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ALGEBRA II – UNIDAD 1:
Cardinales de un conjunto
Material de apoyo a clases virtuales
Año Lectivo 2021 Esp. Liliana Caputo
ALGUNAS CONSIDERACIONES PREVIAS
DE NOTACION:
Dada una función f: A B: f(A) es el conjunto de imágenes de elementos de A. De igual manera, si E A, y f(E) x E / y = f(x).
Si M B, f-1(M) es el conjunto de preimágenes de elementos de M. Luego, x f-1(M) y M / y = f(x). Es evidente que, por ser f función, f-1(B) = A.
Se enunciará la condición de existencia de imágenes incluida en la definición de función de A en B, simplemente, como: x A: f(x) B. En este caso se dice que el alcance de f coincide con su dominio.
Nótese que, muchas veces, para probar que f es función sobreyectiva, es más simple demostrar que f(A) = B en vez de que y B, x A / y = f(x). En efecto, como f
es función de A en B, SIEMPRE, f(A) B. Luego la proposición y B, x A / y = f(x) B f(A).
Si f es función inyectiva, g:A f(A) / g(x) = f(x) es una función biyectiva que se denomina restricción de f a f(A).De
Algunos ejemplos:
- La suma de números naturales es una operación interna porque +: / +(x, y) = x + y es función de en.
- El producto escalar de dos vectores del plano es una operación interna pues: <>:( )^2 / <(x 1 , x 2 ), (y 1 , y 2 )> = x 1 .y 1 + x 2 .y 2 es función de ( )^2 .
UNIDAD 1: CARDINALES DE UN
CONJUNTO
I. Conjuntos coordinables
Definición:
Sean A y B dos conjuntos. Se dice que A es coordinable con B si, y sólo si, existe una función biyectiva de A en B. Notación: A coordinable a B se denotará con A B.
Ejemplo:
⁄ ( ) (^) (se incluye en el TP 1) Sea x . Entonces: Si x = 0, x + 1 = 1 . Si x , por ser inductivo, f 1 (x) = x + 1. De donde, x : f 1 (x) . Como la suma de números enteros no negativos es función de x en , la unicidad de la imagen de cada par ordenado (x, 1) x está asegurada. f 1 es función de (^) o en Sean x, n tales que f 1 (x) = f 1 (n); luego, x + 1 = n + 1de donde, sumando a ambos miembros -1, se tiene que x = n. f 1 es función inyectiva de (^) o en Si y , y = 1 v y ≥ 2, de donde y – 1= 0 v y – 1 es decir, existe x = y -1 tal que f 1 (x) = x + 1 = y – 1 + 1 = y. f 1 es función sobreyectiva de (^) o en Como f 1 es función biyectiva de (^) o en , resulta (^) o
II. Conjuntos finitos e infinitos
Definiciones:
Sea A un conjunto. Se dice que A es un conjunto finito si, y sólo si, A = o A In, para algún n . En caso contrario es decir, si A es no vacío y no es coordinable con ningún intervalo natural e inicial, A es un conjunto infinito.
Observación:
Sea n y el conjunto finito y no vacío A = {x 1 ,, xn},
siendo xi ≠ xk, i ≠ k, A resulta coordinable con In, ya que la función f de A en In tal que xi A: f(xi) = i, es biyectiva. Así pues, n es el número de elementos de A.
Teorema 1:
Todo subconjunto no vacío y finito de , tiene máximo y mínimo.
Demostración:
Sea A tal que A es finito y no vacío. Se demostrará por inducción sobre el número de elementos de A. Si A I 1 = {1}, existe x tal que A = {x}. Resulta trivial, que x = máx(A) = mín(A).
Hipótesis inductiva: Supóngase que todo subconjunto real de n - {1} elementos admite máximo y mínimo.
Sea A tal que A contiene n + 1 elementos; es decir, existe a tal que a A. Pero entonces, B = A – {a} posee n elementos y, en consecuencia, por hipótesis inductiva, existen M, m tales que M = máx(B) y m = =mín(B). Como m, M B y a B, resulta m a y M a; luego, por ley de tricotomía y por ser m ≤ M, se pueden presentar los siguientes casos:
- a < m
- m < a < M
- M < a
En el caso 1, como a < m y m = mín(B), se tiene que: y B: y m > a x A: x a (por ser a A) En consecuencia, a es una cota inferior de A y, por definición de ínfimo, a ínf(A) (el ínfimo de A existe, por corolario del axioma del supremo). Además, por ser a A, a ínf(A) de donde, a = ínf(A); luego, por definición de mínimo, a = mín(A). Asimismo, x A: a ≤ x ≤ M M = máx(B) A (pues M ≠ a). Luego, M = máx(A).
superiormente, mientras que , , – y no son acotados ni superior, ni inferiormente. La contradicción provino de suponer que los seis conjuntos son finitos; en consecuencia, todos ellos son infinitos.
Lema previo 1:
Todo subconjunto de un conjunto finito, es finito.
Demostración:
Sea A un conjunto finito y B un subconjunto de A. Si A es vacío, es trivial que B = es decir, B es finito. Si A es un conjunto unitario, debe ser B = o B = A, de donde nuevamente resulta que B es un conjunto finito. Hipótesis Inductiva: Supongamos que todo subconjunto de un conjunto finito de n - {1} elementos es finito. Si fuera A un conjunto de n + 1 elementos y a A, resulta que todo subconjunto de A – {a} es finito. Entonces, si a B, B A – {a} y, en consecuencia, B es finito. En cambio, si a B, por ser subconjunto de A – {a}, B – {a}
es un conjunto finito, lo cual equivale a que existen k y una función biyectiva, f, de B – {a} en Ik. Entonces, definiendo
puede observarse que B Ik + 1 es decir, B es finito.
Lema 1:
Si B es infinito, B .
Demostración:
Sea B un conjunto infinito; definimos la siguiente relación:
⁄^ ( )^ { (^ )( )
siendo
⋃* ( )+
Como B , por el principio de buena ordenación, existe
un número natural m tal que m = mín B es decir, f(1) . Asimismo, para todo n > 1, An = {f(1), , f(n – 1)} es un conjunto finito y entonces, por el lema previo 1, B An de donde, B – An ≠ . Como B – An B , por el principio de buena ordenación, existe k tal que k = mín(B – An).
Así pues, f(n) .
Si y f(In), existe h In tal que f(h) = y. Como h ≤ n y f es estrictamente creciente, resulta: y = f(h) ≤ f(n) = xn < b es decir, y E. Entonces, f(In) E. En cambio, si y E, y < b = mín(B - f( )) de donde, por ser
menor que su mínimo, y B - f( ) sino a su complemento, f( ). Luego, existe t tal que y = f(t). Si fuera t > n, por ser f estrictamente creciente, se tendría que y = f(t) > f(n) = xn = máx E ABSURDO, porque ningún elemento de E puede ser mayor que su máximo. La contradicción provino de suponer que t > n, de donde debe ser t ≤ n es decir, t In. Como t In e y = f(t), se tiene que y f(In) de donde, E f(In). Luego, E = {f(1),, f(n)} y, además, B – E = {x B / x ≥ b}. Entonces: ( ) ( * ( ) (^) ( )+) ( ⋃ ( )) ( )
Resulta entonces, que b f( ) lo cual es ABSURDO porque b = mín(B - f( )). La contradicción provino de suponer que f( ) ≠ B; luego, vale la igualdad, de donde f es sobreyectiva. Como f es función biyectiva de en B, y B son coordinables, y esto vale para todo subconjunto infinito de .
III. Cardinal de un conjunto
Definición:
El cardinal o número cardinal de un conjunto A es un conjunto coordinable con él elegido como representante del conjunto de todos los conjuntos coordinables con él. Notación: c(A) denota al cardinal del conjunto A. En consecuencia, c(A) A.
Algunos autores, entre ellos Gottob Frege, y en virtud de las propiedades a, b y c de la coordinabilidad de conjuntos, plantearon definir el cardinal de un conjunto A como la clase de equivalencia a la que pertenece A. Ahora bien, para hablar de clase de equivalencia, es imprescindible pensar en qué conjunto esa relación cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. El mencionado Frege, intentó solucionar el problema introduciendo el concepto del “conjunto de todos los conjuntos”, idea que (en 1902) fue irónicamente desestimada por el inglés Bertrand Russel, a través de la llamada “Paradoja del barbero” que dice:
Un barbero tiene un letrero que dice: “Afeito todos los hombres que no se afeitan a sí mismos”. La pregunta es: ¿quién afeita al barbero?”
- es un conjunto infinito. A su cardinal se lo denota con la primera letra del alfabeto hebreo (aleph) sub cero: o.
- Como 2 y (^) i son subconjuntos reales no vacíos y no están acotados superiormente, ambos son infinitos. Además, 2 y (^) i de donde, por Lema 1, 2 y también (^) i .
- En el TP 1, se probó que (^) o y que ; por esta razón, por igualdad de cardinales y por observación 6, resulta: c( (^) o) = c(2 ) = c( (^) i) = c( ) = c( ) =.
- El Lema 1 permite afirmar que el cardinal de cualquier subconjunto infinito de es.
Definición: Suma de cardinales
Sean A y B dos conjuntos tales que A B = . Definimos:
c(A) + c(B) = c(A B)
Lema
La suma antes definida es independiente de los conjuntos elegidos para enunciar la definición.
Demostración
Sean A, A’, B, B’ conjuntos tales que A A’, B B’ y A B = = = A’ B’. Entonces:
c(A’) + c(B’) = c(A) + C(B) = c(A B) = c(A’ B’) A A’ Def. suma Prop. f) i) B B’ de cardinales de cjtos. coordinables
Propiedades:
Sean a, b y e números cardinales, entonces:
- a + b = b + a 2) a + (b + e) = (a + b) + e 3) a + 0 = a Las demostraciones son ejercicios del TP1.
Observaciones:
Nótese que si A y B son conjuntos rampantes, no puede usarse esta definición. Sin embargo, como A B = A (B – A), siendo A y (B – A) disjuntos, la definición dada, sí puede utilizarse (en el caso de cardinales finitos) para hallar el cardinal de la unión de A y B.
Es trivial que 2 (^) i = ; además, en la observación 6 se vió que c(2 ) = c( (^) i) =. Entonces, por definición de suma de cardinales, resulta:
IV. Conjuntos numerables y no numerables
Definiciones:
Dado un conjunto A, se dice que A es numerable si, y sólo si, existe B tal que A B. En caso contrario, si B P( ): A B, se dice que A es no numerable.
Observaciones:
- Todo conjunto finito es numerable. En efecto, si A es finito, A = o existe n tal que A In es decir, en ambos casos, existe B tal que A B. Luego, A es numerable.
- Todo conjunto infinito numerable es coordinable con , pues si A es infinito numerable, existe B , infinito y coordinable con , por el Lema 1. Luego, por propiedad b de conjuntos coordinables, resulta: A B B A .
- (^) o, 2 , (^) i y son numerables, por ser coordinables con
- 2 es numerable. Se vió que f 5 : 2 / f 5 (x, y) = 2x.3y
es inyectiva. Luego, g: 2 f 5 ( 2 ) / g(x, y) = f 5 (x, y) es biyectiva, de donde 2 f 5 ( 2 ) lo cual, por definición, equivale a que 2 es numerable y c( 2 ) = c(f 5 ( 2 ) =.
- Nótese que. = c( ). c( ) = c( 2 ) =. inf.num Def. Prod. Card. Obs. 4
Propiedades:
- Todo subconjunto de un conjunto numerable, es numerable.
- La unión de dos conjuntos numerables, es numerable.
- El producto cartesiano de conjuntos numerables, es numerable.
Demostraciones:
Sean A y B dos conjuntos numerables.
- En el Lema previo 1 vimos que si A es finito y B A, B también es finito es decir, numerable, por observación 1 de conjuntos numerables. Si fuera A infinito numerable y B A, existe una función biyectiva, f, de A en ; luego la restricción de f a B es decir, la función g: B f(B) / g(x) = f(x) es también biyectiva.
Entonces, B f(B) de donde resulta, por definición, que B es numerable.
- Se presentan dos grandes casos: Caso 2.1: Si A y B son disjuntos. a) A y B finitos y no vacíos (si fuera A = v B = , es
trivial que A B = B v A B = A v A B = es decir, su unión es un conjunto finito y, por lo tanto, numerable).
