Conjuntos Numéricos Básicos, Apuntes de Matemáticas

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Modulo 1.

Conjuntos Numéricos Básicos:

Números Racionales

Docente: Ernesto Godoy R.

Introducción

Los conjuntos numéricos básicos están dados por:

• Números naturales
• Números enteros
• Números racionales
• Números reales
• Números complejos En este curso dejaremos fuera el caso de los números complejos.

Los Enteros

• Se representa por el símbolo ℤ y está dado por: ℤ = … , −૜, −૛, −૚, ૙, ૚, ૛, …
• Es infinito en extensión.
• Si escogemos un elemento cualquiera SIEMPRE habrá otro elemento "antes" que él, de modo que NO tiene un primer elemento, a diferencia de los naturales en que el primer elemento es el 1.
• En él se verifican dos operaciones fundamentales: SUMA y MULTIPLICACIÓN. Prof. Ernesto Godoy R. 4

Observación

• La “Resta” puede entenderse como una suma de números de diferente signo
• Por aquella razón es que al hablar de suma en este conjunto se incluye en esta palabra a la resta.

Observación

• De manera general una fracción tiene la forma ௔ ௕ , y en ella ܽ se denomina “numerador” y ܾ “denominador”.
• Note que en una fracción NUNCA el denominador puede ser cero, es decir, “fracciones” tales como por ejemplo : ଻ ଴ 0 0
• Estas expresiones NO tienen sentido

Observación

• Los números racionales incluyen también a los decimales llamados:
  • Finitos
  • Periódicos
  • Semi-periódicos
• Lo anterior debido a que estos decimales siempre pueden transformarse en fracción. Eso lo veremos próximamente.

Aplicación Elemental. Ejemplo 1

Halle los ଶ ଷ de 60 Solución: Podemos proceder de manera esquemática o en forma aritmética. La segunda da un resultado directo, pero es más mecánica y no aporta a la comprensión del concepto. Veremos ambas.

Solución Esquemática

• En la fracción ଶ ଷ , nos fijamos en el denominador que es 3. esto nos indica que cierto entero se dividirá en tres partes exactamente iguales:
• El numerador, que es 2 , nos indica que de las tres partes escogemos sólo dos.
• Imaginamos que el entero dibujado corresponde al valor 60 , entonces cada una de las tres partes sería 20 y entonces dos partes sería 40

Aplicación Elemental. Ejemplo 2

• Se dispone de $ 24. 000. 000 de los cuales los ଷ ସ será utilizado en pagar una deuda, ¿cuánto se pagará por aquella deuda?

Solución

• Si usamos la opción aritmética, se tendría:
• Es decir, se deberían pagar $18.000.000 por la deuda 3 4 ȉ $24. 000. 000 = $18. 000. 000

Solución

• Como utiliza ଵ ଼ del día, o sea de 24 horas para estudiar, entonces el número de horas dedicadas al estudio es: ଵ ଼ ȉ 24 = 3 horas
• Como utiliza ହ ଵଶ de las 24 horas para dormir, entonces el número de horas dedicadas a ello son: ହ ଵଶ ȉ 24 = 10 horas
• De este modo usa 3 + 10 horas a las actividades señaladas, es decir, 13 horas.
• Como el día tiene 24 horas entonces en otras actividades emplea 24 – 13 horas, o sea, 11 horas.Escriba aquí la ecuación.

Aplicación Elemental 4

Halle los ହ ଺ de los ଷ ଵ଴ de 80 Solución:

• Se calcula primero los ଷ ଵ଴ de 80, es decir: ଷ ଵ଴ ȉ 80 = 24
• Ahora se calcula los ହ ଺ de este valor, es decir de 24, o sea, ହ ଺ ȉ 24 = 10
• El resultado es 10

Estructura de un Decimal

• En todo decimal distinguimos la “parte entera” y la “parte decimal” propiamente tal. Por ejemplo en el decimal 2 , 456108 se tiene: ૛⏟ ௣௔௥௧௘ ௘௡௧௘௥௔ , 456108 ௣௔௥௧௘ ௗ௘௖௜௠௔௟
• Cada dígito que compone la parte decimal ocupa una posición tal que el primer dígito después de la coma es la “décima”, y los sucesivos son la “centésima”, “milésima”, diez milésima, cienmilésima, millonésima, etc. Prof. Ernesto Godoy R. 19

Ejemplo

Prof. Ernesto Godoy R. 20 Décima Centésima milésima Diez milésima Cien milésima millonésima