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El proceso de cálculo y análisis de poliedros regulares cóncavos estrellados, incluyendo la determinación de sus aristas exteriores, caras exteriores, vértices exteriores, vértices cóncavo intermedios y aristas intermedias. Se presentan ejemplos de poliedros regulares cóncavos estrellados, como el tetraedro estrellado de da vinci, la estrella octángula de kepler, el icosaedro estrellado de da vinci, el hexaedro estrellado de da vinci y el dodecaedro estrellado de da vinci.
Tipo: Apuntes
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Existen cinco, y solo cinco, Poliedros Regulares Estrellados.
Los cinco poliedros regulares cóncavos estrellados están representados por el Conjunto W:
Tesis:
Demostrar que el conjunto W está compuesto por los únicos poliedros regulares cóncavos estrellados que existen.
Demostración:
A) A =2mn / 2n+2n – mn: Como los poliedros regulares convexos son los que generan los poliedros regulares cóncavos estrellados, utilizaremos las fórmulas de Euler: C = 2A /n, V = 2A /m, donde C + V - A = 2.sustituyendo: C + V - A =
2A /m + 2A /n – A = 2.
Multiplicando por (1/2A) (2A /m + 2A /n – A = 2) = (2A/2Am +2A/2An – A/2A = 2/2A).
Reduciendo = 1/m + 1/n – 1/2 = 1/A
Resolviendo el primer miembro de la igualdad y sustituyendo
2n + 2m – mn /2mn = 1/A
Transponiendo A y 2mn
A (2n + 2m – mn) = 2mn despejando (A), tenemos A=2mn/2m+2n-mn.
B) 3 = b, 3 = n: Como los poliedros regulares cóncavos estrellados están todos compuestos por caras poliédricas que son triángulos equiláteros entonces siempre b = n =3, por ley transitiva de la igualdad b = 3.
G) T = 2A / m: Se cumple en (m, n).
H) T = E/m: Se cumple en (m, n).
I) A=E /2: Despejando la fórmula que está en el literal (D).
J) E = 4ab /2a + 2b - ab: Si en la fórmula del literal (D): E=2A, a = m, b = n, sustituimos en el literal (A) el valor de la arista intermedia y efectuamos la operación E=2 (2mn / 2m + 2n – mn), sustituyendo las variables m, n, por las variables a, b. tenemos: E = 4ab /2a + 2b – ab, por ley transitiva de la igualdad es válida para el primer miembro del bispar poliédrico J (2a, b).
K) Primera ley de la estelación de un poliedro regular: Cuando se realiza una estelación de un poliedro regular convexo el conjunto de caras intermedias desaparece debido a que quedan sepultadas debajo del conjunto de las caras exteriores del poliedro nuevo que se ha formado.
L) Segunda ley de la estelación de un poliedro regular: Cuando se realiza una estelación de un poliedro regular convexo el poliedro nuevo que se ha formado es una estelación del poliedro anterior.
M) Símbolos de las variables: A= aristas intermedia o planas; V= vértices intermedio; C= caras intermedias o planas; E= aristas exteriores o estrelladas; F = caras exteriores o estrelladas; T= vértices exteriores o estrellados; n = número de lados del polígono regular; m = número de aristas que tiene un vértice; s= variable que indica la suma de los ángulos que poseen los polígonos regulares comunes a un vértice; J= es el doble de las aristas que convergen en el vértice cóncavo intermedio; La variable J= 2m
y m ≥ 3; R= representa el grado de regularidad o irregularidad del poliedro seleccionado; Cuando el poliedro es irregular el grado se marca con una I, cuando el poliedro es regular el grado de regularidad no se marca.
Primera etapa siendo las variables: a ≥3. b = 3, m = 3, n = 3.
En la primera etapa de la demostración, esgrimiendo demostraciones basadas en la reducción al absurdo, asignaremos los valores de las variables: a ≥3. b = 3, m = 3, n = 3. Sustituyendo en el primer miembro del bispar poliédrico J (2a, b), e instauramos las fórmulas que están en los literales (J) E = 4ab /2a + 2b – ab. (D) E=2A, (E) J = E /a, (F) F = E, Para el segundo miembro del bispar poliédrico T(m, n) utilizaremos las fórmulas que están en los literales (H) T =E/m, (I) A=E /2.Con estos datos y las leyes que están en los literales (K) y (L) determinaremos los poliedros regulares cóncavos estrellados que correspondan a las características encontradas en la primera etapa.
1- Siendo a =3. b = 3, m = 3, n = 3, aplicando fórmulas y resolviendo la ecuación para determinar la cantidad de aristas exteriores: E = 4ab /2a + 2b
los siguientes resultados. Este poliedro regular cóncavo estrellado tiene 30 aristas intermedias y 60 aristas exteriores, que suma un total de 90 aristas, además posee 12 vértices intermedios 12 (10, 3) y 20 vértices exteriores 20 (3, 3), lo cual suma un total de 32 vértices; Posee 60 caras exteriores triangulares equiláteras que son congruentes entre sí. Concluimos que todas estas características indican que el poliedro es el icosaedro estrellado Davinciano, el cual fue pintado por Leonardo Da vinci en 1498 y publicado en 1508 en el libro del Monge matemático Luca Pacioli, por lo tanto concluimos que el tercer poliedro regular cóncavo estrellado es el icosaedro Estrellado Davinciano cuyo bispar poliédrico es: 12(10, 3) + 20 (3, 3)
4- Siendo a =6. b = 3, m = 3, n = 3, aplicando fórmulas y resolviendo la ecuación para determinar la cantidad de aristas exteriores: E = 4ab /2a + 2b
Segunda etapa siendo el literal m ≥ 3, n = 3, a = 3. b = 3.
En la segunda etapa, usando demostraciones basada en la reducción al absurdo, asignaremos el valor a = 3. b = 3, m ≥ 3, n = 3. Sustituyendo en el miembro del bispar poliédrico T(m, n), al cual le corresponden las fórmulas que están en los literales (A) A =2mn / 2m+2n – mn, (G) T = 2A /m, y luego trabajamos con el primer miembro del bispar poliédrico J (2a, b), utilizando los literales (D) E=2A, (E) J = 2A / a , (F) F = 2A. Con estos datos y las leyes que están en los literales (K) y (L) determinaremos los poliedros regulares cóncavos estrellados que correspondan a las características encontradas en la segunda etapa.
5- Siendo m = 4, n = 3, a = 3. b = 3 aplicando fórmulas y resolviendo la ecuación para determinar la cantidad de aristas intermedias: A =2mn / 2m
+2n – mn = 2 (4) (3) / 2 (4) + 2 (3) -4 (3) = 24/2 = 12 entonces A=12, satisface la ecuación. Resolviendo el número de aristas exteriores: E =2A, E=2(12)=24, E=24; resolviendo el número de caras exteriores: F = 2A, F= (12)=24, F=24; resolviendo el número de vértices exteriores: T = 2A / m = 2 (12) / 4 = 6, T = 6; resolviendo el número de vértices cóncavo intermedio J = 2A / a = 2(12) / 3 =8, J=8; Sustituyendo J = 8, m = 4, n = 3, en el primer miembro del bispar poliédrico J (2a, b), =8 (2(3), 3) = 8(6, 3), Sustituyendo T = 6, m =4, n =3 en el segundo miembro del bispar poliédrico T(m, n) = 6(4, 3). Aplicando las leyes de las estelaciones tenemos los siguientes resultados. Este poliedro regular cóncavo estrellado tiene 12 aristas intermedias y 24 aristas exteriores, que suma un total de 36 aristas, además posee 8 vértices intermedios 8 (6, 3) y 6 vértices exteriores 6 (4, 3), lo cual suma un total de 14 vértices; Posee 24 caras exteriores triangulares equiláteras que son congruentes entre sí. Concluimos que todas estas características indican que el poliedro es el hexaedro estrellado Davinciano, el cual fue pintado por Leonardo Da vinci en 1498 y publicado en 1508 en el libro del Monge matemático Luca Pacioli, por lo tanto concluimos que el tercer poliedro regular cóncavo estrellado es el hexaedro estrellado Davinciano, cuyo bispar es: 8(6, 3) + 6(4, 3).
6- Siendo m = 5, n = 3, a = 3. b = 3, aplicando fórmulas y resolviendo la ecuación para determinar la cantidad de aristas intermedias: A =2mn / 2m +2n – mn = 2 (5) (3) / 2 (5) + 2 (3) -5 (3) = 30/1 = 30 entonces A=30, satisface la ecuación. Resolviendo el número de aristas exteriores: E =2A, E=2(30)=60, E=60; resolviendo el número de caras exteriores: F = E, E= por ley transitiva de la igualdad F=60; resolviendo el número de vértices exteriores: T = E / m = 60 / 5 = 12, T = 12; resolviendo el número de vértices cóncavo intermedios: J = 2A / a = 2 (30) / 3 = 20, J=20; Sustituyendo J = 20, a = 3. b = 3, en el primer miembro del bispar poliédrico, J = 2A / a, = (2(3), 3) = 20(6, 3), Sustituyendo T = 12, m=5, n=3 en el segundo miembro del bispar poliédrico T(m, n) = 12(5, 3). Aplicando las leyes de las estelaciones tenemos los siguientes resultados. Este poliedro regular cóncavo estrellado tiene 30 aristas intermedias y 60 aristas exteriores, que suma un total de 90 aristas, además posee 20 vértices intermedios 20 (6, 3) y 12 vértices exteriores 12 (5, 3), lo cual suma un total de 32 vértices; Posee 60 caras exteriores triangulares equiláteras que son congruentes entre sí. Concluimos que todas estas características indican que el poliedro es el dodecaedro estrellado Davinciano, el cual fue pintado por Leonardo Da vinci en 1498 y publicado en 1508 en el libro del Monge matemático Luca Pacioli,
