¡Descarga conteo infantil y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Investigación sobre el conteo infantil
José Domingo Villarroel Didáctica de la Matemática y de las Ciencias experimentales UPV/EHU
1. Introducción
La cuestión del origen de los fundamentos del conteo infantil ha sido un tema central tanto en la didáctica de la matemática (Blas y Bartolomé, 2005; Chamorro et al. 2006; Oyarzun, 2005) como en la psicología del desarrollo (Le Corre y Carey, 2007, 2006; Sarnecka y al., 2007; Gelman, 2006, Butterworth, 2005, Piaget, 1965, 1980). Aunque la visión tradicional sobre esta cuestión situaba en algún momento entre los 6 y los 7 años la divisoria entre el conocimiento numérico con verdadero fundamento matemático y la simple utilización rutinaria de las palabras-número, lo cierto es que en los últimos tiempos están apareciendo datos que sugieren con insistencia que las habilidades numéricas de niños menores de 6 años y que, incluso, la formas de representación no-verbal de los números son fenómenos cognitivos que deben tenerse muy en cuenta (Feigenson et al., 2006; Clark y Grossman, 2007; Kobayashi et al., 2004; Xu y Arriaga, 2007; Xu, et al., 2005). De hecho se evidencia la existencia de una estructura numérico-cognitiva nuclear en el sistema de conocimiento humado cuyas manifestaciones más tempranas pueden ser registradas a los pocos meses del nacimiento (Spelke y Kinzler, 2007). Por otro lado, algunas de las particularidades de esta estructura cognitiva son compartidas con otras especies animales, especialmente, con primates no-humanos (Flombaum, et al., 2005). El artículo que a continuación se presenta es una revisión sobre la investigación realizada en torno al conteo infantil, posiblemente, la primera adquisición matemática y uno de los aprendizajes que en
mayor medida condicionarán futuros éxitos educativos. El escrito comienza haciendo un repaso sobre la visión piagetiana de la adquisición del sentido numérico ya que las aportaciones de este autor han resultado particularmente influyentes, tanto en la perspectiva educacional como en la investigación básica sobre esta cuestión. A continuación, se expondrá la propuesta de “primero principios, después capacidades” enunciada por Gelman y Gallistel (1978) y Gelman y Meck (1983), punto de referencia para muchas de las investigaciones sobre el conteo y la concepción infantil de número. Se finalizará haciendo un repaso a lo que actualmente se consideran las fuentes conceptuales de los principios del conteo, haciendo hincapié tanto en aspectos metodológicos como en los resultados más sugerentes de la investigación.
2. Concepción de Piaget sobre la comprensión de la noción de
número
Las aportaciones de Jean Piaget (1896 - †1980) han influido decisivamente en la concepción que hoy en día tenemos sobre cómo se origina el pensamiento numérico y las habilidades de conteo Este autor estableció una distinción fundamental entre tres tipos de conocimiento, el físico, el convencional y el de naturaleza lógico-matemático (Piaget, 1980). El entendimiento relativo a cómo son los objetos (su color, su forma) y cómo interaccionan (ruedan, se caen, se paran) son aspectos concernientes al dominio físico mientras que el conocimiento de las palabras que utilizamos para contar los objetos o de las reglas de un juego, corresponden al ámbito de las convenciones sociales. Según Piaget ambas formas de conocimiento tienen un origen externo al individuo. El conocimiento lógico-matemático, empero, tiene un origen diferente. Al comparar, por ejemplo, rotuladores de diferentes colores se puede considerar que son iguales (en cuanto a su forma, longitud o peso) o diferentes (en cuanto a su color). Es el sujeto, internamente, el que establece las relaciones mentales entre las representaciones de los objetos, de forma que es también el propio
capacidades para el conteo, no han podido interiorizar unos requisitos lógicos que, según Piaget, son indispensables para alcanzar el entendimiento de la noción de número (Schirlin y Houdé, 2006). Estos requisitos que garantizan la aprehensión del concepto de número, tanto en su aspecto cardinal (conjunto de elementos) como ordinal (relativo a la posición que un objeto ocupa en una serie) y que fueron la base experimental de la investigación de Piaget podrían resumirse de la siguiente forma (Kamii et al., 2005 ; Labinowicz, 1986): Conservación del número: relativo al hecho de que la noción de número es una característica propia de los conjuntos, la cual permanece a pesar de los cambios que pudiera sufrir la apariencia de los mismos. Detrás de esta noción se situaría la capacidad de establecer relaciones biunívocas entre los elementos de diferentes conjuntos para ser capaz de establecer comparaciones relativas al número de elementos más allá de las características perceptivas de los mismos. Seriación: relacionado con la habilidad para establecer relaciones comparativas entre los objetos de un conjunto, y ordenarlos, de forma creciente o decreciente, según sus diferencias. Dos características de esta habilidad lógica serían la transitividad y la reversibilidad. La primera de ellas se refiere a la capacidad de establecer deductivamente relaciones entre objetos que realmente no han podido ser comparados, atendiendo a las relaciones previas que estos mismos objetos han tenido con otros. Por ejemplo, si se considera un objeto A , el cual es mayor que otro B , y este último es, a su vez, mayor que otro objeto C , se puede establecer sin experimentar la comparación que A será mayor que C. Con respecto a la reversibilidad, ésta se refiere al establecimiento de relaciones
inversas, es decir, un objeto dentro de una serie ordenada de mayor a menor es mayor que los siguientes y más pequeño que los anteriores. Clasificación: vinculado a la capacidad de establecer entre objetos relaciones de semejanza, diferencia y pertenencia (relación entre un objeto y la clase a la que pertenece) e inclusión (relación entre una subclase a la que pertenece un objeto y la clase de la que forma parte). Sin embargo, la teoría Piaget, en los últimos tiempos están apareciendo nuevos datos que obligan, si no a replantearse los postulados piagetanos, si aa ampliar la consideración de las habilidades numéricas de los niños en la etapa pre-operacional.
3. Nuevas perspectivas: numeración infantil
Con relación al conteo infantil, Gelman y Gallistel (1978) y Gelman y Meck (1983) proponen la existencia de 5 principios que, en opinión de estos autores, guían la adquisición y ejecución de esta acción matemática.
- Principio de correspondencia biunívoca: el niño debe comprender que para contar los objetos de un conjunto, todos los elementos del mismo deben ser contados y ser contados una sola vez.
- Principio de orden estable: las palabras-número deben ser utilizadas en un orden concreto y estable.
- Principio de cardinalidad: la última palabra-número que se emplea en el conteo de un conjunto de objetos sirve también para representar el número de elementos que hay en el conjunto completo. Estos tres principios son los que tienen una vinculación más directa con la acción de conteo. No obstante Gelman y Gallistel proponen otros dos más:
Desde el punto de vista de estos últimos autores, existen evidencias que permiten aseverar que entre los 2 y los 3 años los niños y niñas son capaces de llevar a la práctica esos principios (Rittle- Johnson, y Siegler, 1998), aunque no sean capaces de aplicarlos a todo tipo de tareas y en todas las circunstancias. Sobre esta cuestión Gelman y Gallistel sostienen la idea de que si el niño fracasa en la tarea de contar se debe, principalmente, a condicionamientos ligados a la tarea. Entre las acciones no relacionadas con la comprensión de los principios de conteo que más pueden condicionar el éxito del mismo se mencionan la enumeración de los objetos: diferenciación de objetos contados de no contados, marcaje de los ya contados y separación espacial que facilite la identificación de los que faltan por contar (Chamorro et al., 2006). En consecuencia, estos autores proponen diferenciar dos aspectos del conteo; por un lado, el relativo a comprender los principios fundamentales e imprescindibles que dan sentido a la acción de contar y, por otro lado, ser capaz de poner en práctica esos principios, cualquiera que sea el contexto y la exigencia de la tarea (Butterworth, 2005). Gelman y colaboradores describen su propuesta como “primero principios, después capacidades” para subrayar, precisamente, que a pesar de no contar con una capacidad conceptual totalmente estructurada sobre la acción de contar, los niños y niñas de entre 2 y 4 años sí poseen los cimientos metodológicos del mismo (Bryant, 1996). Efectivamente numerosas investigaciones han constatado que las habilidades pre-numéricas de niños y niñas de entre 2 y 5 años son ciertamente más prolijas que lo que tradicionalmente se había considerado. Por ejemplo, Potter y Levy (1968) constatan la capacidad de establecer correspondencias uno a uno, a los dos años de edad; Wynn (1990) registra la habilidad de contar conjuntos pequeños a los tres años; Starkey y Gelman (1982) confirman que los niños y niñas a partir de los tres años y medio pueden efectuar acciones de sustracción y adición de “uno” con
objetos y palabras-número y Fuson y Kwon (1992) comprueban que a los cuatro años pueden utilizar los dedos como ayuda para acciones de adición. La constatación de estas habilidades pre-numéricas que durante la edad preescolar guían la generación de procedimientos para el conteo contrasta con la evidencia de las dificultades en tareas matemáticas que se manifiestan durante la edad escolar. En opinión de algunos autores este hecho concuerdan con la idea de que existe un conjunto de las competencias matemáticas básicas tales como el conteo y la aritmética simple que son dominios de conocimiento inherentemente favorecidos durante el desarrollo (Rittle-Johnson y Siegler, 1998). De hecho, la tesis “primero principios, después capacidades” expuesta anteriormente, considera que el dominio de conocimiento que definen estos principios de conteo está presente de forma innata dentro de los mecanismos de procesamiento de la información de los niños y que sería, precisamente, “la tendencia de los niños a usar sus sistemas de procesamiento de la información lo que les llevaría a atender de forma preferente a datos relevantes para estos sistemas y a potenciar el aprendizaje del conteo” (Gelman & Brenneman, 1994, p. 374).
4. La adquisición de los principios de conteo.
Verificar si efectivamente existe un sistema de representación numérica simbólica no verbal e innato cuyo desarrollo se ajusta a los tres principios de conteo (orden estable, correspondencia uno a uno y cardinalidad) ha sido un desafío experimental de primer orden. A continuación se presenta una revisión sobre lo que se conoce sobre esta cuestión. Para ello, por un lado, se presentarán aspectos metodológicos relativos a la investigación en este ámbito y, a continuación, se presentarán las dos principales hipótesis sobre la adquisición de los principios de conteo: la tesis de Gelman y Gallistel, que se ha venido en llamar la hipótesis continua, y la propuesta de Wynn.
un cardinal sin contar, se le invita a que cuente con preguntas como ¿Estás segura de que le has dado X juguetes? ¿Cómo? Point to X (Wynn, 1992b): Se basa en mostrar a los niños dos cartas en las que aparecen dibujos de objetos (por ejemplo, ovejas). En una de las cartas se muestran N objetos y en la siguiente N + 1. A continuación se pide al niño que que señale dónde hay N elementos. What is on the card? (Gelman, 1993): La metodología de esta tarea es mostrar al niño un conjunto de cartas que consecutivamente muestran de 1 a 7 u 8 objetos y preguntarle, simplemente, qué hay en una de las cartas. En la primera carta el propio experimentador interviene como modelo para promover la acción de conteo, mencionando sobre la carta, por ejemplo: ¡Qué bien, hay una rana! Durante esta fase de ensayo se moldea la situación para facilitar que el niño cuente los objetos y exprese un cardinal. De esta manera, si el niño cuenta los objetos pero no menciona cuántos son, el examinador, con el fin de provocar la resolución de un cardinal, le preguntará: Muy bien y...¿Qué hay en la carta? Si por el contrario el niño solamente menciona el cardinal, sin contar, el examinador le preguntará algo como: ¿A ver, puedes enseñármelos? o ¿Dónde están? En esta prueba se evita utilizar la pregunta de ¿Cuántos hay? ya que se constata que los niños a menudo han aprendido a producir una secuencia numérica a esta respuesta como parte de una rutina social pero sin comprender realmente qué están haciendo o para qué cuentan. Manual search task (Barner y al., 2007): El objetivo de este tipo de prueba consiste en evaluar la conducta exploratoria de niños y niñas hacia objetos que se esconden dentro de una caja. Durante una fase previa de familiarización, el experimentador incita a niño a buscar y a devolver una pelota de ping-pong que esconde en una caja. Durante la fase de experimentación se miden los tiempos de búsqueda de los objetos escondidos de, por ejemplo, de 1 frente a 3 bolas. Así, primero, se introduce una pelota en el interior y se permite al niño que la coja y la devuelva, después se le
ofrece la caja de nuevo, y se mide el tiempo de búsqueda. Posteriormente, se realiza la misma prueba habiendo introducido tres bolas. Se le permite extraer una de ellas pero las otras dos han sido apartadas por el examinador. Nuevamente se miden los tiempos de búsqueda para encontrar diferencias significativas. 4.2. Hipótesis continua Centrándose en la cuestión del origen de los principios de conteo, la tesis de Gelman y Gallistel (1978) es que estos principios de conteo no verbales guían la adquisición del conteo verbal de forma que no es el aprendizaje de la lista de palabras-número (cantinela numérica – Chamorro, 2006 –) lo que guía y pone la base para la asimilación de los principios de conteo sino que el conocimiento de los principios de conteo forma la base para la adquisición de la destreza de contar. Estos autores sostienen la hipótesis antedicha, principalmente, en la observación de que el patrón de aprendizaje de conteo de niños y niñas no se ajusta a lo esperable de una mera asimilación pasiva de los patrones de conteo que ofrecen los cuidadores. Bien al contrario, los niños y niñas espontáneamente generan estrategias de conteo que difieren de la secuencia tradicional, bien en la orientación de la acción o bien en las palabras-número que utilizan (pueden incluir cantinelas como “uno, tres, cinco” o incluso recurrir a palabras no-número) pero siempre con la característica de orden estable. Gelman y Gallistel sugieren que estos errores son comparables a las sobregeneralizaciones de las reglas lingüísticas (por ejemplo: ¡se ha rompido! ) e indican que son una prueba de que los niños y niñas realmente intentan interpretar el patrón externo de conteo en términos de estructuras mentales internas. 4.3. Hipótesis de Wynn Después de que los niños y niñas han aprendido su primera lista corta de palabras-número (cantinela numérica) para poder contar, Wynn (1990, 1992) encontró dos grupos, distinguibles en
Wynn estableció que en este momento (3,5 años, rango 2,11-4,0), los niños y niñas empleaban el principio de cardinalidad y determinó que existe un lapso medio de 4 a 5 meses entre cada estadio (es decir, de “uno-conocedor” a “dos-conocedor”, de éste a “tres-conocedor” y finalmente a “cardinal-conocedor”), de tal manera que pasa sobre un año desde que son los niños son “uno- conocedores” hasta que son “cardinal-conocedores”. En consecuencia, según los experimentos de Wynn, los niños necesitan más o menos, un año desde que aprenden la lista numérica y son capaces de reconocer, al menos, un subconjunto de un elemento hasta que son competentes para utilizar la lista numérica para establecer el cardinal de un conjunto. Esta perspectiva propuesta por Wynn, sugiere que la adquisición significativa de la lista numérica verbal concuerda con la elaboración de un sistema de representación de naturaleza no innata que, obviamente, difiere con las tesis de Gelman y Gallistel. 4.4. Principios innatos frente a falta de función Se ha argumentado que los resultados de los trabajos de Wynn más que indicar inconsistencias en la hipótesis continua, pueden resultar de las limitaciones que niños de estas edades pueden presentar para comprender lo que realmente se les está pidiendo y/o para ejecutar procedimientos adecuados de conteo que satisfagan los requerimientos de la tarea (Gelman, 1993). De esta manera, al considerar el cardinal de un conjunto, los niños deben contar, por ejemplo: “1, 2, 3 y 4”, y utilizar el último número de la lista para denotar cuántos objetos hay, diciendo que “hay cuatro”. Sin embargo algunos niños omiten el último paso de manifestar cuántos hay, no por falta de comprensión sino por carencias procedimentales y pobre utilización de sus recursos de conteo. En este sentido la utilización de pruebas más sensibles y menos exigentes para la evaluación de la competencia numérica (por ejemplo, mediante la prueba “ What is on the card?” ) han concluido que las limitaciones funcionales de los niños podrían estar detrás de los resultados expuestos en los
trabajos de Wynn. Sin embargo, Le Corre et. al (2006) en una extensa revisión de la cuestión concluyen que realmente los subconjunto-conocedores (uno, dos y tres-conocedores) no pueden considerarse cardinal- conocedores con carencias procedimentales sino que, más al contrario, debe tenerse en cuenta que su representación de número difiere significativamente de los considerados como cardinal- conocedores (capaces de identificar 4 o más objetos). Como consecuencia, entienden los investigadores que debe considerarse que la adquisición de los recursos representacionales expresados en los principios de conteo implica cambios significativos en la representación de número de los niños. Una cuestión dependiente de la discusión a partir de los trabajos de Le Corre et al. (2006) es conocer si efectivamente el sistema de representación numérico vinculado al conteo difiere de otros núcleos de representación numérica descritos en la investigación sobre la sensibilidad de infantes hacia las regularidades cuantitativas de los estímulos. A continuación se discute esta cuestión, exponiendo en primer lugar, cuáles son los sistemas de representación numérica que se han detectado en la investigación con infantes menores de dos años. Finalmente se mostrarán según las últimas investigaciones, cuáles pueden ser los sistemas representacionales más implicados en la aparición de las habilidades para el conteo.
5. Fuentes conceptuales de los principios del conteo
5.1. Representaciones numéricas pre-verbales a) Sistema de representación numérica aproximada Aunque el número es una propiedad de un conjunto formado por entidades discretas, lo cierto es que hay evidencia suficiente para afirmar que las representaciones no-verbales de los números son
Brannon, 2006; Flombaum, Junge y Hauser, 2005). Por otro lado, también ha sido descrito en poblaciones humanas aisladas y con modelos lingüísticos extremadamente parvos en cuanto al uso de palabras-número (Gordon, 2004; Pica, 2004). b) Sistema de representación de cantidades pequeñas El segundo sistema de representación numérica aparece vinculado al manejo de pequeñas cantidades, generalmente no más de tres objetos (Feigenson y Carey 2005; Xu, 2003) y ha sido propuesto como modelo para interpretar las habilidades perceptivas que los niños y niñas menores de 2 años demuestran para el seguimiento de un número limitado de objetos (Cheries, Wynn y Scholl, 2006) y que podría explicar su sensibilidad hacia variaciones aritméticas de conjuntos pequeños (Wynn, 1992; Ksbayashi et al., 2004). Este sistema propone que los niños son capaces de percibir pequeñas cantidades mediante el “seguimiento” de las peculiaridades individuales de los estímulos y resulta semejante a la representación de estímulos mediante "object files" descrita en la investigación sobre las capacidades de atención de adultos (Kahneman, Treisman y Gibbs, 1992). Este modelo subraya que el sistema sensorial tiende a buscar regularidades en los estímulos que recibe con el fin de ordenar la acción perceptiva. Para ello, entre los niveles más básicos del procesamiento sensorial y los más altos, referidos al nivel consciente, se propone la presencia de representaciones intermediarias de los estímulos o "object file" que posibilitan la comunicación entre los niveles antedichos. Estas representaciones intermediarias reunirían las características sensoriales básicas de las entidades percibidas y permitirían al sistema cognitivo seguir los objetos a lo largo del tiempo y a través de las variaciones que pueden sufrir en el espacio como movimientos, cambio de perspectiva, ocultaciones, etc. (Mitroff et al. 2005; Noles et al. 2005). Otros autores, (Le Corre y Carey, 2007), sin embargo, consideran que este sistema de
representación numérica se acerca más al modelo propuesto por Vogel, Woodman y Luck (2001). Este modelo se fundamenta en el hecho de que la memoria a corto plazo puede albergar representaciones paralelas de unos pocos objetos y posibilitar la comparación de éstos con conjuntos visibles de objetos mediante correspondencias biunívocas. Esta interpretación parece ajustarse mejor a determinadas experiencias en las que se plantea a los niños la elección de un subconjunto de N objetos (no más de tres) lo que implica que los niños pueden representar ese conjunto, guardarlo en su memoria de trabajo y establecer comparaciones biunívocas con conjuntos visibles. En cualquier caso, lo que parece cierto es que la principal característica de este sistema, a diferencia de la representación numérica aproximada, es su limitación en cuanto a su capacidad de manipular objetos que en la bibliografía sobre el particular suele referirse a un máximo de 4 objetos durante la edad adulta y 3 en la niñez (Hauser et al., 2007). c) Sistema cuantificador de conjuntos La habilidad cognitiva para diferenciar conjuntos es una destreza básica que subyace a la comprensión de los cuantificadores lingüísticos. Éstos son unidades gramaticales que limitan el referente potencial del núcleo del sintagma nominal, bien de forma exacta (numerales: tres, primero, mitad, triple, etc .) o bien de forma ambigua (indefinidos: bastante, poco, algunos, ninguno, etc. ). Aunque en este momento la investigación sobre la cuestión de si la comprensión basada en conjuntos es previa al desarrollo de las capacidades lingüísticas o si es el lenguaje quien juega un papel primordial en la comprensión conceptual de conjuntos, es un tema de investigación en pleno desarrollo, parece afianzarse la idea, por un lado, de la existencia de un sistema no-verbal de representación de conjuntos, por lo menos para la distinción entre singular y plural, y, por otro, que
estas ideas las investigaciones realizadas en primates no-humanos –Hauser et al., 2007–). Con todo, hasta el momento no se ha podido encontrar una relación entre este sistema y los anteriormente expuestos en este artículo. En este sentido, Barner et al. (2007) en un examen del sistema que subyace a la distinción morfosintáctica entre singular y plural en niños menores de dos años, encuentran que éste no se ajusta ni al sistema de representación de cantidades exactas ( "object file" ) ni al correspondiente a las representaciones numéricas aproximadas ( “analog magnitude representations ”). 5.2. Origen de los principios de conteo Le Corre y Carey (2007) reúnen evidencias que permiten aseverar que la naturaleza de las fuentes conceptuales de los principios de conteo están vinculadas al sistema de representaciones de cantidades pequeñas y que, en consecuencia, los niños adquieren estos principios proyectando las palabras-número de “uno” hasta “cuatro” sobre las representaciones que este sistema crea. El sistema representa conjuntos de elementos creando modelos en la memoria de trabajo en los cuales cada elemento es representado por un único símbolo mental. Aunque hasta el momento no se tiene certeza sobre el nivel de diferenciación de estos símbolos lo que sí se conoce es que no puede albergar más de tres elementos simultáneamente. En cualquier caso, permanece implícita la discusión de si este sistema de representación de cantidades pequeñas descrito se asemeja a un sistema de “seguimiento” de peculiaridades individuales de los estímulos semejante al propuesto por Kahneman y colaboradores (1992) y que se conoce como "object files" o, si por el contrario, es un sistema de representaciones individuales en paralelo dentro de la memoria de trabajo que permite la comparación entre conjuntos visibles y representados enunciado por Vogel et al. (2001). Finalmente, estos investigadores no encuentran relación entre el sistema vinculado a cantidades
aproximadas ( “analog magnitude representations system” ) y la formación de los principios de conteo.
6. Conclusiones
Piaget (1965) consideró que la comprensión de la noción de número no es posible sin la aprehensión de los fundamentos lógicos que permiten dar sentido a la acción de contar. Desde esta perspectiva, los intentos que niños de la etapa pre-operacional puedan hacer por contar y manejar los números son meras rutinas verbales (Gelman, 2006). Sin embargo, Gelman y Gallistel (1978) y Gelman y Meck (1983) consideran que antes del desarrollo completo de las capacidades de conteo existen unos principios que guían el aprendizaje de esta acción matemática. Numerosas investigaciones han constatado las habilidades pre- numéricas de niños entre 2 y los 5 años (Potter y Levy, 1968; Wynn, 1990; Starkey y Gelman, 1982; Fuson y Kwon, 1992) y se sugiere que la existencia de estas destrezas a una edad tan temprana puede estar relacionado con el hecho de que el dominio de conocimiento que definen los principios de conteo esté presente de forma innata dentro de los mecanismos de procesamiento de la información de los niños (Gelman y Brenneman, 1994, Gelman, 1993). Sin embargo, investigaciones posteriores han puesto en entredicho esta visión (que por lo demás, no está definitivamente postergada –ver, Gelman, 2006–). Así, los trabajos de Wynn (1990, 1992) y de Le Corre et al., (2006) sugieren que realmente la adquisición de los recursos representacionales expresados en los principios de conteo implica cambios significativos en la representación de número de los niños. Finalmente, el estudio del nivel de implicación de los sistemas de representación numérica pre- verbal apunta, especialmente, al sistema de representación de cantidades pequeñas como origen prioritario de los principios de conteo.
