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CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE
Centro de gravedad y centro de masa para un sistema de partículas
Centro de gravedad
Considerando el sistema de n partículas fijo dentro de una región del espacio,
Los pesos de las partículas consisten en un sistema de fuerzas paralelas que se puede sustituir por un solo peso resultante (equivalente) y un punto definido de aplicación. Este punto es llamado centro de gravedad G. Por lo que
W (^) R = ∑W
La suma de los momentos de los pesos de todas las partículas en torno a los ejes x,y,z es igual al momento del peso resultante alrededor de estos ejes. Así, para determinar la coordenada x de G, podemos sumar momentos en torno al eje y.
ܹ ݔ (^) ோ ݔ ൌܹ ଵ ଵ ݔ (^) ܹ ଶ ଶ ⋯ ݔܹ
Asimismo, sumando momentos en torno al eje x, podemos obtener la coordenada y; es decir,
Aunque los pesos no producen momento en torno al eje z, podemos obtener la coordenada z de G imaginando el sistema de coordenadas sometido a una rotación de 90 0 respecto al eje x ( o y) con las partículas fijas en él. Sumando momentos en torno del eje x, tenemos
ܹ ݖ (^) ோ ̃ݖൌ ܹ ଵ ଵ ̃ݖ ܹ ଶ ଶ ⋯ ݖܹ̃
Podemos generalizar estas fórmulas y escribirlas simbólicamente en la forma
Centro de masa
Para estudiar problemas relativos al movimiento de la materia bajo la influenza de la fuerza, es decir, la dinámica, es necesario localizar un punto llamado el centro de masa. Siempre que la aceleración de la gravedad g para cada partícula sea constante, se considera que w = mg. Al sustituir en las ecuaciones ( 1 ) y cancelar g se tendrá
Entonces, por comparación, la localización del centro de gravedad coincide con la del centro de masa. Recuerde, sin embargo, que las partículas tienen “peso” sólo cuando se encuentran bajo la influencia de una atracción gravitacional, en tanto que el centro de masa es independiente de la gravedad.
Centro de gravedad
Cuando los principios para determinar las ecuaciones xxx se aplican a un sistema de partículas que componen un cuerpo rígido, se obtiene la misma forma que estas ecuaciones, salvo que cada partícula localizada en (x,y,z)) se considera de un peso diferencial dW. En consecuencia, se requiere integración en vez de suma discreta de los términos. Las ecuaciones que resultan son
Área
De manera semejante, el centroide para el área superficial de un boleto, como una placa o un casco puede encontrarse subdividiendo el área en elementos diferenciales dA y calculando los “momentos” de estos elementos de área en torno a los ejes de coordenadas, a saber
ݔ ݀^ ܣ
݀ ܣ^
݀ ܣ^
ܣ ݀^
Línea
Si la geometría del objeto, tal como una barra delgada o un alambre, toma la forma de una línea, la manera de encontrar su centroide es idéntica al procedimiento antes explicado. Los resultados son
En todos los casos anteriores la localización de C no necesariamente estará dentro del objeto; sino que puede situarse en el espacio del exterior del objeto. También, los centroides de algunas formas pueden especificarse parcial o completamente usando condiciones de simetría.
En los casos en que la forma tiene un eje de simetría, el centroide de la forma estará a lo largo del eje
