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El método para determinar las respuestas armonicas de sistemas mecanicos de 2 grados de libertad, incluyendo ejercicios para su aplicacion. Se abordan sistemas amortiguados y no amortiguados, y se utiliza el metodo de coeficientes indeterminados y las ecuaciones de Lagrange.
Tipo: Ejercicios
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x INGENIERÍA MECÁNICA
x Consulta
TEMA(S) Respuesta Armónica de Sistemas de 2 grados de Libertad
DOCENTE ING. JAIME F. ECHEVERRÍA Y.
Nombre
Jhon Alexander Luna Jaen
FECHA 28/01/
1. Marco Teórico
Respuesta Armónica de Sistemas de 2 grados de Libertad
La respuesta armónica de los sistemas de dos grados de libertad se determina utilizando el
método de coeficientes indeterminados. Se consideran los sistemas no amortiguados cuyas
ecuaciones diferenciales son:
Mx
JJ + Kx=F sin(ωt)
Donde F= [f 1 f 2 ]
T es un vector de constantes.
El método de coeficientes indeterminados puede usarse para encontrar la solución de
estado esta-
cionario. Suponga una respuesta de estado estable de
x=Usin(ωt)
Donde U= [u 1 u 2 ]
T
Si se sustituyen las ecuaciones en la primera mostrada:
− ω
2 MUsin(ωt)+KUsin(ωt)=Fsin(ωt)
de donde la ecuación para resolver los componentes de U es:
( − ω
2 M+K)U=F
Las ecuaciones componentes representadas son:
( − ω
2 m 1 , 1 +k 1 , 1 )u 1 +( − ω
2 m 1 , 2 +k 1 , 2 )u 2 =f 1
( − ω
2 m 2 , 1 +k 2 , 1 )u 1 +( − ω
2 m 2 , 2 +k 2 , 2 )u 2 =f 2
La solución para el sistema mostrado proporciona los valores de u 1 y u 2.
Las amplitudes de estado estacionario se eligen para ser positivas. Si se obtiene un valor
negativo (u 2 <0), la respuesta del sistema se escribe como:
| u 2 | sin(ωt − π)
Ahora considere las respuestas de estado estacionario para sistemas con amortiguación
viscosa.
La forma general de la ecuación para sistemas que están viscosamente amortiguados es:
Mx
JJ + Cx
J + Kx=F sin(ωt)
Una respuesta de estado estable es asumida:
x 1 = u 1 sin(ωt) + v 1 cos(ωt)
x 2 =u 2 sin(ωt) + v 2 cos(ωt)
Si se sustituye en la ecuación del movimiento con amortiguamiento viscoso lleva a cuanto
ecuaciones para cuatro incógnitas. Las respuestas de estado estacionario para x 1 y x 2 se
escriben como:
x 1
1 sin(ωt − φ 1
x 2 =X 2 sin(ωt − φ 2 )
Ecuaciones de Lagrange
Método alternativo para el modelado de sistemas de 2 o más grados de libertad.
Estás ecuaciones son un resultado de las ecuaciones energía. Este método permite
obtener las ecuaciones diferencias que gobiernan la vibración. Su ventaja radica en
el uso de matrices simétricas de masa, rigidez y amortiguamiento.
Estas ecuaciones pueden ser aplicadas a sistemas lineales y no lineales.
Obtener las ecuaciones de Lagrange para un sistema de varios grados de libertar
requiere de realizar cálculos de variables.
El método de Lagrange consiste en definir el Lagrangiano, L, del sistema vibratorio
definido por:
Object 2
Donde:
T : representa la energía cinética total
U : la energía potencial total
Ambas en función de las coordenadas generalizadas que se haya definido en el
sistema. Siendo representada por Object 8
Ilustración 1 Sistema vibratorio
Para el caso de un sistema vibratorio masa – resorte, como se muestra en la Figura
Las ecuaciones de movimiento para un sistema conservatorio resultan
d
dt (
∂ q´ i
)
∂ q i
Reemplazando por L=T −U
d
dt (
∂ q´ i
)
∂ q i
∂ q i
Para el caso de la Figura 1. La energía cinética y potencial viene dado por:
Usar la ecuación armónica para derivar las ecuaciones diferenciales que
gobiernan el sistema de la figura.
Ilustración 2. Sistema Ejercicio 2
x 3
¿ x 2
x 1
U
Object 54
Object 56
d
dx (
∂ ´x 1
)
∂ x 1
=m ´x 1
2 −x
d
dx (
∂ ´x 2
)
∂ x 2
=m ´x 2
2
−x 1
3
− x 2
Object 62
Determine el sistema de ED que define el sistema vibratorio confinado para
dos péndulos.
Ilustración 3. Ejercicio 3
d
dt (
∂ q´ i
)
∂ q i
∂ q i
i
m 1
x´ 1
2
m 2
x´ 2
2
k
θ 2
−θ
L=m 1
gl θ 1
+m 2
gl θ 2
P=cl(
θ 2
θ 1 )^ x´ 1
2
m 1 l
2 ´ θ 1 −k l
2
2 −θ 1
2 (
θ 2
θ 1 )+m 1 gl θ 1
m 2 l
2 ´ θ 2 +k l
2
2
(
θ 2
θ 1 )
Derive las ecuaciones de movimiento del sistema que se muestra en la figura 6.
utilizando las ecuaciones d con ϴ como coordenada generalizada.
Las coordenadas de la masa circular son (x+lcos(ϴ)) y lsen(ϴ)))
Expresiones de Energía.
T: Energía Cinética que tienen ambas masas.
m
dx
dt
2
m
d
dt
2
d
dt
2
Ilustración 4
Ejercicio 4
m x´
2
m ´x
2
ml
2 ´ ϴ
2 ( sen ( ϴ)
2
2 )−
m( 2 ´x
ϴ l∗sen∗( ϴ))
T =m ´x
2
ml
2 ´ ϴ
2 −m x´
ϴl∗sen (ϴ) ≈ m x´
2
ml
2 ´ ϴ
2 aplica para pequenas ϴ
V: Energía Potencial del resorte y del peso de la masa circular.
k x
2 +mgl ( 1 −cos ( ϴ) )
considerar que cos ( ϴ) ≈ 1 −
2
entonces V =
k x
2
mgl ϴ
2
2,otro
2
d
dt (^
∂ q´ i
)
∂ q i
L=T −U
m 1
x´ 1
1
+c 2
1
−c 2
x´ 2
1
+k 2
1
−k 2
x 2
1
d
dt (^
∂ x´ 2
)
∂ x 2
∂ x 2
2,otro
d
dt (^
∂T
∂ q´ i
)
−
∂ T
∂ q i
∂ U
∂ q i
= 0
U =
1
2
k ( ∆+ x )
2 −mgx
Determine las ED del movimiento del sistema mostrado en la figura.
Se comprobó que las ecuaciones vistas en clases pueden llegar a una
mayor complejidad y estas tienen una fundamentación y una explicación
clara tanto de deducción como en su aplicación.
Las respuestas que se obtienen son aproximaciones a la vida real, sin
embargo, no se puede tener nunca una aproximación perfecta.
Se tiene conocimiento que estas ecuaciones diferenciales son el primer
paso para la modelación de fenómenos o eventos físicos dentro de la
matemática y estos pueden ser realizados a través de software
computacional.
