Cálculo MA459
CÁLCULO 1
Unidad 3: TRAZADO DE CURVAS
Clase 6.1 Concavidad
Prueba de la 2da derivada
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Cálculo MA459: Unidad 3 - Trazado de Curvas: Concavidad - Prof. Carlos Miñano, Diapositivas de Cálculo
Este documento contiene información sobre la concavidad de las curvas en el contexto del cálculo. Se explica el concepto de puntos de rendimientos decrecientes y se presentan criterios para determinar la concavidad de una función. Además, se incluyen ejemplos para ilustrar los conceptos. parte de la materia MA459 de Cálculo.
Tipo: Diapositivas
2020/2021
1 / 12
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Cálculo MA
Unidad 3: TRAZADO DE CURVAS
Clase 6.1 Concavidad
Prueba de la 2da derivada
t
Q ( t )
La pendiente
crece
La pendiente
decrece
La tasa de
producción crece
La tasa de
producción decrece
Puntos de rendimientos
decrecientes
Tiempo de máxima eficiencia
P
La gráfica refleja que al inicio la tasa de producción del
trabajador es baja, luego aumenta a medida que establece una
rutina, hasta que se desempeña con máxima eficiencia.
Sea Q ( t ) la producción en unidades que un trabajador puede
producir t horas después de llegar a su trabajo.
¡Reflexión!
Concavidad
Sea f diferenciable en ] a ; b [. Se dice que f es cóncava
hacia arriba ( cóncava hacia abajo ) en ] a ; b [, si f ´ es
creciente (decreciente) en ] a ; b [.
Figura 1 Figura 2
Gráfica cóncava hacia arriba Gráfica cóncava hacia abajo
Criterios de Concavidad
Sea f ´diferenciable en el intervalo ] a ; b [.
Si f ´´( x ) > 0 para todo x en ] a ; b [, entonces f es cóncava
hacia arriba en ] a ; b [.
Si f ´´( x ) < 0 para todo x en ] a ; b [, entonces f es cóncava
hacia abajo en ] a ; b [.
Considere el ejemplo f ( x ) = ( x - 2)
3
para determinar la
concavidad.
Ejemplo 1:
Un estudio de eficiencia del turno de la mañana de una
fábrica indica que un trabajador promedio, que comienza
a las 8:30 am, habrá producido:
Q ( t ) = - t
3
+ 9 t
2
+ 12 t unidades t horas después.
a.¿En qué momento el trabajador se desempeña con
máxima eficiencia?
b.¿Cuál es el significado del tiempo obtenido en la
pregunta anterior?
Ejemplo 2:
En cada caso bosqueje la gráfica de una función Costo total
C ( q ) con costo fijo S/. 300, que cuando se producen 40
unidades el costo es de S/. 500 y además tiene:
a.Costo marginal creciente b. Costo marginal decreciente
Trace la gráfica de las siguientes funciones usando
derivadas.
a..
b.. f ( x ) = x (1 - x )
3
c.. g ( x ) = x
1/
( x – 8)
Ejemplo 4:
2 2
2
1
( )
4 3
f x x x
Prueba de la segunda derivada
Suponga que f ´ ( x
0
Si f ´´( x
0
) > 0, entonces f es cóncava hacia arriba, por lo
tanto, tiene un mínimo relativo en x
0
Si f ´´( x
0
) < 0 entonces f es cóncava hacia abajo, por lo
tanto, tiene un máximo relativo en x
0
0
b
a c d e x
y