Continuidad de una función, Exámenes de Matemáticas

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CONTINUIDAD DE UNA

FUNCIÓN

Si consideramos la función "𝑓 ” definida como:

1. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

1 .- EJEMPLO:

𝑓 𝑥 =

2

…………(1),

Cuyo dominio es:

𝑓

= { x∈ ℝ/ x∈(-∞, 3 ) U ( 3 , +∞ ) , se sigue que:

( 3 𝑥+ 5 )(𝑥− 3 ) 𝑥− 3

, anulando términos semejantes

( 3 𝑥+ 5 )(𝑥− 3 ) 𝑥− 3

Si consideramos la función f; donde f( 3 ) = 7 ; es decir queda redefinida como: 𝑓 𝑥 = ൞ 3 𝑥 2 − 4 𝑥− 15 𝑥− 3 ; 𝑥 ≠ 3 1 7 ; 𝑥 = 3 La gráfica correspondiente se tiene a la derecha. Se puede observar que aún la gráfica muestra saltos en el punto ( 3 ; 14 ) , por lo tanto la función es discontinua en x = 3. Redefiniendo la función por primera vez:

Redefinimos la función por segunda vez, donde f( 3 ) = 14. la función está definida por: 𝑓 𝑥 = ൞ 3 𝑥^2 − 4 𝑥− 15 𝑥− 3 ; 𝑥 ≠ 3 1 14 ; 𝑥 = 3 La gráfica de la nueva función está a la izquierda. La gráfica está definida para todo x ∈ R, incluso para el valor de x = 3 en la recta y = 3 x+ 5. Por lo tanto la función f(x) es continua en x = 3. A continuación tenemos la siguiente definición:

Ejemplo 2. Se define la función "g"

. una función con regla de correspondencia: g( x ) = 𝑥+ 3 𝑥− 2 , ¿es continua la función en x = 2? Hacer un dibujo de la gráfica, si es discontinua ; diga que tipo es.

La figura de la izquierda muestra que la función "g“ es discontinua en x = 2. ya que en ese valor, "g“ muestra un salto en la gráfica Solución Redefiniendo ahora la función “g” de la siguiente manera: g( x ) = ൝ 𝑥+ 3 𝑥− 2 , 𝑥 ≠ 2 2 , 𝑥 = 2 2

TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD

1. TEOREMA. Si f y g son dos funciones que son

continuas en el número “a”, entonces:

i. ( f + g )( x ) es continua en “ a” ii. ( f – g )( x ) es continua en “ a” iii. ( f. g )( x ) es continua en “ a” iv. ( 𝑓 𝑔 )( x ) es continua en “ a”

2. TEOREMA. Dada la función polinomial:

f ( x ) = a

0

x

n

+ a

1

x

n – 1

+ a

2

x

n – 2

+ a

3

x

n – 3

+ ... + a

n

Donde 𝒂

𝒊

: ∀𝑖 = 0 , 1 , 2 , 3 , … , 𝑛. Con a

0

es continua en todo número real.

3. TEOREMA. Toda función racional :

0

𝑛

• 𝑎 1

𝑛− 1

• 𝑎 2

𝑛− 2

• ⋯ + 𝑎 𝑛− 1

𝑛 𝑏 0

𝑚

• 𝑏 1

𝑚− 1

• 𝑏𝑥 𝑚− 2
• ⋯ + 𝑏 𝑚− 1

𝑚 𝑎 𝑖 : ∀𝑖 = 0 , 1 , 2 , … , 𝑛. 𝑏 𝑗 : ∀𝑗 = 0 , 1 , 2 , … , 𝑚. 𝑛 𝑦 𝑚 ∈ Z Donde m < m , es continua en todo número de su dominio

Ejemplos: Dada las siguientes funciones, analizar la continuidad en todo su recorrido; indicar en que puntos es discontinua y que tipo es. Hacer un dibujo de la gráfica indicando sus asíntotas : 7+ 𝟐 𝑿 −𝟔 ; ∀ x ∈ (- ∞ ;-2) ∪(5,6)∪(6,+∞)

• 4 𝒙 𝟐

+24x-30; ∀ x∈[2,3)

1.-𝝓(x)= 𝒙

𝟐

− 6x + 16; ∀x∈[ 3,5 ]

4sign( 𝒙

𝟐

𝟐

; si 1<| x |<

[|

𝟏 𝒙−𝟐

|] +𝒙

𝟐

; si | x |≤ 1

2.-𝝀(x) =

3 +3𝑥+ 1 𝑥 2 −𝑥− 6

2

3 .-Dada la función 𝝈(x) :

𝝈(x) =

𝟐[𝟏−𝑪𝑶𝑺(𝒙 𝟐 )] 𝒙 𝟑 𝑺𝒆𝒏(𝒙)

; si x ≠ 0

2 ; si x = 0

i) ¿Es contínua en x= 0?

ii) De no ser contínua ¿Qué tipo de

discontinuidad posee?

iii) Redefina la función, si fuera posible.

2 .- TAREA PARA SU CASA.

Dada la función 𝝎 (x), analizar la continuidad en todo su recorrido, indicar en que puntos es discontinua y que tipo es. Hacer un dibujo de la gráfica indicando sus asíntotas: 𝒙 𝟑 −𝟐𝟕 𝒔𝒊𝒈𝒏(𝒙−𝟏) 𝒙 𝟑

𝟐

+3x− 9 [|

𝒙 𝟗

|]

; si x ∈ (-5,0)∧ x≠- 3

𝝎 (x) =

𝒙 𝟐 −𝟗 𝒙 𝟐 −𝟐𝒙−𝟑 ; si x ∈[ 0 , 5 )⋀ x≠ 3 𝟏𝟑 𝟒

; si x= - 3

𝟏 𝟒

; si x = 3