Finalmente: el primer factor es la sima de los elementos tomados horizontalmente de la parte superior; el segundo factor es la suma de los elementos tomados en la parte inferior. Ejm: Factorizar: 12 x^2 − 7 xy − 10 y^2 + 59y − 15 x − 63

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Aspa doble especial

4 Con este otro término de 2 grado colocado como tercer término del polinomio se descompone en sus factores en forma conveniente tal que cumpla los requisitos del aspa doble:

• Aspa simple entre el primer término y el término de segundo grado ubicado como sustituto, para verificar el segundo término.
• Aspa simple auxiliar entre el sumando de segundo grado ubicado y el quinto término para verificar el 4 término. 5 Los factores se toman en forma horizontal Ejm: Factorizar: x^4 − 4 x^3 + 11x^2 + 14x + 10

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Método de divisores binomios

Permite la factorización de un polinomio de cualquier grado que acepte factores de primer grado de la forma general:

x ± B, Ax ± B

Divisor binomio Es aquel que siendo de primer grado está contenido un número entero de veces en un polinomio. Ejem. P (x) = x^2 − 5 x + 6 contiene exactamente a (x − 2) ya que si se calcula el resto, éste es igual a cero.

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2 Cuando el coeficiente del primer término es diferente de 1 , se procede como en el caso anterior y además, se considera las fracciones que resultan de dividir todos los divisores del término independiente entre los divisores del primer coeficiente. Ejm. Sea el polinomio: P (x) = 4x^3 + 3x^2 + 3x − 9. P.C. = ± 1 , ± 3 , ± 9 , ± 12 , ± 32 , ± 14 , ± 34 , ± 92 , ± (^94)

Formas de factorización 1 Se determina por lo menos un cero del polinomio. 2 De acuerdo con el cero, se halla el divisor, que es un divisor binomio o factor. 3 El otro factor se determina dividiendo el polinomio entre el divisor obtenido mediante la regla de Ruffini.

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Ejemplos

Ejemplos 1 Factorizar

E = (x + 3)(x + 2)(x + 1) + (x + 2)(x + 1) + (x + 1)

2 Factorizar

E = (x + y)^9 (x − y)^5 − (x^2 − y^2 )^7

3 Factorizar

E = (x + 1)^4 + (x + 2)^3 + (x + 3)^2 − 7(x + 2) + 2

4 Factorizar 12 x^2 − 7 xy − 10 y^2 + 59y − 15 x − 63 5 Factorizar x^4 − 4 x^3 + 11x^2 − 14 x + 10 6 Factorizar: x^3 − 4 x^2 − 25 x + 28