Rectas, planos y separación, Exámenes de Matemáticas

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Rectas, planos y separaci´on

Jos´e Mendoza

Departamento de Matem´aticas Universidad del Atl´antico

May 29, 2020

Rectas, planos y separaci´on

Definici´on El conjunto de todos los puntos se llama espacio.

Definici´on Los puntos de un conjunto est´an alineados o son coliniales, si hay una recta que los contienes.

Definici´on Los puntos de un conjunto son coplanarios, si hay un plano que los contiene a todos.

Postulado 5

a. Todo plano contiene al menos tres puntos que no est´an alineados. b. El espacio contiene al menos cuatro puntos que no est´an en un plano.

Teorema 1.

Si dos rectas diferentes se intersecan, su intersecci´on contiene un punto solamente.

Demostraci´on

Si la intersecci´on no tiene s´olo un elemento, entonces o es vac´ıa (lo cual contradice nuestra hip´otesis) o tiene al menos dos elementos diferentes A y B; en cuyo caso por el postulado de la recta, ambas rectas deben ser

AB, lo cual contradice el hecho de que las rectas son diferentes. Por lo tanto la intersecci´on tiene s´olo un punto.

Rectas, planos y separaci´on

Postulado 6 Si dos puntos de una recta est´an en un plano, entonces la recta est´a en el mismo plano.

Teorema 2. Si una recta interseca a un plano que no la contiene, entonces la intersecci´on contiene un solo punto.

Rectas, planos y separaci´on

Teorema 4. Dada dos rectas que se intersecan, hay exactamente un plano que las contiene.

Postulado 8 Si dos planos diferentes se intersecan, su intersecci´on es una recta.

Definici´on

Un conjunto A se llama convexo, si para cada dos puntos P y Q del conjunto, todo el segmento PQ est´a en A.

Postulado 9. El postulado de separaci´on del plano

Se da una recta y un plano que lo contiene. Los puntos del plano que no est´an en la recta forman dos conjuntos tales que

1 cada uno de los conjuntos es convexo, y 2 Si P est´a en uno de los conjuntos y Q en el otro, entonces el segmento PQ interseca a la recta.

Rectas, planos y separaci´on

Postulado 10. El postulado de separaci´on del espacio

Los puntos del espacio que no est´an en un plano dado forman dos conjuntos tales que 1 cada uno de los conjuntos es convexo, y 2 Si P est´a en uno de los conjuntos y Q en el otro, entonces el segmento PQ interseca al plano.

Definiciones Los dos conjuntos determinados por el postulado de separaci´on del espacio se llaman semiespacios, y el plano dado se llama la cara de cada uno de ellos.

Angulos y tri´´ angulos

Definici´on Si dos rayos tienen el mismo origen o extremo, pero no est´an en la misma recta, entonces su reuni´on es un ´angulo. Los dos rayos se llaman lados del ´angulo y el extremo com´un se llama el v´ertice. Si los rayos son

AB y

AC , entonces el ´angulo se indica con ∠BAC o ∠CAB. Para abreviar, podemos escribir sencillamente ∠A, si conocemos los lados a que nos referimos.

Angulos y tri´´ angulos

Definiciones Sea ∠BAC un ´angulo en el plano E. Un punto P est´a en el interior del ∠BAC , si 1 P y B est´an del mismo lado de la recta

AC , y 2 P y C est´an del mismo lado de la recta

AB.

El exterior del ∠BAC es el conjunto de todos los puntos de E que no est´an en el ´angulo y que tampoco est´an en su interior.

Angulos y tri´´ angulos

Definiciones Un punto est´a en el interior de un tri´angulo, si est´a en el interior de cada uno de los ´angulos del tri´angulo. Un punto est´a en el exterior de un tri´angulo, si est´a en el plano del tri´angulo, pero no est´a en el tri´angulo o en su interior.

Nota Se utilizar´a el simbolismo X − Y − Z para indicar que ’Y est´a entre X y Z ’

Postulado 12. El postulado de la construcci´on del ´angulo

Sea

AB un rayo de la arista del semiplano H. Para cada n´umero r entre 0 y 180, hay exactamente un rayo

AP, con P en H, tal que m∠PAB = r

Postulado 13. El postulado de la adici´on de ´angulos

Si D est´a en el interior del ∠BAC , entonces m∠BAC = m∠BAD + m∠DAC

Definici´on

Si

AB y

AD, y

AC es otro rayo cualquiera, entonces ∠BAC y ∠CAD forman un par lineal.

Definici´on

Si la suma de las medidas de dos ´angulos es 180, entonces decimos que los ´angulos son suplementarios, y que cada uno es el suplemento del otro.

Angulos y tri´´ angulos

Definici´on Un ´angulo recto es un ´angulo cuya medida es 90.

Definici´on

Si

AB y

AC forman un ´angulo recto, entonces se llaman perpendiculares, y escribimos −→ AB ⊥

AC.

Definiciones

Si la suma de las medidas de dos ´angulos es 90, entonces los ´angulos se llaman com- plementarios y cada uno de ellos se llama el complemento del otro. Un ´angulo con medida menor de 90 se llama agudo. Un ´angulo con medida mayor que 90 se llama obtuso.