¡Descarga Conductores electricos y más Ejercicios en PDF de Física solo en Docsity!
Q6. Una gota esfèrica carregada de radi 𝑟 = 0 , 7 mm està a un potencial elèctric de 9 , 0 V. Quina càrrega
i quin potencial elèctric tindria una gota esfèrica formada per la unió de tres gotes com l’anterior?
a) 0 , 7 pC ; 19 V b) 2 , 1 pC ; 27 V c) 2 , 1 pC ; 19 V d) 0 , 7 pC ; 9 V
Del potencial inicial podem treure’n la càrrega de les gotes esfèriques inicials:
= 0 , 7 pC
Per conservació de càrrega, la càrrega final serà 3 vegades la càrrega inicial:
′
= 3 𝑞 = 2 , 1 pC
D’altra banda, el radi de l’esfera final es pot determinar a partir del radi de les gotes inicials pel
principi de conservació de massa que, assumint una densitat de massa constant, duu a la conservació
del volum: és a dir, el volum del conjunt de les tres gotes inicials ha de ser igual al volum de la gota
final. Per tant, podem escriure:
3
3
′
1
3
𝑅 = 1 mm
Per tant, la gota esfèrica final tindrà un potencial:
′
′
′
= 19 V
Q3. Dues esferes conductores de radis 𝑅
1
= 2 cm i 𝑅
2
= 1 cm,
carregades amb 𝑄
1
= + 2 μC i 𝑄
2
= − 1 μC, estan separades
una distància 𝐷 = 2 m.
A continuació connectem les dues esferes amb un fil metàl·lic. Un cop assolit l’equilibri electrostàtic i
negligint els efectes d’influència electrostàtica entre les dues esferes, calculeu el mòdul del camp
elèctric al punt P equidistant del centre de les esferes.
a) 0 V/m b) 6000 V/m c) 9000 V/m d) 3000 V/m
El fet que les esferes conductores estiguin en contacte en equilibri electrostàtic implica que les dues
estan al mateix potencial. A la vegada, aquest procés d’igualar els potencials imposarà una
transferència de càrrega que els modificarà les càrregues inicials, però sempre tenint en compte que
la càrrega total inicial es conservarà ja que el sistema format per les dues esferes sempre es
conservarà. Imposant aquestes dues condicions (igualtat de potencial i conservació de càrrega)
podrem trobar les càrregues finals amb les quals podrem calcular els camps elèctrics que ens
demanen. Matemàticament:
1
′
2
′
1
′
1
2
′
2
2
′
1
′
2
1
1
2
1
′
2
′
1
′
1
2
2
′
2
′
1
2
2
′
2
1
2
′
1
2
2
1
2
1
− 1
= 0 , 33 μC → 𝑄
1
′
1
2
2
′
= 0 , 67 μC
Un cop tenim el valor de cada càrrega un cop les esferes estan connectades, ja podem calcular el camp
elèctric creat per cadascuna de les esferes al punt mig entre esferes. Per fer-ho, podem fixar l’origen
del sistema de referència al punt on volem calcular el camp de manera que el centre de l’esfera 1
estarà al punt (− 1 , 0 ) i el centre de l’esfera 2 estarà al punt ( 1 , 0 ). Amb aquests punts ja podem
determinar els vectors que necessitem per calcular els camps, tal com mostra la figura.
Podem veure, doncs, que 𝑟 1
2
= 1 m.
1
1
′
1
2
1
1
′
2
2
2
′
2
2
2
2
′
2
1
′
1
2
1
2
′
2
2
2
1
′
2
′
2
1
′
2
′
2
= 3000 V/m
Q9. Una esfera conductora de radi 2 𝑅, inicialment descarregada,
es connecta a quatre esferes de radi 𝑅 mitjançant quatre fils
conductors molt llargs. La càrrega inicial de cada esfera petita es
0
= 2 μC. Calculeu la càrrega final 𝑄 de l’esfera gran una
vegada assolit l’equilibri electrostàtic.
a) 𝑄 = 8 μC b) 𝑄 = 4 μC
c) 𝑄 = 4 / 3 μC d) 𝑄 = 8 / 3 μC
Considereu 𝑉
∞
En aquest problema podem imposar dues condicions.
El sistema format per totes les esferes està aïllat i per tant la càrrega total es conservarà:
0
La connexió de totes les esferes entre elles permetrà la transferència de càrregues entre elles per tal
que els seus potencials s’igualin. Tenint en compte que una esfera amb càrrega 𝑞 i radi 𝑅, lliure de la
influència electrostàtica de camps externs, està a un potencial:
aleshores la igualtat de potencial entre les esferes petites i l’esfera gran ens duu a:
Introduint l’última igualtat de l’equació ( 2 ) a l’equació ( 1 ) obtenim el que demana l’enunciat:
0
0
0
μC
Q4. Una esfera conductora de radi 𝑅 té una càrrega 𝑄. Quan la connectem simultàniament amb un
número 𝑁 d’esferes també conductores totes iguals i de radi 𝑅/ 3 inicialment descarregades i molt
separades entre si, la seva càrrega passa a ser 𝑄/ 5. Amb quantes esferes, 𝑁, s’ha connectat?
a) 𝑁 = 12 b) 𝑁 = 4 c) 𝑁 = 5 d) 𝑁 = 3
D’acord amb l’enunciat podem fer el dibuix següent:
La connexió entre les esferes permetrà la transferència de càrregues entre elles per tal d’assolir el
nou equilibri electrostàtic segons el qual totes les esferes estaran al mateix potencial. Tenint en
compte que les esferes estan prou allunyades les unes de les altres, i que el potencial d’una esfera de
radi 𝑅 i càrrega 𝑄 es pot escriure com:
Així, podem escriure que a la situació final el potencial de totes les esferes serà el mateix:
′
′
D’altra banda, l’enunciat ens diu:
𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
′
Com que tot el sistema també està aïllat, la càrrega total s’ha de conservar. Matemàticament:
𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
′
Introduint l’equació (1) a l’equació (2):
Q7. Dues petites esferes conductores, de radis 𝑅
1
= 1 cm i 𝑅
2
= 2 cm, tenen els seus centres separats una
distància ℓ = 1 m. Inicialment, l’esfera (1) té una càrrega 𝑄
1
= + 3 μC mentre que l’esfera (2) està
descarregada. Si connectem les dues esferes amb un fil conductor rígid, calculeu la força de tensió a la qual
es veu sotmès el fil un cop assolit l’equilibri electrostàtic. Considereu 𝑉
∞
a) 𝐹 = 27 mN b) 𝐹 = 18 mN c) 𝐹 = 20 mN d) 𝐹 = 9 mN
Donat que hi ha un força electrostàtica involucrada, necessitem conèixer les càrregues de les esferes
un cop aquestes s’han connectat. La connexió entre les esferes permetrà la transferència de càrrega
per tal d’assolir l’equilibri electrostàtic del conjunt. Aquest procés imposa dues condicions:
la conservació de càrrega del conjunt:
1
𝑖
2
𝑖
1
𝑓
2
𝑓
on els subíndexs 𝑖 i 𝑓 signifiquen estats inicial i final respectivament.
la igualtat del potencial de les dues esferes. Sabent que una esfera de radi R i càrrega q prou
lluny d’altres distribucions de càrrega està a un potencial:
podrem escriure
1
𝑓
2
𝑓
1
𝑓
1
2
𝑓
2
1
𝑓
2
𝑓
1
2
Introduint l’equació (ii) dins l’equació (i) obtenim
1
𝑖
2
𝑖
2
𝑓
1
2
2
𝑓
2
𝑓
1
2
2
𝑓
1
𝑖
2
𝑖
1
2
= 2 μC
1
𝑓
1
𝑖
2
𝑖
2
𝑓
= 1 μC
Ara que ja tenim les càrregues, ja podem fer l’anàlisi de forces: com que qualsevol de les esferes
està en repòs això vol dir que la suma de forces que actuen sobre elles és nul·la. Fent el diagrama de
forces sobre l’esfera 2, per exemple, podem dibuixar:
on es fa evident que el mòdul de la força que fa l’esfera 1 sobre l’esfera 2 s’ha d’igualar amb la tensió
de la corda:
1
1
1
D’altra banda, la força que fa l’esfera 1 sobre l’esfera 2 és:
1
1
𝑓
2
𝑓
2
1
1
𝑓
2
𝑓
2
= 18 mN → 𝑇 = 18 mN
Tenim dues esferes conductores, una de radi 𝑅
1
= 20 cm que té una càrrega 𝑄
1
= − 9 nC, i l’altra de
radi 𝑅
2
= 40 cm i càrrega 𝑄
2
= + 5 nC, situades molt lluny una de l’altra.
Q1. Si un electró s’escapa, sense velocitat inicial, des de la superfície de l’esfera (1), calculeu amb
quina velocitat arribarà a la superfície de l’esfera (2).
Dades per l’electró : 𝑞 = − 1 , 6 · 10
− 19
C ; 𝑚 = 9 , 1 · 10
− 31
kg
a) 𝑣
2
= 0 b) 𝑣
2
8
m/s c) 𝑣
2
6
m/s d) 𝑣
2
7
m/s
Q2. Si connectem les dues esferes conductores entre si a través d’un fil conductor molt llarg, calculeu
les càrregues finals de les dues esferes, 𝑄
1 𝑓
i 𝑄
2 𝑓
a) 𝑄
1 𝑓
= − 4 / 3 nC ; 𝑄
2 𝑓
= − 8 / 3 nC b) 𝑄
1 𝑓
= − 3 nC ; 𝑄
2 𝑓
= − 1 nC
c) 𝑄
1 𝑓
= − 8 / 3 nC ; 𝑄
2 𝑓
= − 4 / 3 nC d) 𝑄
1 𝑓
= − 1 nC ; 𝑄
2 𝑓
= − 3 nC
Q1. Conservació de l’energia mecànica de l’electró, des de que surt de la superfície de l’esfera (1) fins
que arriba a la superfície de l’esfera (2):
𝑐𝑖𝑛,𝑖
𝑖
𝑐𝑖𝑛,𝑓
𝑓
0
1
𝑐𝑖𝑛, 2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
7
m/s
(vigileu amb el signe de les càrregues !!)
Q2. La connexió entre les dues esferes ocasionarà la transferència de càrrega per tal d’assolir
l’equilibri electrostàtic del conjunt. Aquest procés imposa dues condicions:
la conservació de càrrega del conjunt:
1 𝑖
2 𝑖
1 𝑓
2 𝑓
= − 4 nC (𝑖)
la igualtat del potencial de les dues esferes:
1 𝑓
2 𝑓
1 𝑓
1
2 𝑓
2
2 𝑓
1 𝑓
2
1
1 𝑓
Combinant les equacions (i) i (ii) obtenim
1 𝑓
2 𝑓
= − 4 nC → 𝑄
1 𝑓
1 𝑓
1 𝑓
= − 4 nC → 𝑄
1 𝑓
= − 4 / 3 nC
2 𝑓
1 𝑓
= − 8 / 3 nC
Q4. Una esfera conductora de radi 𝑅 té una càrrega 𝑄. A continuació la connectem amb 5 esferes
conductores més petites i idèntiques de radi 𝑟, inicialment descarregades. Un cop assolit l’equilibri
electrostàtic , i negligint els efectes d’influència electrostàtica entre les esferes, la càrrega final de
la esfera gran val 𝑄’ = 𝑄/ 3. Calculeu el valor del radi, 𝑟, de les esferes petites.
a) 𝑟 = 𝑅 b) 𝑟 = 2 𝑅/ 5 c) 𝑟 = 3 𝑅/ 5 d) 𝑟 = 6 𝑅/ 5
La connexió entre totes les esferes ocasionarà la transferència de càrrega per tal d’assolir l’equilibri
electrostàtic del conjunt. Aquest procés imposa dues condicions:
la conservació de càrrega del conjunt:
′
la igualtat del potencial totes les esferes:
𝑄
′
𝑞
′
Q3. Una petita esfera conductora de radi 𝑟 = 1 cm i massa 𝑚 = 5 g inicialment
descarregada penja d’un suport esfèric també conductor de radi 𝑅 = 3 cm fixat al
sostre, mitjançant un fil conductor d’ 1 m de longitud. Si carreguem el suport amb una
càrrega 𝑄 = 4 μC, calculeu la tensió mecànica del fil conductor un cop assolit
l’equilibri electrostàtic. Considereu 𝑉(∞) = 0.
a) 𝑇 = 75 mN b) 𝑇 = 23 mN c) 𝑇 = 49 mN d) 𝑇 = 26 mN
Connexió entre les dues esferes:
𝑟
𝑅
′
′
′
′
′
= 4 μC
Solució → 𝑄
′
= 3 μC; 𝑞
′
= 1 μC
Equilibri de la petita esfera conductora:
𝑒
′
2
= 0 , 049 N + 0 , 026 N = 0 , 075 N = 75 mN
