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Asignatura: Contabilidad de Costes II, Profesor: Henry Cabrera, Carrera: Administración y Dirección de Empresas, Universidad: UDIMA
Tipo: Apuntes
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Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas U N I V E R S I D A D D E C H I L E
República 701, Casilla 2777, Santiago – Chile, Junio 1991.
U
1. Introducción
Es frecuente que los consumidores deban tomar decisiones cuyos resultados sean inciertos. Por ejemplo un consumidor debe decidir si compra o no un boleto de lotería cuyo valor es de diez mil pesos y que con probabilidad de uno en veinte millones entrega un premio único de 500 millones. Se podría analizar dicha decisión como la compra de cualquier otro bien recurriendo a la teoría general del consumidor que vimos anteriormente. Pero desarrollar una teoría específica que considere la estructura de las decisiones bajo incertidumbre permite realizar supuestos adicionales acerca de las preferencias de las personas, que a su vez se traducen en funciones de demanda con mayores propiedades. En particular, permite derivar una función de utilidad sobre decisiones con resultados inciertos a partir de las preferencias sobre las consecuencias que derivan de dichas decisiones.
Se puede distinguir, aunque por cierto la distinción es algo artificial, entre economía de la incertidumbre y economía de la información. La primera supone una actitud pasiva frente a la incertidumbre en la cual el individuo se adapta a ésta. La segunda considera una posición activa, en la cual se busca reducir la incertidumbre a través de la información. También se supone que las personas no tienen la capacidad de afectar las probabilidades de los distintos eventos que pueden ocurrir, y en ello se diferencia de teoría de juegos, donde si bien existe incertidumbre, los agentes con sus acciones afectan la probabilidad de ocurrencia de los distintos estados. Aquí nos centramos en el tema de la incertidumbre. Ésta permite analizar actividades como los seguros, la investigación y desarrollo, la propaganda y el funcionamiento de los mercados financieros.
En la literatura existen distintos enfoques para tratar la incertidumbre: (i) preferencias sobre contingencias inciertas, desarrollado por Von Neumann – Morgenstern (1944) y (ii) parámetros estadísticos, debido a H. Markowitz (1959). El segundo enfoque, muy usado en finanzas, se puede resumir en que los individuos prefieren mayor ingreso esperado pero menor varianza en el ingreso. James Tobin demostró que el enfoque más general de Von Neumann – Morgenstern se reduce al de preferencias sobre parámetros bajo ciertas condiciones. Por ello, aquí se presenta primero el enfoque más general. Los supuestos sobre los que se basan estos dos enfoques no siempre se cumplen, por lo que también analizamos los desarrollos teóricos de Khaneman y Tversky. Estos autores construyen una teoría que da cuenta de las principales paradojas detectadas en las anteriores, pero por otro lado es mucho menos formal, lo que la hace menos operativa.
Por razones didácticas vamos a introducir el tema suponiendo que las decisiones que las personas deben tomar están restringidas a elegir entre distintas loterías. Más adelante trataremos la incertidumbre en situaciones de mayor interés. En este caso los resultados son los distintos premios que ofrece la lotería. Por simplicidad supondremos que existe un número finito n de premios posibles, los que denotaremos c 1 ,....., cn , respectivamente. Una lotería ai entrega con
la regla de la utilidad esperada parece razonable. Como sólo se gana uno de los premios posibles, parece razonable que la utilidad asociada a cada consecuencia sea independiente de las otras consecuencias. Además hace sentido que entre mayor sea la probabilidad de obtener un premio, mayor sea el peso que éste tenga en la utilidad del consumidor.
2. Teoría Axiomática
Al igual que cuando estudiamos el caso determinístico, necesitamos hacer algunos supuestos respecto a las preferencias de las personas sobre las loterías. Las loterías se clasifican en simples, si los premios son ciertos, y compuestas, si algunos premios son a su vez otras loterías. Supondremos que los consumidores reducen las loterías compuestas a loterías simples. Imaginemos una lotería compuesta donde con probabilidad F 06 1 entre cero y uno el concursante recibe como
premio la lotería simple a 1 y con probabilidad (1- F 06 1) recibe como premio la lotería
simple a 2. La lotería compuesta la denotaremos:
F 0 6 1a^1 + (1-^
F 0 6 1)a^2
Dado que a 1 y a 2 son loterías simples se tiene que podemos representarlas de la
siguiente manera:
a 1 = F 05 BF 07 0 11 ,.........., F 07 01n F 05 D a 2 = F 05 BF 07 0 21 ,.........., F 07 02n F 05 D
Supuesto 1: Las personas reducen la lotería compuesta a una lotería simple de la siguiente manera:
F 0 6 1a^1 + (1-^
F 0 6 1)a^2 =^
F 0 5 B
F 0 6 1
F 0 7 0^11 + (1-^
F 0 6 1)^
F 0 7 0^21 ,.......,^
F 0 6 1
F 0 7 01n^ + (1-^
F 0 6 1)^
F 0 7 02n^
F 0 5 D
Este supuesto nos permite desarrollar todas las teorías en términos de loterías simples, pues las loterías compuestas pueden ser reducidas a loterías simples. Notar que este supuesto que parece tan simple requiere en las personas, al menos, la capacidad de hacer operaciones matemáticas.
La teoría también realiza algunos supuestos acerca de la forma que adoptan las preferencias de las personas sobre las loterías.
Axiomas
En lo que sigue denotamos F 0C D las preferencias sobre las loterías.
i. Racionalidad. Las preferencias de los consumidores sobre el conjunto A de loterías son racionales, es decir, completas y transitivas.
ii. Continuidad. Existe continuidad en las preferencias. Para cualquier trío de loterías ai , aj y ak, y 0 F 0A 3^ F 06 1^ F 0A 3 1 los conjuntos
F 0 7 B
F 0 6 1
F 0 7 C
F 0 6 1a^ i^ + (1-^
F 0 6 1)a^ j^
F 0 C B a^ k^
F 0 7 D
F 0 7 B
F 0 6 1
F 0 7 C
F 0 6 1a^ i^ + (1-^
F 0 6 1)a^ j^
F 0 C A a^ k^
F 0 7 D
son cerrados.
iii. Sustitución. La sustitución de loterías indiferentes en una lotería compuesta, no afecta el orden, es decir, si la lotería ai es preferida a la lotería aj , y ak es cualquier otra lotería, entonces
F 0 6 1ai^ + (1-^
F 0 6 1)ak^
F 0 C D
F 0 6 1aj^ + (1-^
F 0 6 1)ak
Los axiomas (i) y (ii) son análogos a los que se requieren para la demostración de existencia de una función de utilidad que representa las preferencias de un individuo cuando no hay incertidumbre. El axioma de racionalidad, sin embargo, resulta ser más fuerte porque se trata de decisiones más complejas. Por su parte, el axioma de continuidad indica que pequeños cambios en las probabilidades asociadas a las loterías no afectan radicalmente el ordenamiento de las loterías.
El axioma de sustitución es novedoso, y tiene gran relevancia pues determina que las preferencias sean representadas por una función de utilidad que cumple la regla de la utilidad esperada. La intuición es que componer dos loterías distintas con una tercera no debiera cambiar el orden que existía sobre las dos primeras porque componer dos loterías no implica consumir una combinación lineal de ambas, sino que consumir una u otra con cierta probabilidad. Sin embargo, no siempre se cumple, como lo muestra el siguiente ejemplo.
Paradoja de Allais. Este autor fue el primero en mostrar que el axioma de
sustitución no siempre se cumple, a través del siguiente ejemplo. Cuando a un grupo de personas debe elegir entre un ingreso cierto de digamos 2,4 millones de
pesos, y una lotería que con probabilidad 33/34 entrega un premio de 2,5 millones y probabilidad 1/34 nada, la gran mayoría elegirá el ingreso cierto. Luego al componer ambas loterías con una tercera que entrega nada con certeza, el orden de preferencia cambia. Por ejemplo, sea 0,34 la probabilidad de las dos loterías iniciales, y 0,66 la de la nueva lotería. Luego simplificando la primera lotería compuesta, ésta entrega 2,5 millones con probabilidad 0,33, y por lo tanto nada con probabilidad 0,67. Simplificando la segunda lotería compuesta, ésta entrega 2,4 millones con probabilidad 0,34. Los mismos grupos personas prefieren por amplia mayoría la primera opción. Luego en este caso no se cumple el axioma de
sustitución.
A continuación veremos que Pj es único. Supongamos que existe otro Q (^) j en S (^) j F 0C 7^ F 04 9j. Entonces.
Por lema se tiene que Q (^) j = P (^) j, luego P (^) j es único para cada cj , y por lo tanto la función v(cj ) está bien definida. Veamos ahora que efectivamente representa las preferencias del individuo sobre las consecuencias, para ello probaremos para cualquier par c j y c^ k se tiene que sí y sólo sí
Falta por probar que la función de utilidad u sobre las loterías, definida usando la regla de la utilidad esperada representa las preferencias del consumidor. Sean 2 loterías ai y a (^) k, por la regla de utilidad esperada se tiene:
Ahora dados los supuestos sobre como los individuos ven las loterías se tiene:
En consecuencia
Finalmente verificamos consistencia en el sentido que u(c (^) j ) es igual a v(c^ j).
Regla de la utilidad esperada. Es interesante destacar que la conexión entre las preferencias sobre loterías y las preferencias sobre premios está dada por la “regla
de utilidad esperada”. Este resultado requiere que las preferencias satisfagan el axioma de sustitución. Por otro lado, podemos demostrar que si una función de
utilidad cumple con la regla de la utilidad esperada, entonces las preferencias que representan dicha función satisfacen el axioma de sustitución.
Proposición: Si las preferencias sobre el conjunto A de loterías son representadas
por una función de utilidad que cumple la regla de utilidad esperada, entonces las preferencias cumplen el axioma de sustitución.
Dem.: Si la lotería a (^) i es preferida a la lotería a (^) j , y a (^) k es cualquier otra lotería, entonces debemos probar que:
F 0 6 1a^ i^ + (1-^
F 0 6 1) a^ k^
F 0 C B
F 0 6 1aj^ + (1-^
F 0 6 1)ak.
Como a la lotería ai es preferida a la lotería a (^) j, entonces u(a (^) i) F 0B 3 u(aj ). Por otro lado, por regla de la utilidad esperada y realizando algunos pasos algebraicos se tiene que:
u( F 06 1a (^) i + (1- F 06 1) a (^) k) ) = F 06 1u(ai ) + (1- F 06 1)u(a (^) k)
u( F 06 1a^ j + (1-^ F 06 1) a^ k) ) =^ F 06 1u(aj ) + (1-^ F 06 1)u(a^ k)
De donde se concluye el resultado.
En resumen, si se cumple el axioma de sustitución se cumple la regla de utilidad esperada. Además la función de utilidad es única salvo transformaciones afines, y ello se debe al cumplimiento de la regla de la utilidad esperada como vemos en la siguiente proposición. Luego del axioma de sustitución se deriva la regla de la utilidad esperada y la unicidad de la función de utilidad (salvo transformaciones afines)
Prop.^ La función de utilidad v antes definida es única salvo transformaciones afines.
Dem. Mostramos primero que una transformación afín de^ v^ también representa las preferencias sobre los premios y a través de la regla de la utilidad esperada nos da las preferencias sobre las loterías.
Definamos, donde α y β>0 son parámetros, y supongamos que las preferencias sobre las loterías están dadas por:
Claramente V representa las preferencias sobre los premios, veamos que U representa el ordenamiento de las loterías.
Análogamente
nada con probabilidad 0,4 (todos los otros premios posibles tienen probabilidad 0). Supongamos que recibir nada tiene asociada una utilidad 0. Entonces el individuo es indiferente entre jugar dicha lotería y una que entrega el premio ci con probabilidad 0,2 y nada con probabilidad 0,8, y en ese sentido el premio ci es tres veces mejor que cj.
La teoría estaría en dificultades si existiesen distintas funciones de utilidad que representan las mismas preferencias, porque no se preservaría la relación de cardinalidad en el sentido que se discutía antes. Las transformaciones afines mantienen, sin embargo, dicho sentido de cardinalidad. En efecto, definamos la nueva función de utilidad U = F 06 1+ F 06 2u, transformación afín de la función de utilidad u. Es simple verificar que una lotería que entrega el premio cj con probabilidad 0,6 y nada con probabilidad 0,4, da igual utilidad a la persona que otra lotería que entrega el premio ci con probabilidad 0,2 y el peor con probabilidad 0,8, tanto con la función u como con U.
La cardinalidad de la función de utilidad es importante para lo que sigue. En particular para poder definir conceptos como aversión al riesgo. A su vez el concepto de aversión al riesgo es fundamental para explicar muchos fenómenos observados en el mundo de los negocios como la existencia de seguros y otros instrumentos financieros. Supondremos en lo que sigue que los premios (consecuencias) de las secciones anteriores corresponden a distintos niveles de riqueza. Por lo tanto el interés de esta parte son las funciones de utilidad sobre niveles de riqueza que supondremos cumplen la regla de la utilidad esperada.
3. Probabilidades subjetivas
Hasta el momento hemos considerado probabilidades objetivas, pero en algunos contextos las probabilidades conque pueden producirse determinados eventos pueden no ser claras. Consideremos a modo de ejemplo un agricultor que debe decidir entre sembrar mucho (a=1) y sembrar poco (a=2). Los estados de la naturaleza son año seco (s=1) y año lluvioso (s=2). Si el agricultor siembra poco y el año es seco, entonces tiene ingresos c 21 , si el año es lluvioso tiene ingresos mayores; c 22. Pero si siembra mucho y el año es lluvioso, entonces sus resultados c 12 son aún mejores.^ Cuando siembra mucho y el año es seco se producen los peores resultados c 11. Esta decisión la representamos con el siguiente cuadro:
Estados s1 s2 Utilidad de las acciones
Acciones a 1 a 2
c c
c c
u (^1) u (^2)
Creencias acerca de
F 0 7 0^1
F 0 7 0^2
los estados
Hemos supuesto que el agricultor es capaz de representar sus creencias con respecto a la ocurrencia de distintas hidrologías a través de una distribución de probabilidad “subjetiva”.
Normalmente cuando las probabilidades son objetivas se habla de riesgo, y en el caso de probabilidades subjetivas se denomina incertidumbre. En toma de decisiones bajo incertidumbre el individuo decide entre diversas acciones, mientras la naturaleza “elige” entre estados. El problema de decisión del individuo requiere que éste especifique:
En principio tanto los estados como las acciones pueden ser sobre un continuo, pero por simplicidad se supondrá una representación discreta. Luego si se cumple una serie de axioma similar a la del caso de probabilidades objetivas, se puede demostrar que existe una función de utilidad sobre las consecuencias v, tal que la función de utilidad sobre las acciones está dada por:
En lo que sigue no haremos distinción entre probabilidades subjetivas y objetivas.
considerando h pequeños (y dividiendo ambos lados de la desigualdad por h), un adverso al riesgo queda caracterizada por una función v’(W) estrictamente decreciente, es decir una función v( ) cóncava. Luego aversión al riesgo es equivalente a tener una utilidad marginal de la riqueza decreciente.
Ilustramos el concepto de aversión al riesgo con el ejemplo de un individuo cuya riqueza a final de año es igual a W b si la economía anda bien, y W m en caso
contrario. El individuo tiene la creencia que con probabilidad (subjetiva) F 07 0 la
economía tendrá un buen desempeño ese año. Luego la riqueza a final de año es
una variable aleatoria Y que con probabilidad F 07 0 toma^ el^ valor^ W^ b ,^ y^ con probabilidad (1- F 07 0) toma el valor W (^) m.
El valor esperado de la riqueza del individuo, que denotamos , está dado por:
Entonces hay tres posibilidades:
(i) (^) es preferido a Y, en cuyo caso se dice que el individuo es adverso al riesgo. (ii) Y es preferido a , en cuyo caso se dice que el individuo es amante del riesgo (iii) es indiferente a Y, en cuyo caso se dice que el individuo es neutro al riesgo.
Por la regla de la utilidad esperada, se tiene que
por otro lado,
Si la función v es estrictamente cóncava, entonces se tiene:
Luego
En forma análoga, si la función de utilidad del ingreso es convexa (lineal), entonces el individuo es amante (neutro) al riesgo.
Fig. 1: Aversión al riesgo.
Notar que no sólo el individuo prefiere el valor esperado de su ingreso al ingreso
mismo, sino que además está dispuesto a disminuir su ingreso con tal de disminuir la incertidumbre. En efecto, la persona del ejemplo es indiferente entre una riqueza
cierta y la riqueza Y. Luego, está dispuesta a pagar con tal de eliminar la incertidumbre.
La evidencia empírica nos indica que en general los individuos son adversos al
riesgo, por ejemplo compran seguros de diferentes tipo, cuyo efecto es en la mayoría de los casos disminuir el valor esperado de la riqueza, pero reduciendo al mismo tiempo la incertidumbre de ésta.^2
Existen algunas observaciones que van contra la hipótesis de aversión al riesgo tales como el hecho que existen personas que apuestan en juegos de azar con valor esperado negativo. No obstante aquel hecho es reconciliable con la idea de aversión al riesgo. Veamos tres explicaciones por las cuales los juegos de azar son coherentes con el predominio general de aversión al riesgo.
Tampoco debe olvidarse que las personas no siempre son racionales, y que existen personas que son adictas al juego.
lo que la pérdida en valor esperado en la riqueza es compensada por la entretención que produce el juego.
Imaginemos una lotería que con probabilidad (muy pequeña) F 07 0 entrega un gran
premio P, el costo del boleto de lotería es C. Consideremos una persona cuya riqueza inicial es W, entonces si gana la lotería tendrá una riqueza W (^) B = W + P –
C, y si no gana la riqueza se reduce a WM = W – C.^ Suponemos además que el (^2) Notar que el acotamiento de la función de utilidad implica un predominio de la
aversión al riesgo. (^3) Algo similar se podría decir de una persona que junto con comprar una un
número de lotería hace una manda.
Fig. 2: Curva de Friedman-Savage
Claramente la figura 2 nos muestra que las definiciones anteriores de aversión al riesgo son para un nivel dado de riqueza, y es perfectamente posible imaginar que un individuo es adverso al riesgo para ciertos niveles de riqueza y amante del riesgo para otros. Pero más interesante aún, un individuo con un nivel de riqueza dado puede parecer ser adverso al riesgo para determinados juegos y amante del riesgo para otros. De hecho los individuos por un lado compran seguros, pero por otro juegan loterías con valor esperado negativo. De lo anterior se deduce que las definiciones de aversión al riesgo anteriores no son rigurosas y que éstas sólo pueden ser de carácter local.
Medidas locales de aversión al riesgo
Necesitaremos de una medida conveniente de la aversión al riesgo para llegar a una teoría cuantitativa. Puesto que mientras más cóncava sea la función de utilidad mayor será su aversión al riesgo, es entonces imaginable utilizar la función v”(W) como la medida buscada. La función de utilidad, sin embargo, se define para transformaciones lineales positivas, si multiplicamos o sumamos a la función de utilidad una constante, el comportamiento del consumidor no varía pero si lo hace v”(W). Por ello, se han introducido las dos medidas siguientes de aversión al riesgo:
La primera medida se llama aversión absoluta al riesgo y la segunda aversión relativa. Es claro, de las definiciones precedentes, que tanto r (^) a(W) como r (^) r(W)
pueden ser consideradas medidas de la concavidad de u en el punto Y, pero que además son invariantes a transformaciones afines de v.
Integrando –ra (W) obtenemos ln(v’(W)) + c, donde c es una constante de integración. Sacando el exponente de la expresión anterior e integrando se obtiene e c^ v(W)+d, donde d es la constante de integración. Las constantes de integración son irrelevantes pues e cv (W)+d es una transformación afín de v(W). Así, podemos escribir.
y observamos que la función de aversión local al riesgo r (^) a asociada con cualquier función de utilidad u contiene toda la información esencial acerca de u y elimina toda arbitrariedad sobre u. Sin embargo, las decisiones acerca de riesgos ordinarios (riesgos no pequeños)
están determinadas por ra sólo a través de u por la ecuación anterior, entonces no es conveniente dejar de considerar u en favor de r (^) a.
El premio por riesgo
Consideremos una persona con una riqueza W que enfrenta un riesgo z. Estamos interesados en determinar cuánto está dispuesta a pagar para eliminar la incertidumbre. A dicha cantidad la llamaremos premio por riesgo y la denotaremos F 0 4 6. El premio por riesgo depende de la riqueza W y de la distribución de z, y será denotado, F 04 6(W,z) (no es, como la notación podría sugerir, una función de W evaluada en un valor de z seleccionado aleatoriamente). Por ejemplo, en el caso de la figura 1 el premio por riesgo es , pues a la persona obtiene la misma utilidad con el ingreso aleatorio Y y el ingreso no aleatorio.
El premio por riesgo F 04 6(W,^ z)^ está^ definido^ implícitamente^ por^ la^ siguiente ecuación:
(1) v(W + E(z) - F 04 6(W,z)) = E [v(W+z)],
pues F 04 6(W,z) debe ser tal que la persona sea indiferente entre enfrentar el riesgo z y recibir la cantidad no aleatoria E(z) - F 04 6.
Consideremos sólo situaciones donde E[v(W+z) ] existe y es finito. Luego F 04 6(W, z) existe y está definido en forma única por la ecuación anterior, ya que v( ) es una función continua y estrictamente creciente, que está definida sobre todos los posibles valores de W.
Se deduce, directamente de la ecuación anterior, que para cualquier constante F 06 D:
(2) F 04 6(W, z) =^ F 04 6(W+^ F 06 D, z-^ F 06 D)
Eligiendo F 06 D=E(z), suponiendo que existe y es finito, podemos realizar el análisis para un riesgo z - F 06 D que es neutro, ya que E(z- F 06 D) = 0
Dado que el tomador de decisiones es indiferente entre aceptar el riesgo z y recibir la cantidad segura F 0 4 6m (W, z) = E(z) - F 0 4 6(W, z), esta última cantidad es llamada el equivalente monetario o valor de z. Es el precio para z, o sea la mínima cantidad por la cual el tomador de decisiones aceptaría vender z si él lo tuviera, y es la solución de la siguiente ecuación:
u(W+ F 0 4 6m (W, z)) = E[u(W+z)]
Debe ser distinguido del precio de oferta F 0 4 6b (W, z), que corresponde a la máxima cantidad que el tomador de decisiones pagaría para obtener z, la cual está determinada por la ecuación:
Si z no es neutro, tenemos por ecuación (2), con F 06 D = E (z) y ecuación (3):
F 0 4 6(W, z) = ½^
F 0 7 3
(^2) r (^) a(W+E(z)) + 0( F 0 7 3
Así, el premio por riesgo para un riesgo z con media arbitraria E(z) y varianza pequeña es aproximadamente r (^) a(W+E (z) ) veces la mitad de la varianza de z.
Consideremos ahora el premio proporcional por riesgo para un riesgo neutral y
pequeño z, es decir un riesgo z con E(z) = 0 y varianza muy pequeña F 07 3^2 , para lo
cual definimos la variable aleatoria x=z/W, luego E(x) = 0 y la varianza de x está dada por F 07 3x^2 =^ F 07 3^2 /W^2.^ La variable x representa el riesgo como una proporción de la riqueza inicial W. Entonces el premio proporcional, que detonaremos F 04 6F 0 2 A (W, x),
es igual a:
F 0 4 6
F 0 2 A (W, x) = F 0 4 6(W, z)/W
Luego
F 0 4 6
F 0 2 A (W, x) = ½ F 0 7 3z^2 r^ r(W) + 0(^
F 0 7 3z^2 )/W
Así, el premio proporcional por riesgo del tomador de decisiones para un riesgo pequeño y neutro x es aproximadamente rr (W) veces la mitad de la varianza de x; es decir, rr(W) es dos veces el premio proporcional por riesgo por unidad de varianza de x para riesgos infinitesimales.
Existe otra interpretación de ra (W) en el caso especial z = F 0 B 1h. Sea un individuo con riqueza W a quién se le ofrece una apuesta que le involucra ganar o perder una cantidad h con probabilidades p y 1-p respectivamente. El individuo aceptará la apuesta para un p suficientemente grande y la rechazará para un p pequeño. La disposición a aceptar o rechazar una apuesta dada dependerá también de la riqueza. Dada la apuesta h y la riqueza W, p(W, h) designará la probabilidad que el individuo sea indiferente entre aceptar o rechazar la apuesta.
p(W, h) = P(z=h) – P(z=-h)
Luego, P(z=h) = ½ [1+p(W, h)], P(z=-h) = ½[1-p (W, h)], y p(W, h) está definido por la ecuación:
u(W) = E [u(W+z)] = ½ [1+p(W, h)]u(W+h) + ½ [1-p(W, h)]u(W-h)
Cuando u es expandido alrededor de W, la ecuación anterior se convierte en:
u(W) = u(W) + hp(W, h)u’(W) + ½h 2 u”(W) + 0(h^3 )
Resolviendo para p(W, h), encontramos
p(W, h) = ½hr (^) a (W) + 0(h^2 )
Así, para un h pequeño, el tomador de decisiones es indiferente entre “status quo” y un riesgo de F 0 B 1h con una probabilidad premio de r (^) a(W) veces h; esto es, r (^) a (W) es dos veces la probabilidad premio por unidad arriesgada que él requiere para riesgos pequeños.
Comparación de aversión al riesgo
Comparamos los premios por riesgo para la misma distribución de probabilidades de riesgo, pero para individuos con utilidades diferentes. Sean dos individuos con funciones de utilidad u 1 y u 2 cuyas funciones de aversión absoluta al riesgo son r 1 y r 2 , respectivamente. Si en el punto W se tiene que r 1 (W) > r 2 (W), entonces el individuo 1 es localmente más adverso al riesgo que el 2 para el nivel de riqueza W ; esto es, los correspondientes premios por riesgo satisfacen F 0 4 6 1 (W,z) > F 0 4 6 2 (W,z) para riesgos z suficientemente pequeños, y las correspondientes probabilidades premios satisfacen p (^1) (W, h) > p 2 (W, h) para h>0 suficientemente pequeño. El punto central del teorema que vamos a enunciar es que las propiedades globales correspondientes también permanecen.
TEOREMA 1: Sean ri (x), F 0 4 6i(W,z) y pi (W,h) la aversión absoluta al riesgo, el premio por riesgo y probabilidad premio correspondiente a la función de utilidad u (^) i, i=1, 2. Luego, las siguientes condiciones son equivalentes en la forma fuerte (indicada entre paréntesis) o la forma débil.
(a) r 1 (W) F 0 B 3r 2 (W) para todo W [con > para al menos un x] (b) F 0 4 6 1 (W, z) F 0 B 3[>] F 0 4 6 2 (w, z) para todo W y z. (c) p 1 (W, h) F 0 B 3[>] p 2 (W, h) para todo W y h. (d) (^) u 1 [u 2 -1(t)] es una función [estrictamente] cóncava de t.
Demostración: Ver artículo de Pratt.
Aversión absoluta al riesgo constante. Si la función de aversión absoluta al riesgo es constante, vale decir si ra (W) = c, entonces:
u(W) F 0 B BW^ si c = 0; u(W) F 0 B B-e -cW^ si c > 0; u(W) F 0 B Be-cW^ si c < 0.
Estas utilidades son lineal, estrictamente cóncava y estrictamente convexa respectivamente.
Si la aversión local al riesgo es constante, también lo será globalmente, o sea un cambio en los activos no modifica la preferencia entre riesgos. De hecho, para cualquier k, r (^) a (W +k) = r (^) a(W) en cada uno de los casos anteriores. Por lo tanto, tiene sentido hablar de aversión al riesgo constante sin calificación de local o global.
Aversión al riesgo creciente y decreciente. Las dos medidas de aversión al riesgo
son en general funciones de W. El comportamiento de esas medidas con respecto
