Componentes Simétricas, Diapositivas de Análisis de Circuitos Eléctricos

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COMPONENTES SIMÉTRICAS

• Permite reducir el estudio de sistemas desequilibrados a sistemas equilibrados.
• Todo sistema de n fasores (tensiones o corrientes) se pude considerar como la superposición de n sistemas simétricos de n fasores cada uno.
• Se basa en el teorema que C. L. Fortescue desarrolló en el artículo titulado:  Method of Symmetrical Coordinates Applied to the Solution of Polyphase Networks. Transactions A.I.E.E. vol 37, pag. 1027 - 1140, Año
• Es válido para sistemas polifásicos con n fases, pero se van a considerar sólo los sistemas trifásicos.

 De acuerdo con el teorema de Fortescue, tres fasores desequilibrados de un sistema trifásico se pueden descomponer en tres sistemas equilibrados de fasores.  Para tensiones trifásicas desequilibradas se tiene:  Componentes de secuencia cero: 𝑽𝒂 𝟎 , 𝑽𝒃 𝟎 , 𝑽𝒄 𝟎  Componentes de secuencia positiva: 𝑽𝒂

, 𝑽𝒃

, 𝑽𝒄

 Componentes de secuencia negativa: 𝑽𝒂 − , 𝑽𝒃 − , 𝑽𝒄 −

𝟎

• 𝑽𝒂
• 𝑽𝒂 − 𝑽𝒃 = 𝑽𝒃 𝟎
• 𝑽𝒃
• 𝑽𝒃 − 𝑽𝒄 = 𝑽𝒄 𝟎
• 𝑽𝒄
• 𝑽𝒄 − Componentes simétricas

 Operador trifásico 𝒂 𝒂 = 𝟏∠𝟏𝟐𝟎° 𝒂 𝟐 = 𝟏∠𝟐𝟒𝟎° = 𝟏∠ − 𝟏𝟐𝟎° 𝒂 𝟑 = 𝟏∠𝟑𝟔𝟎° = 𝟏∠𝟎° 𝒂 𝟒 = 𝟏∠𝟏𝟐𝟎° = 𝒂 𝟏 + 𝒂 = 𝟏∠𝟔𝟎° = −𝒂 𝟐 𝟏 − 𝒂 = 𝟑∠ − 𝟑𝟎°

𝟐 = 𝟏∠ − 𝟔𝟎° = −𝒂 𝟏 − 𝒂 𝟐 = 𝟑∠𝟑𝟎° 𝒂 + 𝒂 𝟐 = 𝟏∠𝟏𝟖𝟎° = −𝟏 𝒂 − 𝒂 𝟐 = 𝟑∠𝟗𝟎° 𝟏 + 𝒂 + 𝒂 𝟐 = 𝟎 𝒋𝒂 = 𝟏∠𝟐𝟏𝟎°

 Componentes de secuencia cero u homopolar:

• Tres fasores monofásicos iguales en módulo y en fase. 𝑽𝒂 𝟎 = 𝑽𝒃 𝟎 =𝑽𝒄 𝟎 = 𝑽 𝟎

 Componentes de secuencia positiva o directa:

• Tres fasores equilibrados que tienen secuencia positiva. 𝑽𝒂 + = 𝑽 + ∠ 𝜷 𝑽𝒃

= 𝑽

∠ 𝜷 − 𝟏𝟐𝟎° = 𝒂 𝟐 𝑽𝒂

• 𝑽𝒄 + = 𝑽 + ∠ 𝜷 + 𝟏𝟐𝟎° = 𝒂𝑽𝒂 +

 Entonces, se puede expresar los fasores desequilibrados en función de las componentes simétricas de la fase a.

• Se puede aplicar lo mismo para las corrientes:

𝟎

• 𝑽𝒂
• 𝑽𝒂 − 𝑽𝒃 = 𝑽𝒂 𝟎
• 𝒂 𝟐 𝑽𝒂
• 𝒂𝑽𝒂 − 𝑽𝒄 = 𝑽𝒂 𝟎
• 𝒂𝑽𝒂
• 𝒂 𝟐 𝑽𝒂 − 𝑰𝒂 = 𝑰𝒂 𝟎
• 𝑰𝒂
• 𝑰𝒂 − 𝑰𝒃 = 𝑰𝒂 𝟎
• 𝒂 𝟐 𝑰𝒂
• 𝒂𝑰𝒂 − 𝑰𝒄 = 𝑰𝒂 𝟎
• 𝒂𝑰𝒂
• 𝒂 𝟐 𝑰𝒂 −

 Determinación gráfica de los fasores desequilibrados: 𝑽𝒂 𝑽𝒃 𝑽𝒄 𝑶 𝑽𝒂 𝟎 = 𝑽𝒃 𝟎 = 𝑽𝒄 𝟎 𝑽𝒂 𝟎 𝑽𝒃 𝑽𝒃 + − 𝑽𝒂

𝑽𝒂 𝑽^ − 𝒄

𝑽𝒄 −

 El mismo desarrollo se puede realizar con las corrientes: 𝑰𝒂 𝟎 =

=

𝟐 𝑰𝒄) 𝑰𝒂 − =

𝟐 𝑰𝒃 + 𝒂𝑰𝒄)

 Si los voltajes o corrientes son equilibrados con secuencia positiva, entonces:  Si los voltajes o corrientes son equilibrados con secuencia negativa, entonces:

𝟎 = 𝟎 𝑰𝒂

= 𝑰𝒂 𝑰𝒂 − = 𝟎

𝟎 = 𝟎 𝑽𝒂

= 𝑽𝒂 𝑽𝒂 − = 𝟎 𝑰𝒂 𝟎 = 𝟎 𝑰𝒂

= 𝟎 𝑰𝒂 − = 𝑰𝒂

𝟎 = 𝟎 𝑽𝒂

= 𝟎 𝑽𝒂 − = 𝑽𝒂

 Se pueden escribir en forma matricial:

• Se define la matriz de transformación 𝑨 :
• Por lo tanto:
• Donde 𝑽 𝑺 es el vector de componentes simétricas.

𝟐 𝒂 𝟏 𝒂 𝒂 𝟐

𝟎 𝑽𝒂

𝑽𝒂 − 𝑨 =

𝟐 𝒂 𝟏 𝒂 𝒂 𝟐 𝑽 = 𝑨 𝑽 𝑺

 Inversa:

• Como:
• Entonces:

−𝟏

𝟐 𝟏 𝒂 𝟐 𝒂 𝑽 𝑺 = 𝑨 −𝟏 𝑽

𝟎 𝑽𝒂

𝑽𝒂 −

𝟐 𝟏 𝒂 𝟐 𝒂

 Voltajes del generador:

• Generador en estrella:
• Generador en triángulo:

𝑺

𝟎 𝑬𝒂

𝑬𝒂 − Voltajes desequilibrados Componentes simétricas 𝑬𝒈𝚫 =

𝑺

𝟎 𝑬𝒂𝒃

𝑬𝒂𝒃 −

 Corrientes del generador:

• Generador en estrella:
• Generador en triángulo:

𝑺

𝟎 𝑰𝒈𝒂

𝑰𝒈𝒂 − Corrientes desequilibradas Componentes simétricas 𝑰𝒈𝚫 =

𝑺

𝟎 𝑰𝒈𝒃𝒂

𝑰𝒈𝒃𝒂 −