Conceptos Básicos de Geometría, Exámenes de Matemáticas

¡Descarga Conceptos Básicos de Geometría y más Exámenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Conceptos B´asicos de Geometr´ıa

Jos´e Mendoza

Departamento de Matem´aticas Universidad del Atl´antico

May 18, 2020

Postulado 1. Postulado de la distancia

A cada para de puntos diferentes corresponde un n´umero positivo ´unico

Definici´on

La distancia entre dos puntos es el n´umero obtenido mediante el postulado de la distan- cia. Si los puntos son P y Q, entonces indicamos la distancia por PQ.

La distancia se define simplemente con relaci´on a un par de puntos y no depende del orden en que se consideran los puntos. En consecuencia, siempre tenemos que PQ = QP.

Si la coordenada de P es x y la coordenada de Q es y , entonces el postulado de la regla nos dice que PQ = |y − x|

Postulado 3. El postulado de colocaci´on de la regla

Dados dos puntos P y Q de una recta, se puede escoger el sistema de coordenadas de manera que la coordenada de P se cero y la coordenada de Q se positiva.

Definici´on

B est´a entre A y C , si

1 A, B y C son puntos distintos de una misma recta, y 2 AB + BC = AC.

Postulado 4. Postulado de la recta

Dados dos puntos distintos cualesquiera, hay exactamente una recta que los contiene.

La recta que contiene los puntos A y B se denota por

AB.

Definici´on

Sean A y B dos puntos de una recta L. El rayo

AB es el conjunto de puntos que es la reuni´on de

1 el segmento AB y 2 el conjunto de todos los puntos C para los cuales es cierto que B est´a entre A y C. El punto A se llama extremo de

AB

Definici´on

Si A est´a entre B y C , entonces

AB y

AC se llaman rayos opuestos.

Teorema 1. Teorema de localizaci´on de puntos

Sea

AB y sea x un n´umero positivo. Entonces, existe exactamente un punto P de

AB

tal que AP = x.

Demostraci´on

Afirmaciones Razones

1. Se puede elegir un sistema de coordenadas en la recta

AB de manera que la coordenada de A sea igual a 0 y la coordenada de B sea un n´umero positivo r

Postulado de colocaci´on de la regla

2. Sea P el punto cuya coordenada es el n´umero dado x

Postulado de la regla

3. P est´a en

AB Por hip´otesis x > 0

4. AP = |x − 0 | = |x| = x Definici´on de valor abso- luto, |x| = x, x > 0.

Teorema 2.

Todo segmento tiene exactamente un punto medio.

Demostraci´on

Sea AB un segmento Afirmaciones Razones

1. Sea M un punto en

AB tal que AM =

AB

Teorema de localizaci´on de puntos

2. Se elige un sistema de coordenadas con coor- denada de A cero y la de B positiva

Postulado de la colocaci´on de la regla

3. La coordenada de M es

AB

AM = |M − A| = |M −

0 | = M

4. AM = MB MB = AB −

AB

AB

Definici´on

Decimos que el punto medio de un segmento biseca al segmento.

Ejemplo

Datos: Los puntos A, B, C , D, como en la figura de la derecha, con AD = CB. Demostrar: AC = DB. Demostraci´on: Afirmaciones Razones

1. AC + CD = AD Definici´on de estar entre.
2. CD + DB = CB Definici´on de estar entre.
3. AC + CD = CD + DB Sustituci´on en 1, 2 y 3.
4. AC = DB Propiedad de la igualdad con re- specto a la sustracci´on