Conjunto concavos existen???, Apuntes de Matemáticas

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Tema 2

Conjuntos convexos

Jos´e R. Berrendero

Departamento de Matem´aticas Universidad Aut´onoma de Madrid

Contenidos del tema 2

I (^) Conjuntos convexos. Propiedades b´asicas y ejemplos. I (^) Cierre e interior de un conjunto convexo. I (^) Teorema de la proyecci´on. I (^) Teoremas de separaci´on. I (^) Caracterizaci´on de puntos extremos y direcciones extremas de S = {x : Ax = b, x ≥ 0 }. I (^) Teorema de representaci´on.

Ejemplos de conjuntos convexos

I (^) Hiperplanos: S = {x : p>x = α}, donde p ∈ Rn, α ∈ R.

I (^) Semiespacios: S = {x : p>x ≤ α}, donde p ∈ Rn, α ∈ R.

I (^) Intersecci´on arbitraria de convexos: Si Si es convexo para todo i ∈ I , entonces S =

⋂I

i=1 Si^ es un conjunto convexo.

I (^) Un poliedro (intersecci´on finita de semiespacios) es un conjunto convexo. Por ejemplo, S = {x : Ax ≤ b, x ≥ 0 } es un conjunto convexo.

I (^) Una bola B(¯x, r ) = {x ∈ Rn^ : ‖x − ¯x‖ < r } es un conjunto convexo (para cualquier norma).

Combinaciones afines

Combinaci´on af´ın de x 1 ,... , xk ∈ Rn:

y = λ 1 x 1 + · · · + λk xk ,

donde λ 1 + · · · + λk = 1.

Cierre af´ın de S:

afin(S) =

{ (^) k ∑

i=

λi xi : xi ∈ S,

∑^ k

i=

λi = 1

I (^) Un conjunto es af´ın si y solo S = afin(S). I (^) Un conjunto es af´ın si y solo si es la traslaci´on de un subespacio vectorial (´unico) I (^) La dimensi´on af´ın de un conjunto es la dimensi´on de su cierre af´ın (que a su vez es la dimensi´on del correspondiente subespacio vectorial).

Cierre convexo

−2 −1 0 1 2

−

−

0

1

2

−2 −1 0 1 2

−

−

0

1

2

Teorema de Carath´eodory

Cualquier punto del cierre convexo de un conjunto de Rn^ se puede poner como combinaci´on lineal convexa de a lo m´as n + 1 puntos del conjunto.

Teorema: Sea S ⊂ Rn. Si x ∈ conv(S), entonces x =

∑n+ i=1 λi^ xi^ , con

∑n+ i=1 λi^ = 1,^ λi^ ≥^ 0,^ xi^ ∈^ S, para todo^ i^ = 1,... ,^ n^ + 1. Demostraci´on: Sea x ∈ conv(S), entonces x = ∑ki=1 λi xi , con ∑ki=1 λi = 1, λi > 0, xi ∈ S.

1. Si k ≤ n + 1, hemos terminado.
2. Si k > n + 1, x 2 − x 1 ,... , xk − x 1 son linealmente dependientes.
3. Existen μi (alguno estrictamente positivo) tales que ∑ki=1 μi xi = 0.
4. Tenemos que x = ∑ki=1(λi − αμi )xi , donde α = min{λj /μj : μj > 0 } := λr /μr > 0.
5. Hemos conseguido expresar x como combinaci´on convexa de k − 1 elementos. Volvemos al paso 1. En un n´umero finito de iteraciones habremos terminado.

Cierre e interior de un conjunto convexo

Lema: Sea S ⊂ Rn^ un conjunto convexo con int(S) 6 = ∅. Sea x 1 ∈ S¯, x 2 ∈ int(S). Entonces, θx 1 + (1 − θ)x 2 ∈ int(S), para todo θ ∈ [0, 1).

Demostraci´on: Sea y = θx 1 + (1 − θ)x 2.

1. Existe  > 0 tal que B(x 2 , ) ⊂ S.
2. Sea ˜y ∈ B(y , η), con η = (1 − θ).
3. Como x 1 ∈ ¯S, existe ˜x 1 ∈ S tal que

‖x 1 − ˜x 1 ‖ < η^ − ‖y˜ θ^ −^ y^ ‖⇔ ‖y − ˜y ‖ + θ‖x 1 − ˜x 1 ‖ < η.

4. Sea ˜x 2 = (˜y − θ˜x 1 )/(1 − θ) ⇔ ˜y = θ˜x 1 + (1 − θ)˜x 2.
5. Se verifica

‖x 2 − ˜x 2 ‖ = ‖y^ −^ θx 11 −−^ ˜yθ^ +^ θ˜x^1 ‖≤ (^1) −^1 θ (‖y − ˜y ‖ + θ‖x 1 − ˜x 1 ‖) < (^1) −η θ = .

6. Por 1 y 5, ˜x 2 ∈ S. Por 4, ˜y ∈ S. Como B(y , η) ⊂ S, y ∈ int(S).

Cierre e interior de un conjunto convexo

1. Si S ⊂ Rn^ es convexo, entonces tanto int(S) como ¯S son conjuntos convexos.
2. Si S ⊂ Rn^ es convexo, entonces int(S) = int(¯S). Si adem´as int(S) 6 = ∅, entonces ¯S = int(S).
3. Si S ⊂ Rn^ es convexo, entonces ∂S = ∂ ¯S.

Teorema del hiperplano separador

Teorema: Sea S ⊂ Rn^ un conjunto convexo, no vac´ıo y cerrado. Sea y ∈/ S. Entonces existe p ∈ Rn, p 6 = 0, y α ∈ R tales que I (^) p>x ≤ α, para todo x ∈ S. I (^) p>y > α

Demostraci´on:

1. Sea ¯x la proyecci´on de y sobre S.
2. Se verifica (y − x¯)>(x − x¯) ≤ 0, para todo x ∈ S.
3. Definimos p = y − ¯x y α = p>¯x. Comprobamos que cumplen las condiciones requeridas: I (^) Si x ∈ S, p>x = (y − ¯x)>(x − ¯x) + α ≤ α. I (^) p>y = (y − ¯x)>(y − ¯x) + α = ‖y − ¯x‖^2 + α > α.

Teorema del hiperplano soporte

Teorema: Sea S ⊂ Rn^ un conjunto convexo con interior no vac´ıo. Sea ¯x ∈ ∂S, la frontera de S. Entonces existe p ∈ Rn, p 6 = 0, tal que p>(x − ¯x) ≤ 0, para todo x ∈ S.

Demostraci´on:

1. ¯x ∈/ int(S) = int(¯S).
2. Para todo k ∈ N, existe yk ∈ B(¯x, 1 /k) ∩ ¯Sc
3. Existe pk ∈ Rn, ‖pk ‖ = 1, con p> k yk > p> k x para todo x ∈ S¯.
4. Tenemos yk → x¯. Para una subsucesi´on, pk → p con ‖p‖ = 1.
5. Tomando l´ımites en 3, p>(x − x¯) ≤ 0, para todo x ∈ ¯S.

Teoremas de la alternativa

Teorema (Gordan): Sea A una matriz m × n. Uno y solo uno de los sistemas siguientes tiene soluci´on: I (^) Ax < 0 para alg´un x ∈ Rn. I (^) A>p = 0, p ≥ 0 y p 6 = 0 para alg´un p ∈ Rm.

Demostraci´on: I (^) (1) tiene soluci´on ⇒ (2) no la tiene. Sea ¯x la soluci´on de (1) y supongamos que ¯p fuese una soluci´on de (2). Consideramos ¯p>A¯x. I (^) (1) no tiene soluci´on ⇒ (2) s´ı la tiene. Los conjuntos S 1 = {z ∈ Rm^ : z = Ax, x ∈ Rn} y S 2 = {z ∈ Rm^ : z < 0 } son convexos, no vac´ıos y disjuntos. Existe p 6 = 0 con p>Ax ≥ p>z para x ∈ Rn^ y z < 0. Se demuestra que p resuelve (2).

Teoremas de la alternativa

Ejemplo: ¿Existen x 1 , x 2 y x 3 tales que x 1 + x 2 + x 3 < 0, x 1 > 0 y 2 x 1 − x 2 − x 3 < 0?

Teorema (Farkas): Sea A una matriz m × n y c ∈ Rn. Uno y solo unos de los sistemas siguientes tiene soluci´on:

1. Ax ≤ 0 y c>x > 0 para alg´un x ∈ Rn.
2. A>y = c, y ≥ 0 para alg´un y ∈ Rm.

Demostraci´on: Ejercicio Probar que (1) no tiene soluci´on cuando (2) s´ı la tiene es muy f´acil. Cuando (2) no tiene soluci´on considera S = {x ∈ Rn^ : x = A>y , y ≥ 0 } y observa que c ∈/ S.

Soluciones factibles b´asicas

Podemos dividir las columnas de A es dos grupos B y N, donde B es m × m con r (B) = m.

Ax = b ⇔ (B, N)

xB xN

= b ⇔ BxB + Nxn = b

Si hacemos xN = 0, xB = B−^1 b y se verifica B−^1 b ≥ 0, obtenemos unos puntos especiales de S que se llaman soluciones factibles b´asicas.

Algunas soluciones del sistema compatible indeterminado Ax = b, con r (A) = r (A, b) = m < n se consiguen fijando n − m inc´ognitas como 0 y despejando las m inc´ognitas restantes. Si estas soluciones son no negativas, son soluciones factibles b´asicas.

Puntos extremos

Definici´on: Sea S ⊂ Rn^ un conjunto convexo no vac´ıo. Se dice que x ∈ S es un punto extremo de S si x = λx 1 + (1 − λ)x 2 , con x 1 , x 2 ∈ S, λ ∈ (0, 1), implica que x = x 1 = x 2.

Es decir, x es un punto extremo si no est´a en el interior (relativo) del segmento definido por otros dos puntos del conjunto.

Piensa ejemplos de conjuntos convexos: con un ´unico punto extremo, con un n´umero finito mayor que uno de puntos extremos, con infinitos puntos extremos, sin puntos extremos.