Trigonometría: Conceptos, Razones Trigonométricas e Identidades - Prof. Veneros Terrones, Ejercicios de Análisis Complejo

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COMPLEMENTO MATEMÁTICO

INFORME DE PRÁCTICA

UNIDAD 4: TRIGONOMETRIA

Docentes: Luis Capuñay

Alumnos:

 Bustos Contreras, Cian Jairo 16.66%

 Camacho Sangama, Jack Gino 16 .66%

 Chunga García, Flavio Sebastián 16.66%

 Carmen Oblea, Neblo Santiago 16.66%

 Corno Cabanillas, Renzo Emanuel 16.66%

 Burgos Ortiz, Kevin Jefferson 16.66%

Día y hora: Viernes 15 – 10 :00 p.m.

TRUJILLO – PERÚ

2022 – I

TRIGONOMETRÍA

La trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: Seno, Coseno, Tangente,

Cotangente, Secante y Cosecante. La trigonometría se aplica a otras ramas de la

geometría o la geometría analítica en particular geometría plana o geometría del

espacio. En soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (y = y´´), series de Fourier

usadas en ecuaciones en derivadas parciales.

Posee numerosas aplicaciones, entre las que se encuentran: las técnicas de

triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas

próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas globales

de navegación por satélites.

Razones trigonométricas:

1. Seno

Seno del ángulo: Es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

2. Coseno

Coseno del ángulo : Es la razón entre el cateto contiguo (o adyacente)

al ángulo y la hipotenusa.

3. Tangente

Tangente del ángulo : Es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el

cateto contiguo al ángulo.

cos 𝐵

4. Cosecante

Cosecante del ángulo : Es la razón inversa del seno de.

Signo de razones trigonométricas

Basados en que el seno es el valor de la ordenada y coseno el de la abscisa del

punto sobre la circunferencia goniométrica, dependiendo del cuadrante estos

valores serán negativos o positivos. Por ejemplo, en el cuadrante I y II el eje Y

es positivo, y por lo tanto el seno será positivo ahí, ya que su valor corresponde

a la ordenada. En cambio, será negativo en los cuadrantes III y IV. El coseno por

su parte, el valor es la abscisa, y como el eje X es positivo en los cuadrantes del

lado derecho, el coseno será positivo en los cuadrantes I y IV y negativo en II y

III.

A continuación, una tabla con las razones trigonométricas en los ángulos que

marcan inicio o fin de cada cuadrante.

0º 90º 180° 270°

Sen 0 1 0 - 1

Cos 1 0 - 1 0

tan 0 0

Razones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°

Para analizar las razones trigonométricas de los ángulos con medida de y,

podemos pensar en la mitad de un triángulo equilátero:

sen 30° =

I

sen +

sen -

+

cos - cos +

sen +

sen -

+

cos + cos -

30°

6 0°

I h

I

𝐈

𝟐

Usando las definiciones de las razones trigonométricas, obtengo que:

sen 45° =

I

I

cos 45° =

I

I

tan 45° =

I

Ángulos complementarios y suplementarios:

 Ángulos complementarios:

sen (

π

− α) = cos α

cos (

π

− α) = sen α

𝐏 ´

90°- 𝜶

𝜶

𝑷

𝑸 𝐐 ´

O

𝜶

tan (

π

− α) = cot α

 Ángulos suplementarios:

sen (𝜋 − α) = sen α

cos

𝜋 − α

= − cos α

tan

𝜋 − α

= − tan α

𝐏 ´

𝐐´

𝐐

𝑷

O

𝝅 − 𝜶

α

cos

2 𝜋 − α

= cos α

tan

2 𝜋 − α

= − tan α

Ángulos que difieren por un ángulo múltiplo de 90°

 Ángulos que difieren en 90° ó π/2 rad

• 𝛼) = cos 𝛼

• 𝛼) = − sen 𝛼

= − cot 𝛼

P

Q

𝐏 ´

90° + 𝛼

𝐐 ´

O

𝛼

 Ángulos que se diferencian en 180° o π rad

sen (𝜋 + α) = − sen α

cos

𝜋 + α

= − cos α

tan

𝜋 + α

= tan α

 Ángulos que difieren en 270° ó 3/2 π rad

• 𝛼) = − cos 𝛼

P

Q

𝐏 ´

270° + 𝛼

𝐐 ´

O

𝛼

P

Q

𝐏 ´

𝜋 + 𝛼

𝐐 ´

O

𝛼

 Ángulos que suman en 270º ó 3/2 π rad

− 𝛼) = − cos 𝛼

− 𝛼) = − sen 𝛼

− 𝛼) = cot 𝛼

Resolución de triángulos rectángulos:

 Caso 1: Se conocen la hipotenusa y un cateto.

𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

P

Q

𝐏 ´

270° − 𝛼

𝐐 ´

O

𝛼

O

C

B

A

c

a

b

cos 𝐵 =

𝑐

𝑎

2

2

𝑐 = 𝑎. cos 𝐵

 Caso 2: Se conocen los dos catetos.

sen 𝐵 =

2

2

C

B

A

c

a

b

cot 𝐵 =

2

2

𝑐 = 𝑏. cot 𝐵

Identidades Trigonométricas:

Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones

trigonométricas y se verifican para cualquier valor permitido de la variable o

variables que se consideren, es decir, para cualquier valor que pudieran tomar

los ángulos sobre los cuales se aplican las funciones.

1. Identidades Trigonométricas Pitagóricas:

 Las identidades Pitagóricas son identidades en trigonometría que

son extensiones del teorema de Pitágoras. Las identidades

Pitagóricas son útiles para simplificar expresiones

trigonométricas. Estas identidades son especialmente usadas

para escribir expresiones como una función de seno o coseno,

como las fórmulas del ángulo doble.

 sen

2

θ

• cos

2

θ

 tan

2

(θ) + 1 = sec

2

(θ)

 1 + cot

2

θ

= csc

2

θ

2. Identidades Trigonométricas Recíprocas:

 Ya hemos visto las funciones trigonométricas de seno, coseno y

tangente. Estas funciones son escritas como fracciones

relacionando a los lados de un triángulo rectángulo. También

sabemos que el recíproco de una fracción es igual a la fracción

original con su numerador y su denominador intercambiados de

posición. Entonces, las identidades recíprocas son formadas al

intercambiar al numerador y al denominador de coseno, seno y

tangente para formar las funciones secantes, cosecante y

cotangente respectivamente.

 sec(θ) =

1

cos(θ)

 csc

θ

1

sen

( θ

)

3. Identidades Trigonométricas por Cociente:

 Las identidades por cociente son identidades trigonométricas que

son escritas como fracciones de las funciones seno y coseno. La

tangente forma una identidad de cociente y pude ser escrita como

el seno del ángulo dividido por el coseno. De igual forma, la

cotangente puede ser escrita como el coseno del ángulo dividido

por el seno.

 tan

θ

sen(θ)

cos

( θ

)

 cot

θ

cos(θ)

sen

( θ

)

4. Identidades Trigonométricas Auxiliares:

 Además de las identidades fundamentales, hay otras que por

encontrarse frecuentemente en los problemas, es conveniente

recordarlas para facilitar la solución de éstos; para esto

recordaremos algunas identidades algebraicas:



( a ± b

)

2

= a

2

• b

2

± 2ab

 a

3

± b

3

=

( a ± b

)( a

2

± ab + b

2

)

 a

2

− b

2

=

( a + b

)( a − b

)



( a + b + c

)

2

= a

2

• b

2

• c

2

• 2ab + 2bc + 2ca



( a + b

)

2

( a − b

)

2

= 2

( a

2

• b

2

)



( a + b

)

2

−

( a − b

)

2

= 4ab



( a ± b

)

3

= a

3

± 3 a

2

b + 3ab

2

± b

3

 Ejercicios de Identidades Trigonométricas Recíprocas:

 Teniendo que: 𝐜𝐨𝐬(𝛉) =0,2. ¿Cuál es el valor que se le da

a 𝐬𝐞𝐜

( 𝛉

) ?

• cos(θ) = 0. 2 =

2

10

• sec

θ

1

cos

( θ

)

10

2

 Teniendo que 𝒄𝒐𝒕(𝜽) =

𝟓

𝟑

, ¿Cuál es el valor de 𝒕𝒂𝒏(𝜽)?

• cot(θ) =

5

3

• tan(θ) =

3

5

 Ejercicios de Identidades Trigonométricas por Cociente:

 Si tenemos los valores: 𝒄𝒐𝒔

( 𝜽

)

𝟑

𝟏𝟏

y 𝒔𝒆𝒏

( 𝜽

)

𝟓

𝟏𝟏

,

¿Cuál es el valor de 𝒕𝒂𝒏(𝜽)?

- tan(θ) =

sen(θ)

cos(θ)

- tan

θ

5

11

3

11

- tan(θ) =

5

3

• Si tenemos los valores: 𝒄𝒐𝒔

( 𝜽

)

𝟓

𝟕

y 𝒔𝒆𝒏

( 𝜽

)

𝟐

𝟕

.

Determinar el valor de 𝒄𝒐𝒕(𝜽).

𝑐𝑜𝑠( 0 )

𝑠𝑒𝑛(𝜃)

- cot

θ

5

7

2

7

- cot(θ) =

5

2

 Ejercicios de Identidades Trigonométricas Auxiliares:

𝐬𝐞𝐧𝛉−𝐜𝐨𝐬 𝛉+𝟏

𝐬𝐞𝐧𝛉+𝐜𝐨𝐬 𝛉−𝟏

𝟏+𝐬𝐞𝐧 𝛉

𝐤

sen θ−cos θ− 1

senθ+cos θ− 1

2

( 1 +sen θ)

2

k

2

2 ( 1 +𝑠𝑒𝑛𝜃)( 1 −𝑐𝑜𝑠 𝜃)

2

( 1 −senθ)( 1 −𝑐𝑜𝑠 𝜃

)

( 1 +𝑠𝑒𝑛 𝜃)

2

𝑘

2

2

2

2

2

2