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Chapitre
Table des matières
1 Espaces vectoriels réels ou complexes 3 1.1 Structure d’espace vectoriel....................................... 3 1.1.1 Définition d’un espace vectoriel................................ 3 1.1.2 Espaces vectoriels de références................................ 4 1.1.3 Sous espaces vectoriels..................................... 5 1.1.4 Sous espaces engendrés.................................... 6 1.2 Somme directe et sous espaces ..supplémentaires........................... 9 1.2.1 Généralisation d’une somme directe............................. 10 1.3 Engendrement et dépendance linéaire................................. 11 1.3.1 Famille et partie génératrice.................................. 11 1.3.2 Famille libre- famille liée - base................................ 12
TABLE DES MATIÈRES
CHAPITRE 1 :Espaces vectoriels réels ou complexes
Æ.
α .x = ( α ´ β + β ).x = ( α ´ β ).x + β .x ñ ( α ´ β ).x = α .x ´ β .x
Ø.
On a ( 1 ´ 1 ).x = 1.x ´ 1.x = x ´ x = (^0) E Or ( 1 ´ 1 ).x = ( 1 + (´ 1 )) .x = 1.x + (´ 1 ).x
Donc 1.x + (´ 1 ).x = (^0) E ñ (´ 1 ).x = ´x ∞.
(´ α ).x = ((´ 1 ) α ) x = (´ 1 ).( α .x) = ´( α .x)
Et on a (´ α ).x = ( α (´ 1 )) .x = α. ((´ 1 ).x) = α .(´x)
D’où (´ α ).x = α .(´x) = ´( α .x) ±. ð / Selon 1 ) ñ / Supposons que α .x = (^0) E. Si α = 0 c’est bien. Sinon :
α .x = (^0) E ñ α ´^1 .( α .x) = α ´^1 .0E ñ ( α ´^1 α ).x = (^0) E ñ 1.x = (^0) E ñ x = (^0) E
1.1.2 Espaces vectoriels de références
- R muni des deux lois usuelles 2 +^2 et 2.^2 est un R ´ e.v
- ( C , +, .) est un C ´ e.v , c’est aussi est un R ´ e.v
- Soient (E 1 , +, .) et (E 2 , +, .) deux K ´ e.v. On définit sur E 1 ˆ E 2 deux lois ” ˜+” et ”˜.” : Si (x, y), (x
1 , y
1 ) P E 1 ˆ E 2 ; (x, y) +(˜ x
1 , y
1 ) = (x + x
1 , y + y
1 ) et α ˜.(x, y) = ( α .x, α .y). Alors (E 1 ˆ E 2 , ˜+,˜.) est K ´ e.v appelé l’espace vectoriel produit de E 1 et E 2.
Plus généralement si(E 1 , +, .) (E 2 , +, .) , ¨ ¨ ¨ , (En, +, .) sont des K ´ e.v alors
ź^ n
i= 1
Ei muni des lois usuelles
- et. est un K ´ e.v appelé l’espace vectoriel produit des Ei. En particulier ( R n, +, .) et ( C n, +, .) muni des lois usuelles sont respectivement des R ´ e.v et C ´ e.v
1.1 Structure d’espace vectoriel
- Soient X un ensemble quelconque non vide et (E, +, .) un K´ e.v alors (F (X, E), +, .) est un K ´ e.v avec : Si f , g P F (X, E) et α P K , f + g et α. f sont définies par : @x P X, ( f + g) (x) = f (x) + g(x) et ( α. f ) (x) = α. f (x) En particulier : (a). (F ([a, b], R ), +, .) est un R ´ e.v et (F ([a, b], C ), +, .) est un C ´ e.v (b). RN^ est R ´ e.v (X = N , E = R ) et CN^ est C ´ e.v (X = N , E = C )
- L’ensemble des matrices Mn,p( K ) muni des lois usuelles est un K ´ e.v avec (aij) 1 ĺiĺn 1 ĺjĺp
aij + bij
1 ĺiĺn 1 ĺjĺp
et α .(aij) 1 ĺiĺn 1 ĺjĺp
= ( α .aij) 1 ĺiĺn 1 ĺjĺp
- ( K [X], +, .) muni des lois usuelles est un K ´ e.v
Remarque Pour alléger l’écriture : pour α P K et x P E On écrit α x au lieu de α .x
1.1.3 Sous espaces vectoriels
Définition 2 Soit E un K ´ e.v. Un sous ensemble non vide F de E est dit un sous espace vectoriel de E si F muni des lois induites par celles de E est lui même un K ´ e.v
Proposition 1 (Caractérisation)
F est un s.e.v de E ðñ
(i).F ‰ H et F Ď E (ii).@ α , β P K , @x, y P F, α x + β y P F
Preuve ñ / F ‰ H et F Ď E selon la définition. @ α , β P K , @x, y P F, α x + α y P F selon la stabilité des lois induites dans F. ð / (i). On a F ‰ H et F Ď E. @x, y P F, x ´ y = 1.x + (´ 1 ).y P F donc (F, +) est sous groupe de (E, +) qu’est commutatif par hérédité. (ii). Pour α = 1 et β = 1 on aura F est stable par ” + ” (iii). Pour α P K , β = 0 on aura F est stable par ”.” (vi). EV 2 , EV 3 , EV 4 et EV 5 restent vraies par hérédité. D’où F est un s.e.v de E
Exemples
t (^0) Eu est un sous espace vectoriel de E
Soit (a, b) P R^2 z t(0, 0)u alors F =
(x, y) P R^2 , ax + by = 0
est un s.e.v de R^2
K n[X] est un s.e.v de K [X]
L’ensemble des suites convergentes de RN (resp. de C N ) est un s.e.v de RN (resp. de C N )
D( R , R ), C( R , R ), Cn( R , R ), C^8 ( R , R ) sont des s.e.v de F ( R , R )
L’ensemble des solutions d’un système linéaire homogène à n´ équations et m´ inconnues dans R est un s.e.v de R m^ : En effet :
(S) ðñ
a 11 x 1 + ¨ ¨ ¨ a 1 m xm = 0 ..
. =
an 1 x 1 + ¨ ¨ ¨ + anm xm = 0
1.1 Structure d’espace vectoriel
On a ax + by =
ÿ
iPJ
a α i xi +
ÿ
iPJ
b β i xi =
ÿ
iPJ
(a α i + b β i) xi P vec ((xi)iPI )
Donc vect ((xi)iPI ) est un s.e.v de E ‚ Si I = H, par convention vect (^) (H) = t (^0) Eu est un s.e.v de E. (ii). L’ensemble des combinaisons linéaires de X est l’ensemble des combinaisons linéaires de (x)xPX donc vect(X) = vect ((x)xPX ) est un s.e.v de E.
Proposition 3 Soient E un K ´ e.v , A et B des parties non vides de E. Alors :
(i). Si A Ă B alors vect(A) Ď vect(B) (ii). vect(A) Ď vect(B) ðñ A Ď vect(B)
(iii). vect(A) = vect(B) ðñ
A Ď vect(B) et B Ď vect(A)
(iv). Si F est sous espace vectoriel de E alors (a). vect(F) = F (b). X Ď F ðñ vect(X) Ď F
Preuve
(i). Facile (ii). ñ / C’est évident car A Ď vect(A).
ð / Soit x =
ÿ^ n
i= 1
α i xi P vect(A) avec α i P K et xi P A.
On a vect(B) est un sous espace vectoriel de E alors @i P J1, nK , α i xi P vect(B), et par récurrence on aura ÿ^ n
i= 1
α i xi P vect(B) d’où vect(A) Ď vect(B)
(iii).
vect(A) = vect(B) ðñ vect(A) Ď vect(B) et vect(B) Ď vect(A) ðñ A Ď vect(B) et B Ď vect(A)
(iv). (a). On a F Ď vect(F) par définition d’une combinaisons linéaire.
Soit x =
ÿ^ n
i= 1
α i xi P vect(F) où α i P K et xi P F. F est un s.e.v de E alors x P F car F et stable par 2 +^2 et 2.^2
donc vect(F) Ď F (b).
X Ď F ðñ X Ď vect(F) ¨ ðñ vect(X) Ď vect(F) ðñ vect(X) Ď F
Proposition 4 Soit E un K ´ espace vectoriel.Alors :
(i). Si (Fi)iPI est une famille de s.e.v de E alors
č
iPI
Fi est un s.e.v de E.
CHAPITRE 1 :Espaces vectoriels réels ou complexes
(ii). Si X est une partie non vide de E. Alors vect(X) =
č
FPΓX
F où ΓX est l’ensemble des s.e.v de E contenant X. Donc vect(X) est le plus petit sous
espace vectoriel de E contenant X (au sens de l’inclusion )
Preuve
(i). On a (^0) F P
č
iPI
Fi ñ
č
iPI
Fi ‰ H.
Soient α , β P K et x, y P
č
iPI
Fi.
Pour tout i P I , x, y P Fi et Fi est un s.e.v de E
ñ @i P I, α x + β y P Fi ñ α x + β y P
č
iPI
Fi.
Alors
č
iPI
Fi est un s.e.v de E
(ii).
F P ΓX ñ X Ď F ñ vect(X) Ď F ñ vect(X) Ď
č
FPΓX
F
Or vect(X) est un s.e.v de E contenant X , donc vect(X) P ΓX d’où
č
FPΓX
F Ď vect(X). Ainsi vect(X) =
č
FPΓX
F
E xercice Soient F et G deux s.e.v d’un e.v E. Montrer que F Y G est s.e.v de E ðñ F Ď G ou G Ď F
Exemples
- vect (t (^0) Eu) = t (^0) Eu
- Si x P Ez t (^0) Eu alors vect (txu) = t λ x/ λ P K u.On le note aussi K x et on l’appelle la droite vectorielle engendrée par x.
- Si x, y P E non colinéaires alors : vect (tx, yu) = t α x + β y/ α , β P K u est dit le plan vectoriel engendré par x et y.
E xercice Dans R^3 on prend A = tu 1 , u 2 u et B = tv 1 , v 2 u où u 1 = (1, 0, ´ 1 ), u 2 = (0, 1, 1), v 1 = (1, 1, 0) et v 2 = (1, ´1, ´ 2 ).
- Prouver que A X B = H
- Montrer que vect(A) = vect(B)
Proposition 5
Soient (E, +, .) un K -e.v et F 1 , F 2 , ¨ ¨ ¨ , Fp des s.e.v de E (p P N ˚). L’ensemble défini par : ÿp
i= 1
Fi =
(^) p
ÿ
i= 1
xi/@i P J1, pK, xi P Fi
est un s.e.v de (E, +, .) appelé la somme des s.e.v F 1 , F 2 , ¨ ¨ ¨ , Fp.
Preuve
(i).
ÿ^ p
i= 1
Fi ‰ H car (^0) E =
ÿ^ p
i= 1
0 E P
ÿ^ p
i= 1
Fi.
CHAPITRE 1 :Espaces vectoriels réels ou complexes
Définition 7 Soient F 1 et F 2 deux sous espaces vectoriels d’un K ´ espaces vectoriel E. On dit que F 1 et F 2 sont supplémentaires dans E si :
$ ’&
’%
F 1 X F 2 = t (^0) Eu et E = F 1 + F 2
Et dans ce cas on écrit E = F 1 ‘ F 2
Exemples
- R^2 = R e 1 ‘ R e 2 où e 1 = (1, 0) et e 2 = (0, 1)
- R 2 [X] = R 1 [X] ‘ R X^2
- Si E = F ( R , R ) alors E = P ‘ I où P et I sont respectivement les sous espaces vectoriels de E des applications paires et impaires
Proposition 7 (Caractérisation des sous espaces supplémentaires) Soient F 1 , F 2 deux sous espaces vectoriels d’un K ´ espace vectoriel E. Alors
E = F 1 ‘ F 2 ðñ @x P E, D!(x 1 , x 2 ) P F 1 ˆ F 2 tel que x = x 1 + x 2
Preuve
E = F 1 ‘ F 2 ðñ
E = F 1 + F 2
F 1 X F 2 = t (^0) Eu
ðñ @x P E, D!(x 1 , x 2 ) P F 1 ˆ F 2 tel que x = x 1 + x 2
1.2.1 Généralisation d’une somme directe
Définition 8 Soient F 1 , F 2 , ¨ ¨ ¨ , Fp des sous espaces vectoriels d’un K ´ espace vectoriel E.
On dit que la somme F 1 + ¨ ¨ ¨ + Fp est directe si tout vecteur x de
ÿ^ p
i= 1
Fi s’écrit de manière unique sous la forme x =
ÿ^ p
i= 1
xi
où xi P Fi pour tout i P J1, pK ie. @x P
ÿ^ p
i= 1
Fi , D!(x 1 , ¨ ¨ ¨ , xp) P
ź^ p
i= 1
Fi tel que x =
ÿ^ p
i= 1
xi
et dans ce cas on note la somme F 1 + F 2 + ¨ ¨ ¨ + Fp par F 1 ‘ F 2 ‘ ¨ ¨ ¨ ‘ Fp
Proposition 8 (Caractérisation) Soient F 1 , F 2 , ¨ ¨ ¨ , Fp des sous espaces vectoriels d’un K ´ espace vectoriel E. Alors les assertions suivantes son équiva- lentes :
(i). F 1 + ¨ ¨ ¨ + Fp est directe
(ii). @(x 1 , ¨ ¨ ¨ , xp) P
ź^ p
i= 1
Fi ,
( (^) p ÿ
i= 1
xi = (^0) E ñ @i P J1, pK, xi = (^0) E
(iii). @i P J1, pK , Fi X
ÿ
j‰i
Fj = t (^0) Eu
1.3 Engendrement et dépendance linéaire
(iv). @i P J2, pK , Fi X
ÿ
jăi
Fj = t (^0) Eu
Preuve
(i) ñ (ii) : Soit (x 1 , x 2 , ¨ ¨ ¨ , xp) P
ź^ p
i= 0
Fi tel que
ÿ^ p
i= 1
xi = (^0) E , l’unicité de l’écriture de (^0) E ñ @i P J1, pK, xi = (^0) E
(ii) ñ (iii) : Soient i P J1, pK et x P Fi X
ÿ
j‰i
Fj , alors @j P J1, pK, Dxj P Fj tel que x = xi =
ÿ
j‰i
xj
Alors x 1 + ¨ ¨ ¨ + xi´ 1 + x
1 i +^ xi+^1 +^ ¨ ¨ ¨^ +^ xp^ =^0 E^ avec x
1 i =^ ´xi^ P^ Fi (ii) ñ x 1 = ¨ ¨ ¨ = xi´ 1 = x
1 i =^ xi+^1 =^ ¨ ¨ ¨^ =^ xp^ =^0 E^ ñ^ x
1 i =^ ´xi^ =^ ´x^ =^0 E D’où x = (^0) E et par suite Fi X
ÿ
j‰i
Fj = t (^0) Eu
(iii) ñ (iv) : On a
ÿ
jăi
Fj Ď
ÿ
j‰i
Fj , et puisque @i P J1, pK, Fi X
ÿ
j‰i
Fj = t (^0) Eu alors @i P J2, pK, Fi X
ÿ
jăi
Fj = t (^0) Eu
(iv) ñ (i) : ‚ Soit x P
ÿ^ p
i= 1
Fi alors D(x 1 , x 2 , ¨ ¨ ¨ , xp) P
ź^ p
i= 1
Fi tel que x =
ÿ^ p
i= 1
xi
‚ Supposons que D(y 1 , y 2 , ¨ ¨ ¨ , yp) P
ź^ p
i= 1
Fi tel que x =
ÿ^ p
i= 1
yi. Par récurrence descendant forte sur J2, pK montrons
que @i P J2, pK, xi = yi.On a x =
ÿ^ p
i= 1
xi =
ÿ^ p
i= 1
yi alors :
(a). Pour k = p : On a xp ´ yp =
ÿ^ p
i= 1
(yi ´ xi) P Fp X
ÿ
iăp
Fi = t (^0) Eu. Donc xp ´ yp = (^0) E ñ xp = yp
(b). Supposons que pour un certain k P J3, pK ,@i P Jk, pK, xi = yi :
ÿ^ p
i= 1
xi H.R =
ÿ^ p
i= 1
yi ñ
kÿ´ 1
i= 1
xi =
kÿ´ 1
i= 1
xi
ñ xk´ 1 ´ yk´ 1 =
ÿ
iăk´ 1
(yi ´ xi) P Fk´ 1 X
ÿ
jăk´ 1
Fi = t (^0) Eu
ñ xk´ 1 ´ yk´ 1 = 0 ñ xk´ 1 = yk´ 1
Alors @k P J2, pK, xk = yk
(˚) ñ x 1 = y 1 d’où @k P J1, pK, xk = yk et par suite
ÿ^ p
i= 1
Fi est directe
3 Engendrement et dépendance linéaire
1.3.1 Famille et partie génératrice
Définition 9 Soient (E, +, .) un K -espace vectoriel , f = (xi)iPI une famille de vecteurs de E et A une partie non vide de E. ⃝^ a- On dit que f est une famille génératrice de E ou f engendre E si E = vect( f ).
1.3 Engendrement et dépendance linéaire
π. (xi)iPI est libre ðñ aucun des xi n’est combinaison linéaire des autres. ∫. (xi)iPI est liée ðñ Di P I tel que xi soit une combinaison linéaire des autres xj (j ‰ i).
Preuve
∂. Soit x P Ezt (^0) Eu. Soit α P K tel que α x = (^0) E alors α = (^0) K ou x = (^0) E donc α = (^0) K car x ‰ (^0) E.
∏. ‚ Si xi = xj tel que i ‰ j. Soit ( α k)kPI P K (I)^ tel que α k =
1 , si k = i ´ 1 , si k = j 0 , si k R ti, ju
donc
ÿ
kPI
α k xk = (^0) E
‚Si Di P I tel que xi = (^0) E. Soit ( α k)kPI P K (I)^ tel que α k =
2021 , si k = i 0 , sinon alors
ÿ
kPI
α k xk = (^0) E
∫. (xi)iPI est liée ô D( α i)iPI P K (I)^ non tous nuls tel que
ÿ
iPI
α i xi = (^0) E ô D( α i)iPI P K (I), Dk P I, α k ‰ 0 et xk =
ÿ
iPIztku
α i α k
xi
ô Dk P I, xk est une combinaison linéaire des autres xi ou i ‰ k.
Proposition 10
Soit (xi)iPI une famille de vecteurs d’un K ´espace vectoriel E. Alors :
- (xi)iPI est libre ðñ Toute sous famille finie de (xi)iPI est libre.
- (xi)iPI est liée ðñ il existe une sous famille finie de (xi)iPI qui est liée
Preuve
- ñ / Soit J P P (^) f (I) (l’ensemble des parties finies de I). Soit ( α i)iPJ P K J^ tel que
ÿ
iPJ
α i xi = (^0) E
Soit ( β i)iPI P K (I)^ tel que β i =
α i , si i P J 0 si i P IzJ alors
ÿ
iPI
β i xi = 0
(xi)iPI est libre ñ @i P I, β i = 0 ñ @i P J, α i = β i = 0
D’où (xi)iPJ est libre ð / Soit α = ( α iPI ) P K (I)^ tel que
ÿ
iPI
α i xi = (^0) E. Posons J = supp( α ) P P (^) f (I) alors
ÿ
iPJ
α i xi = 0
(xi)iPJ est libre ñ @i P J, α i = 0 ñ @i P I, α i = 0
Donc (xi)iPI est libre.
Proposition 11 Soit E un K ´ espace vectoriel et H 1 , H 2 , ¨ ¨ ¨ , Hr des familles libres finies de E. Alors
La juxtaposition des familles H 1 , H 2 , ¨ ¨ ¨ , Hr est libre ðñ La somme
ÿ^ r
i= 1
vect(Hi) est directe
CHAPITRE 1 :Espaces vectoriels réels ou complexes
Preuve (Pour r = 2 )
Posons H 1 = (xi) 1 ĺiĺm et H 2 = (yi) 1 ĺiĺn alors la juxtaposition de H 1 et H 2 est la famille H = (xi) 1 ĺiĺn+m où @i P Jm + 1, m + nK, xi = yi´m. ñ / Si H est libre. Soit (X 1 , X 2 ) P H 1 ˆ H 2 tel que X 1 + X 2 = (^0) E.
D( α i) 1 ĺiĺn+m tel que X 1 =
ÿ^ m
i= 1
α i xi et X 2 =
mÿ+n
i=m+ 1
α i xi.
X 1 + X 2 = (^0) E ñ
mÿ+n
i= 1
α i xi = (^0) E ,Or H est libre donc @i P J1, m + nK, α i = 0 d’où X 1 = X 2 = 0
ð / Si la somme vect(H 1 ) + vect(H 2 ) est directe.
Soient ( α i) 1 ĺiĺm+n P K m+n^ tel que
mÿ+n
i= 1
α i xi = (^0) E alors
ÿ^ m
i= 1
α i xi = ´
mÿ+n
i=m+ 1
α i xi P vect(H 1 ) X vect(H 2 ) = t (^0) Eu
donc
ÿ^ m
i= 1
α i xi = (^0) E et
mÿ+n
i=m+ 1
α i xi = (^0) E. Or H 1 et H 2 sont libres donc @i P J1, m + nK, α i = 0. Ainsi H est libre
Exemples (de cours)
- Toute famille (Pi)iPI P K [X]I^ de polynômes tous non nuls et de degrés deux à deux distincts est libre
- Toute suite (Pk)kP N P K [X] N^ de polynômes tous non nuls et de degrés échelonnées (@k P N , do^ Pk+ 1 ą do^ Pk) est libre
Preuve
- Soit (Pi)iPI une famille de polynômes de K [X] non nuls tel que (i ‰ j ñ do^ Pi ‰ do^ Pj) Soit (Pi)iPJ une sous famille finie de (Pi)iPI avec J P PJ (I) et ( α i)iPJ P K J^ tel que
ÿ
iPJ
α i Pi = 0.
On peut changer l’indexation de telle façon que J = J1, nK (n P N ˚^ car J est fini ) et que 0 ď do^ P 1 ă ¨ ¨ ¨ ă do^ Pn.
On a
ÿ^ n
i= 1
α i Pi = 0. alors par récurrence forte descendante sur J1, nK :
¨ α n = 0?
cd
( (^) n ÿ
i= 1
α i Pi
= cd ( α n Pn) = 0
= α ncd(Pn)
Comme cd(Pn) ‰ 0 alors α n = 0 ¨ Supposons que Dk P J2, nK tel que @p P Jk, nK, α p = 0.
On a
kÿ´ 1
i= 1
α i Pi = 0 alors :
cd
(k´ 1 ÿ
i= 1
α i Pi
= 0 ñ cd( α k´ 1 Pk´ 1 ) = 0
ñ α k´ 1 cd(Pk´ 1 ) = 0
Comme cd(Pk´ 1 ) ‰ 0 alors α k´ 1 = 0 Donc par récurrence descendante forte @k P J1, nK, α k = 0. D’où (Pi)iPJ est libre ,par suite (Pi)iPI est libre.
