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LENGUAJE MATEMÁTICO; OBJETOS MATEMÁTICOS…
Lenguaje matemático
Para aprender Matemáticas hace falta conocer su idioma , sus palabras clave, los objetos que se
utilizan, las herramientas necesarias para manejar esos objetos…
- El idioma que utiliza es formal y abstracto. Mezcla palabras, números, símbolos, figuras y
conceptos que tienen un “significado matemático”, que no siempre coincide con el significado en
el lenguaje normal, castellano o de cualquier otro idioma.
- La Matemática es una ciencia lógica y deductiva. La deducción lógica exige cumplir unas reglas
muy precisas: “si no se cumplen, no funciona”. (Ejemplo de móviles y ordenadores.)
- Parte de unos principios (axiomas); de unas definiciones y conceptos; de unos objetos (números,
símbolos, operadores…); de unas “reglas de juego” (propiedades); …
- Las reglas de juego hay que aprenderlas, memorizarlas y usarlas. (Esto significa que hay que
estudiarlas.)
- Las herramientas que se utilizan son los conceptos, las operaciones, las propiedades…
- Utilizando esas herramientas se genera un método, una teoría.
- Los resultados deben ser demostrados; no basta con una simple comprobación. Una vez
demostrados pueden aplicarse como un molde.
Qué estudia la matemática
Sin entrar en detalle, puede decirse que la matemática estudia la cantidad (números; álgebra), la
extensión (la figura, la forma, ángulos; geometría); el cambio, la variación de magnitudes (el límite;
análisis); grandes conjuntos de datos (estadística); el azar y su medida (probabilidad).
Pero lo realmente importante de la matemática es su método (lógico, deductivo, constructivo,
seguro y universal), que hace que pueda aplicarse en prácticamente todas las otras ciencias: como
herramienta de cálculo y de visualización, como sistema de organización del conocimiento teórico
(proporcionando modelos matemáticos), como “garantía” de certeza…
Ejemplo:
En la siguiente figura se muestra un fenómeno casi periódico (real). Se trata de la relación entre dos
poblaciones silvestres del Canadá, una de ellas un depredador (el lince), la otra, su presa (la liebre).
A la derecha se da un modelo teórico, donde cada una de las poblaciones ha sido ajustada a las
funciones f ( x ) = 60 + 50 sin(0,6 x + 1,2) , liebres; y g ( x ) = 40 + 35sin(0,6 x ) , linces. Es evidente que
ese modelo teórico no es bueno. Su aplicación podría generar grandes errores.
(La idea de este ejemplo está tomada del libro de 1º de Bachillerato para CC SS de McGraw−Hill, 2007.)
Ejemplo:
En la tabla siguiente se muestra la población española a lo lago del siglo XX.
Año 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
Población en miles 18616 19990 21388 23877 26014 28117 30582 33956 37742 39433 40450
Se observa que:
(Población 1910) : (Población 1900) = 19990 : 18616 = 1,
(Población 1920) : (Población 1910) = 21388 : 19990 = 1,
(Población 1930) : (Población 1920) = 23677 : 21388 = 1,
(Población 1940) : (Población 1930) = 26014 : 23677 = 1,
Es decir, los cocientes de (^) P ( t ) para valores igualmente espaciados (10 años) son parecidos, con una
media de 1,087. Así pues, sabiendo que la población en 1900 era de 18616 (miles), podemos
estimar la población en las décadas siguientes.
Si llamamos t al número de décadas transcurridas desde 1900, podemos trabajar así:
En 1910, t = 1:
En 1920, t = 2:
En 1960, t = 6:
P (1) P (0) 1,087 = 18616·1,087 = 20236
P (2) P ( 1 )· 10 , 87 = P (0) 1 ,08 7
2 = 18616 · 1 ,08 7
2 = 21996
P (6) P (0) 1 ,08 7
6 = 18616 · 1 ,08 7
6 = 30709.
Y, por último, en 1990, t = 9: P (9) 18616·1,
9 = 39441 , resultado de notable precisión.
En general: P ( t ) = 18616 1,
t , que una función exponencial.
El diagrama de barras es el correspondiente a los datos de la tabla.
La línea roja de la figura de la derecha corresponde a los mismos datos. La línea negra es la de la
función exponencial.
Comentarios:
- Los fenómenos demográficos, y en general la mayoría de los fenómenos económicos y sociales,
no se ajustan de manera permanente a una función exponencial, ni de ningún otro tipo, pues
suelen darse cambios de tendencia debidos a diversas razones. Así, si seguimos la evolución de
la población española a partir de 1990 vemos que no se ajusta a la exponencial
P ( t ) = 18616 1,
t , pues en 2000: P (10) P (0) 1,
10 = 18616·1,
10 = 42873 , que se aleja
del dato real. (Como sabrás, en los últimos años del siglo XX se produce un estancamiento en la
población, mientras que en los primeros años del siglo XXI, como consecuencia de la
emigración, la población española ha crecido notablemente, lo que puede implicar que para el
2010 este modelo vuelva a ser válido)
- El modelo elegido en este caso ha sido de tipo funcional, pero en la mayoría de los casos
asociados a las ciencias sociales los modelos deben ser probabilísticos.
(La idea de este ejemplo está tomada del libro de 1º de Bachillerato para CC SS de ediciones SM, 2008.)
Objetos aritméticos
Los objetos de la aritmética y del algebra son los más utilizados, ya que se emplean en todas las ramas
de las matemáticas. Por tanto, resulta imprescindible conocerlos y manejarlos con soltura.
Los objetos matemáticos básicos asociados a la aritmética y al álgebra son los números y las
expresiones algebraicas. Estos objetos suelen relacionarse mediante operaciones o mediante
composiciones.
Las operaciones elementales son la suma−resta y la multiplicación−división. Esas operaciones se rigen
por unas reglas que llamamos propiedades: conmutativa, asociativa…
Por composiciones se quiere designar la concatenación de operaciones, signos, paréntesis…, dando
lugar a objetos más complejos. En esas composiciones suele ser determinante el orden en el que se
suceden los símbolos. Por ejemplo, no es indiferente que un signo menos vaya delante, dentro o detrás
de un paréntesis: −( * ), (− * ), ( * ) −. [El * designa cualquier otro objeto matemático]. En cambio,
otras veces dará igual ese orden; así, por ejemplo, − (+4) = + (−4). Estas y otras son las reglas que hay
que conocer para trabajar con objetos matemáticos.
Las operaciones aritméticas elementales
El lector debería estar familiarizado con cualquiera de las operaciones con números: sumas, restas,
multiplicaciones, divisiones, potencias, raíces. Y con las operaciones con cualquier tipo de números:
naturales (enteros positivos), enteros negativos, fraccionarios (racionales) y radicales (un tipo de
irracionales). Aquí, de momento, se recordarán las dificultades más comunes, que dan lugar a la
mayoría de los errores. Algunas de ellas se presentan cuando:
1. Se opera con números enteros, sumando/restando o multiplicando/dividiendo. Las reglas a seguir
son, básicamente, las relacionadas con los signos, la prioridad de las operaciones y el uso de paréntesis.
Ejemplo:
La operación 15 − 3 · (7 − 9) = 15 − 3 · (−2) = 15 + 6 = 21.
Observa que primero se opera dentro del paréntesis, a continuación se hace el producto, y, por último,
se realiza la suma.
2. Se opera con fracciones, pues además de lo anterior hay que saber el mecanismo de las operaciones.
Ejemplo:
Para realizar la operación
- 3 , además de saber el significado de cada uno de los sumandos,
hay que reducir a común denominador, procediendo como sigue:
5 −
3. Se opera con potencias.
Ejemplos:
Para realizar esta operación 3 2 − 3 ·( 1 + (− 2 ) 3 )
2 , hay que seguir con cuidado el orden de las operaciones.
Se haría así:
2 − 3 ·( 1 + (− 2 ) 3 )
2 = 9 − 3 ·( 1 + (− 8 ))
2 = 9 − 3 ·( 1 − 8 )
2 = 9 − 3 · 7 2 = 9 − 3 · 49 = 9 − 147 = − 138
Ejemplos:
a) En el supuesto de que “el todo” sean 24 personas, un sexto de ellas serían 6 personas:
de 24 = 4.
6
Si el todo son 1500 euros,
de 1500 € = 250 €.
6
b) Cuando se toman 2 de esas 6 partes, la fracción correspondiente es “dos sextos”:
. Como es
6
evidente,
es el doble de
6
. Esto es:
. Por eso,
6
de 1500 € = 250 € + 250 € = 500 €. La
6
operación que hay que realizar es:
de 1500 € =
c) La fracción
representa el todo:
6
= 1 (la totalidad de la cantidad dividida). Así,
6
de 1500 € =
6
Definición de porcentaje. Un porcentaje es una parte de un todo que vale 100: un tanto por 100. Un 7
por 100, 7%, significa que de 100 partes se toman 7. Esto es: el 7 % es igual a la fracción
Ejemplo:
El 3 % de una cantidad es la fracción
de esa cantidad. Así, el 3 % de 1500 € es
100
Observaciones:
- Como
= 0,03, el 3% de una cantidad se calcula multiplicándola por 0,03. Así, el 3% de 1500 = 100
0,03 · 1500 = 45.
- Esto que acabamos de hacer es una consecuencia de la definición. Es una propiedad que facilita el
cálculo de porcentajes.
Definición de potencia: A
n = A · A ·...· A , el factor A , que puede ser un número o cualquier objeto
matemático, se repite n veces.
Entender esta definición implica, entre otras cosas, saber que:
a) 2
5 = 2·2·2·2·2 = 32.
b) (− 3 )
4 = (−3)·(−3)·(−3)·(−3) = 81
2
c) = · · = =
3 3 3 3^ 3·3·3^27
A
d) ( 2 x − 1 )
2 = (2 x − 1)·(2 x − 1) = 4 x 2 − 2 x − 2 x + 1 = 4 x 2 − 4 x + 1
e) La expresión: ( a + b )·( a + b )·( a + b )( c − d )·( c − d ) puede escribirse como ( a + b )
3 ·( c − d )
2 .
Definición de raíz cuadrada de un número: la raíz cuadrada de un número A es otro número a tal que
a
2 = A.^ Simbólicamente se^ indica^ así:^ = a.
La raíz cuadrada de los números negativos no existe.
Ejemplo:
Una de las propiedades de la potenciación dice así: ( a · b )
n = a n · b n ; o sin el punto de multiplicación,
( ab )
n = a n b n , siendo a y b números o expresiones cualesquiera.
Esta propiedad significa que “la potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada
uno de los factores”.
En concreto:
( 2 x )
5 = 2
5 x
5 = 32 x
5 ;
Análogamente,
4 x
4 = ( 5 x )
4
(3·10)
4 = 3
4 ·
4 = 81·10000 = 810000 → haciendo el producto de las potencias
(3·10)
4 = 30 4 = 810000 → haciendo la potencia del producto
Por lo mismo:
6 · 6 = (2·5)
6 = 10 6 = 1000000
Si en este último ejemplo no se aplica esa propiedad, la operación que resultaría más engorrosa, pues:
6 ·
6 = 64·15625 = 1000000
Nota. Un error clásico al calcular ( 2 x )
5 , es escribir ( 2 x )
5 = 2 x
5
. Esto es, ignorar que el paréntesis
indica que el exponente afecta a todo lo que contiene.
Algunos procedimientos (otras reglas de funcionamiento)
Además de las propiedades de las operaciones, que nos facilitan el manejo de las expresiones y demás
objetos matemáticos, existen otras herramientas que hay que manejar con destreza. A continuación nos
fijamos en algunas de ellas.
Paréntesis y prioridad de operaciones
Los paréntesis, ( ), son símbolos que se utilizan para agrupar objetos matemáticos. Todo lo que vaya
dentro de un paréntesis actúa como un solo objeto. Lo normal es que se opere dentro del paréntesis para
simplificarlo. Los corchetes, [ ], o las llaves, { }, tienen la misma significación.
Ejemplo:
Para realizar la operación 7 − (4 + 5 −1) + 3 · [7 −2]
2 , lo normal es escribir:
7 − (4 + 5 −15) + 3 · [7 −2] 2 = 7 − (−6) + 3 · 5 2 = 7 + 6 + 3 · 25 = 7 + 6 + 75 = 88.
- Para sacar elementos de un paréntesis hay que seguir las reglas de las operaciones. Así, en el
ejemplo anterior pueden aplicarse tres reglas:
- Un signo menos delante de un paréntesis afecta a todos los objetos que están dentro de él;
- El cuadrado de una diferencia es igual a la suma de los cuadrados de los términos menos el doble de
su producto, esto es ( a − b )
2 = a
2
2 − 2 ab ;
- Si un número multiplica a un paréntesis, multiplica, uno a uno, a todos los elementos que hay dentro
de él.
Por tanto:
7 − (4 + 5 −15) + 3 · [7 −2] 2 = 7 − 4 − 5 + 15 + 3 · [ 2
= 7 − 4 − 5 + 15 + 3 · [49 + 4 − 28] = 7 − 4 − 5 + 15 + 3 · 49 + 3 · 4 − 3 · 28 =
= 7 − 4 − 5 + 15 + 147 + 12 − 84 = 88.
Nota. Es evidente que la primera forma de operar es más simple, rápida y segura. Será la que se emplee
siempre que sea posible.
Errores frecuentes
Los paréntesis, combinados con productos y signos suelen ser fuente de problemas. En los siguientes
ejemplos se ponen de manifiesto algunos errores frecuentes.
Ejemplos:
a) 5 − (2 x − 7) = 5 − 2 x − 7 es erróneo. Un signo − delante de un paréntesis cambia de signo a todos
los elementos que están dentro.
Lo correcto es: 5 − (2 x − 7) = 5 − 2 x + 7 = 12 − 2x
b) 5·
3 = 10
3 es erróneo. Si ha visto un paréntesis donde no lo hay. Se ha visto (5·2)
3 , que,
efectivamente es 10
3 .
Lo correcto es: 5· 3 = 5·8 = 40
c) ( 2 x )
3 = 2 x
3 es erróneo. Se ha cometido el error contrario: se ha ignorado el paréntesis.
Lo correcto es: ( 2 x )
3 = 2
3 · x
3 = 8 x
3
d) ( 2 + x )
2 = 4 + x
2 es erróneo. Se ha olvidado que el cuadrado afecta a todo el paréntesis.
Lo correcto es: ( 2 + x )
2 = ( 2 + x )·( 2 + x ) = 4 + 4 x + x
2
e) − 4 2 = 16 es erróneo. Se ha supuesto que el exponente afecta al signo −; en ese caso habría que
haber escrito (−4)
2 .
Lo correcto es: − 4 2 = − 4 · 4 = −16.
f) (−3) · 6 + 2 = (−3) · 8 = −24 es erróneo. Se ha supuesto que (−3) · 6 + 2 = (−3) · (6 + 2).
Lo correcto es: (−3) · 6 + 2 = −18 + 2 = −16.
- La mayoría de los errores citados están relacionados con el desconocimiento de la prioridad de las
operaciones. Debe recordarse que cuando aparecen una serie de operaciones combinadas: sumas,
restas, productos, cocientes, paréntesis… conviene seguir el siguiente orden:
- º Resolver los paréntesis;
- º Hacer multiplicaciones y divisiones;
3.º Hacer sumas y restas.
Ejemplos:
a) Para hallar (−3) · [(−2) · (– 8) − 2 · 5] + (12 − 10), la prioridad es:
Agrupar el corchete y el paréntesis:
(−3) · [(−2) · (– 8) − 2 · 5] + (12 − 10) = (−3) · [16 − 10] + 2 = (−3) · 6 + 2
Multiplicar y sumar (y atención a los signos):
(−3) · 6 + 2 = −18 + 2 = − 16
b) En el ejemplo a) se trastocan los paréntesis. Operación: (−3) · [(−2) · (– 8) − 2] · 5 + (12 − 10).
El resultado es:
(−3) · [(−2) · (– 8) − 2] · 5 + (12 − 10) = (−3) · [16 − 2] · 5 + 2 = (−3) · 14 · 5 + 2 =
= −210 + 2 = − 208
4. S A = B, entonces A
2 = B
2
. (En general, A = B A
n = B
n , para n un número entero.)
2 x + 7
Esta propiedad se utiliza para resolver ecuaciones en las que aparezcan raíces cuadradas.
- La recíproca no siempre es cierta: Si A
2 = B
2 no puede asegurarse que A = B.
Ejemplos:
a) Para resolver la ecuación = 3 , puede procederse así:
2 x + 7 = 3 ( 2 x + 7 )
2 = 3
2 (^2) x + 7 = 9 (^2) x = 2 (^) x = 1
b) Para ver que el recíproco no siempre es cierto basta con recurrir a un contraejemplo.
Si en la expresión (+5) 2 = (−5) 2 se quitan los exponentes queda +5 y −5, que obviamente no son
iguales. Por eso, cuando se resuelve la ecuación (^) x 2 = 25 hay que decir que x = 5 o^ x = − 5.
Algo sobre desigualdades
Los signos de desigualdad son: <, , >,
Escribir A < B significa que el valor de A es menor que el valor de B.
La expresión A ≥ B significa que el valor de A es mayor o igual que el valor de B.
Algunas propiedades de las desigualdades son:
- Si A < B entonces:
A + n < B + n A − n < B − n
A · n < B · n, si n > 0 A/n < B/n, si n > 0
A · n > B · n, si n < 0 A/n > B/n, si n < 0
Observaciones:
- OJO con la tercera conclusión: Si se multiplica (o divide) por un número negativo, cambia el
sentido de la desigualdad.
- Resultan evidentes las siguientes conclusiones:
A < B B > A A < B – A > – B
- Lo dicho para < o > sirve para ≤ o ≥.
Ejemplos:
a) Obsérvese:
3 < 5 (multiplicando por 6) 18 < 30
3 < 5 (multiplicando por −6) −18 > −30 (se cambia < por >)
b) Igualmente:
2 x
2 8 (dividiendo por 2) x
2 4.
− x + 1 − 2 x (multiplicando por −1) − (− x + 1) 2 x ^2 x x − 1.
c) Si^10 5 x ^5 x ^ x^ > 2^ →^ x^ > 2 son todos los puntos del intervalo (2, + ∞).
d) Si − 2 x 4 2 x − 4 x ≤ − 2 → x ≤ −2 son todos los puntos del intervalo (–∞, 2].
- Otras propiedades son:
A < B no implica que A
2 < B
2
A B – B < A < B
Ejemplos:
A B A > B o – A > B
Un paso adelante. Desarrollando la teoría
Cuando se manejan con soltura las operaciones elementales y sus propiedades surge la necesidad de
avanzar más. La matemática da respuesta a muchísimas preguntas y puede aplicarse en problemas
diversos. Eso exige definir conceptos nuevos, formular propiedades nuevas, descubrir nuevos
problemas… En definitiva, se comienza a desarrollar una teoría: se plantean conjeturas, se demuestran
propiedades, se aplican a problemas concretos.
Como aclaración, vamos a desarrollar parte de la teoría de las progresiones aritméticas.
Definición. Una sucesión de números se dice que es una progresión aritmética cuando cada término
se obtiene sumando al anterior un número fijo, llamado diferencia de la progresión.
Ejemplos:
a) La sucesión 2, 5, 8, 11,… es una progresión aritmética de diferencia d = 3.
b) La sucesión 7, 5, 3, 1,… es una progresión aritmética de diferencia d = −2.
c) La sucesión 2, 3, 5, 8, 12,… no es una progresión aritmética.
Un paso adelante. Fácilmente puede deducirse que, en una progresión aritmética, la diferencia
entre dos términos consecutivos siempre es la misma. En consecuencia, una progresión aritmética
queda determinada dando cualquier término y la diferencia.
Ejemplos:
a) Si dos términos consecutivos de una p. a. valen 7 y 12, su diferencia es 12 − 7 = 5. Otros
términos son: 12 + 5 = 17, 17 + 5 = 22…
b) La sucesión 2, 3, 5, 8, 12,… no es una progresión aritmética, porque la diferencia entre dos
términos consecutivos no es la misma: 3 − 2 = 1; 5 − 3 = 2.
Generalizando
Si a los sucesivos términos de la progresión se le designan por a 1 , a 2 , a 3 … an
la progresión aritmética es:
y la diferencia por d ,
a 1 a 2 = a 1 + d a 3 = a 2 + d a 4 = a 3 + d ... an = an − 1 + d
La última expresión, an = an − 1 + d , generaliza cualquier término; por tanto, puede servir para
definir cualquier progresión si se indica el valor de a 1 y la diferencia d. (Esta definición se conoce
como fórmula de recurrencia.)
Ejemplos:
a) La progresión 3, 5, 7, 9… puede definirse indicando a 1 = 3 y an = an − 1 + 2.
b) La progresión a 1 = 3 y an = an − 1 − 4
a 3 = a 2 − 4 = − 1 − 4 = − 5 …
es: 3, −1, −5…, pues a 2 = a 1 − 4 = 3 − 4 = −1,
Otra generalización
El término general también se puede obtener observando que:
De a 1
se tiene:
a 2 = a 1 + d
a 2 = a 1 + d
a 3 = a 2 + d
a 3 = a 1 + 2 d
a 4 = a 3 + d
a 4 = a 1 + 3 d
an = an − 1 + d
an = a 1 + ( n − 1) d
En consecuencia, el término general de una progresión aritmética es:
Esta fórmula nos permite conocer cualquier término sin necesidad de hallar toda la sucesión.
an = a 1 + ( n − 1) d
