Construcciones y elementos geométricos básicos, Apuntes de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académica

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UNIDAD II: CONSTRUCCIONES Y ELEMENTOS

GEOMÉTRICOS BÁSICOS

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA

DE MÉXICO

COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

PLANTEL ( 1 ) AZCAPOTZALCO

PROPÓSITOS DE LA UNIDAD: A través de construcciones con regla y compás, explorar las propiedades de las figuras elementales y algunos conceptos básicos de la geometría Euclidiana. Reconocer patrones de comportamiento geométrico que permitan plantear conjeturas para proceder a su validación empírica.

☺ Explica en qué casos es posible construir un triángulo, a partir de tres segmentos dados cualesquiera ☺ Verifica triángulos congruentes haciéndolos coincidir. ☺ Identifica las alturas de un triángulo sin importar la posición que estas tengan ☺ Distingue las características que determinan a cada una de las rectas notables de un triángulo. ☺ Reconoce las diferencias entre unas y otras. ☺ Traza las rectas notables del triángulo ☺ Identifica los puntos notables de un triángulo y podrá explicar cuáles son sus características. ☺ Observa que los puntos notables de un triángulo están alineados. ☺ Identifica cuerdas, radios, secantes y tangentes de una circunferencia. ☺ Construye rectas tangentes a una circunferencia. ☺ Descrie correctamente el procedimiento requerido para realizar una construcción dada. ☺Argumenta, empíricamente, sobre la validez de las construcciones realizadas y explicarlas de forma oral y escrita.

 TEMÁTICA DE LA SEGUNDA UNIDAD

CONSTRUCCIONES Y ELEMENTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS

2.1).Construcciones con regla y compás:

2.1.1).Segmentos congruentes

2.1.2).Ángulos congruentes

2.1.3).Mediatriz y determinación del punto medio de un segmento

2.1.4).Bisectriz de un ángulo agudo.

2.1.5).Perpendicular a una recta dada que pasa por un punto:

2.1.5.1).Que pertenece a la recta.

2.1.5.2).Fuera de ella

 UNA VISTA EN LA HISTORIA DE LAS CONSTRUCCIONES CON REGLA, ESCUADRA Y COMPÁS A manera de explicación: Lo que consideramos generalmente como elementos de la geometría elemental (que debe de incluirse mucho de la geometría de las cónicas) fue satisfactoriamente organizado algunos siglos antes de la Era Cristiana. Ya en ese tiempo se estableció el marco para realizar construcciones en geometría elemental, o sea que estas construcciones se deben realizar usando regla, escuadra y compás únicamente. Las restricciones a estos instrumentos son comúnmente atribuidas a Platón. LOS TRES PROBLEMAS FAMOSOS. Tres problemas geométricos interesaron tanto a los griegos de la antigüedad que han pasado de generación en generación a través de los siglos y se han conocido por mucho tiempo como los tres problemas famosos de la geometría elemental. Estos problemas son: la trisección del ángulo, la duplicación del cubo, y la cuadratura del círculo.

Se entiende que cada una de las tres construcciones debe de hacerse únicamente con regla, escuadra y compás. Muchos intentos se han hecho para resolver estos problemas. De hecho han atraído la atención de los mejores matemáticos del mundo. Pero todos estos intentos estaban destinados al fracaso, pues fue demostrado en el siglo XIX que su solución es imposible. Esto no significa, sin embargo, que un ángulo no pueda ser trisecado, o que es imposible duplicar un cubo, o construir un cuadrado equivalente a un círculo dado. Si la restricción a regla, escuadra y compás se modifica de manera adecuada, cada uno de estos problemas puede ser rápidamente resuelto.

Cada construcción con regla, escuadra y compás consiste en una sucesión de operaciones de las siguientes: Unir dos puntos por una recta. Hallar el punto de intersección de dos rectas. Trazar una circunferencia de radio y centro dados. Hallar los puntos de intersección de una circunferencia con otra circunferencia o con una recta. Un elemento (punto, recta, circunferencia) se considera conocido si se da desde el principio o si ha sido construido en algún paso previo. También es importante considerar que una vez que se ha logrado hacer la construcción propuesta, se debe verificar, mediante una demostración matemática, que dicha construcción resuelve realmente el problema.

 APRENDIZAJES

 Realizar los trazos en secuencia didáctica. Pasito a pasito, sin prisa pero con constancia.

 Reconocer los elementos de una figura(punto, punto de intersección, líneas rectas, segmentos, semirrectas,

etc.).

 Obtener de las construcciones, las nociones de: recta, segmento de recta, punto medio, mediatriz, ángulo,

bisectriz, circunferencia, perpendicularidad y distancia de un punto a una recta. Los expresará en forma oral y

escrita

Identificar los elementos mínimos que se requieren para trazar un segmento de recta.

 DIVISION DE SEGMENTOS CON REGLA Y COMPAS. SEGMENTOS Y DIVISION DE SEGMENTOS EN LA RECTA NUMERICA. Desde el siglo antepasado se conocía la relación biunívoca entre los números reales y los puntos de una recta. Una pregunta natural es: ¿Podemos construir cualquier número real con regla y compás?, también desde ese siglo se sabía que la respuesta a esta pregunta es negativa. ¿QUE NUMEROS PUEDEN SER CONSTRUIDOS CON REGLA Y COMPAS? No es difícil dar una respuesta inmediata a esta pregunta, los números mas fáciles de representar en la recta numérica son los números naturales, ver figura 2.1. FIGURA 2. 1

FIGURA 2.

Veamos ahora como se bisecta un segmento, ver figura 2.3: ☺ Construimos dos circunferencias con centros en los extremos del segmento y de igual radio de tal forma que estas circunferencias se intersecten, ☺ Trazamos la línea determinada por los puntos de intersección de las circunferencias. ☺ El punto donde esta línea corta al segmento original es el punto medio.

Con esta construcción podemos bisectar el segmento 0 1 y así obtener el número racional 2 1 y a partir de este obtener los números racionales 2 m y - 2 m ; si ahora bisectamos el segmento 0 2 1 obtendremos el número 4 1 y entonces 4 m y - 4 m , si hacemos este proceso n veces se tiene el número )n 2 1 ( y por consiguiente )n 2 m ( y

- )n 2 m (. ¿Pero serán estos todos los números racionales que se pueden construir con regla y compás?, recordemos que estos números los construimos a partir de la bisección de un segmento, es decir, si podemos trisectar un segmento obtenemos el número 3 1 y con esto 3 m y - 3 m ; entonces tratemos de resolver el problema de trisectar un segmento con regla, escuadra y compás.

¿Serán estos todos los números reales construíbles con regla y compás? La siguiente construcción muestra que se puede construir el número irracional raíz de 2 con estos instrumentos, y en general raíz de n siendo n cualquier número real dado. Sea a una recta, tomamos un punto A arbitrario sobre ella a partir de este punto se coloca el segmento unidad, sea B el extremo derecho de la unidad, BC es el segmento cuya magnitud es n ; construimos la circunferencia de diámetro AC , por último trazamos la perpendicular a a por B. Dada esta construcción, afirmamos que la magnitud del segmento BE es el número buscado, la demostración de este hecho tiene que ver con semejanza de triángulos.

Las siguientes construcciones tienen que ver con dos operaciones básicas de los

números reales (producto y división), es decir, si tenemos dos segmentos de

magnitudes n y m construir los segmentos de magnitudes n*m y

m n

Trazamos una recta a y en ella colocamos uno de los segmentos, trazamos otra recta b diferente a a como se muestra en la figura y sobre esta fijamos la unidad y el otro segmento, ver la construcción, unimos el extremo de la unidad con el extremo del segmento que esta sobre la recta a , finalmente trazamos una paralela a esta última recta por el extremo del segmento que esta sobre la recta b.

Trazamos una recta a y b como antes, sobre la recta a colocamos la unidad y

sobre la otra los dos segmentos, si queremos obtener

m n

entonces unimos el

extremo del segmento cuya magnitud es m con el extremo de la unidad, y

trazamos una paralela a esta recta por el extremo del segmento de magnitud n.