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TEORÍA CONTINUIDAD DE FUNCIONES
CONTINUIDAD EN UN PUNTO
El valor funcional 𝑓(𝑎) no desempeña ningún papel en la determinación del lim 𝑥→𝑎
𝑓(𝑥), pero para
definir el concepto de continuidad en un punto "𝑎" se tomará en cuenta el valor de 𝑓(𝑎) 𝑦 lim 𝑥→𝑎
Ejemplos didácticos de funciones que no son continuas en 𝑎
lim 𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) no existe y lim 𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) no existe,
𝑓(𝑎) no está definido pero 𝑓(𝑎) está definido
lim 𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) existe, pero lim 𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) existe, 𝑓(𝑎) está definida
𝑓(𝑎) no está definida pero lim 𝑥→𝑎
Definición. Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene al punto a Dom f. La
función f es continua en el punto a, si:
Límf(x) f(a) x a
siempre que este límite exista.
Gráficamente
Criterio de continuidad
f es continua en un punto a, si las tres condiciones se cumplen:
i) f(a) existe,
ii) Límf(x) x a
existe,
iii) Límf(x) f(a) x a
Nota
Si no se cumple una de las tres condiciones no se cumple se dice que la función no es continua en a o
que la función es discontinua en a.
Ejemplo 2
¿Para qué valores de la función definida por:
5 - 2x; 2 x 3.
2x 4 ; 1 x 2,
x -3; - 1 x 1,
f(x)
2
es continua?
Resolución
La función tiene como Dominio al intervalo (-1, 3)
- Analizando la continuidad en el punto x = 1
i) f(1) = (1)
2
ii)
Como:Límf(x) Límf(x) Límf(x) - 2
Límf(x) Lím x - 3 - 2 y Límf(x) Lím 2x 4 - 2.
x 1 x 1 x^1
x 1 x 1
2
x 1 x 1
^
Por consiguiente: f es continua en x = 1.
- Analizando en el punto x = 2
i) f(2) = 5 – (2)
2 = 1,
ii)
Límf(x) No existe.
Como:Límf(x) Límf(x)
Límf(x) Lím(5-x ) 1.
Límf(x) Lím 2x 4 0
x 2
x 2 x 2
2
x 2 x 2
x 2 x 2
Luego, f no es continua en x = 2.
Por consiguiente, f es continua
En todo su dominio, excepto en x = 2
Ejemplo 3
Sea la función:
3 ;x 2.
x - 4 ; x 2, f(x)
2
¿Para qué valores la función f es continua?
Resolución
Dom f = R, y redefiniendo la función
3 ; x 2.
4 - x ; - 2 x 2,
x - 4 ;x - 2 x 2,
f(x)
2
2
- Continuidad en x = -
i) f(-2) = 3
ii)
Lím f(x) 0
ComoLím f(x) Lím f(x)
Lím f(x) Lím 4 - x 0.
Lím f(x) Lím x - 4 0,
x 2
x 2 x 2
2
x 2 x 2
2
x 2 x 2
iii) Límf(x) 0 3 f(-2) x 2
Luego, f no es continua en -
- de la misma manera f no es continua en x = 2
Continuidad de combinaciones algebraicas
Si las funciones f y g son continuas en el punto x = c, entonces las combinaciones siguientes son
continuas en x = c.
- Sumas: f + g,
- Diferencias: f – g,
- Productos: f. g,
- Múltiplos constantes: k.f, para cualquier número k,
- Cocientes: f/g, siempre y cuando g( c) ≠ 0,
Ejemplos
- Cualquier función polinómica P(x) = anx
n
n-
n-
- …+ a 1 x + a 0 es continua en el
intervalo (-∞, +∞).
- Si P(x) y Q(x) son polinomios, entonces la función racional P(x)/Q(x) es continua excepto en los
puntos donde Q(x) = 0.
Composición de funciones continúas
Si f es continua en c, y g es continua en f(c), entonces (g o f) es continua en c, y está dado por:
(g o f)(x) = g(f(x))
c f(c ) g(f(x))
Ejemplo
Demostrar que la función 𝑓(𝑥) = √6𝑥 2 − 3𝑥 + 1
3 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎
Demostración
Sea 𝑓(𝑥) = (𝑔𝑜ℎ)(𝑥), 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑔(𝑥) = √𝑥
3 𝑦 ℎ(𝑥) = 6𝑥 2 − 3𝑥 + 1
2 − 3𝑥 + 1) = √6𝑥^2 − 3𝑥 + 1
3
Como 𝑔(𝑥) 𝑦 ℎ(𝑥) son funciones continuas, entonces (𝑔𝑜ℎ)(𝑥) = 𝑓(𝑥)^ es continua
TEOREMA 1.5.2. (Límite de una función compuesta)
SiLímg(x) L y x c
f es continua en L, entonces
Lím fg(x) f Lím g(x) f(L).
x c x c
Ejemplo 1
Sea la función g(x) = x, continua en [0, +∞)
f(x) = x
3
entonces (g o f)(x) = g(f(x)) = g(x
3
3 es continua en [0, +∞)
Ejemplo 2
Sean las dos funciones 2 3 - x
x (^) f(x) x 2 y g(x). Hallar todos los puntos en los cuales la
función (f o g) es continua.
Resolución
- (f o g)(x) = f(g(x)) = 2 3 - x
x
3 - x
x f 2 2
x- 3 x x
(2x 3)(x-2) 0 3 x
x 6 - x 2 0 3 - x
x 2
2
2
(f o g) es continua en (-∞, - , 3 ) [2, )
, - 3 [ )
Discontinuidad
No todas las funciones son continuas y las que si son juegan un papel muy importante en el cálculo.
Una función tiene una discontinuidad cuando presenta “huecos”, saltos o rompimientos
Ejemplo
Analizar la discontinuidad de la función
x- 2
x - 4 f(x)
2
en el punto x = 2.
Solución
Dom f = r – {2}
Lím(x 2) 4
x- 2
(x-2)(x 2) Lím x- 2
x - 4 Límf(x) Lím
x 2
x 2
2
x 2 x 2
Luego, f tiene una discontinuidad
Removible en x = 2
Ejemplo 2
La función mayor entero f(x) = [x] tiene
discontinuidad no removible de salto en x = n, n es z
No existe lim 𝑥→𝑛
𝑓(𝑥), pues lim 𝑥→𝑛−^
𝑓(𝑥) = 𝑛, pero lim 𝑥→𝑛+^
Ejemplo 3
Analizar las discontinuidades de la función
x -x- 6
x 2 f(x) 2
Resolución
Dom f = r – {-2, 3}. Analizando la discontinuidad en el punto x = -
x- 3
Lím (x 2)(x-3)
(x 2) Lím x -x- 6
x 2 Lím f(x) Lím x 2 x 2 2 x 2 x 2
Luego f tiene una discontinuidad removible en x = -
Analizando la discontinuidad en el punto x = 3
(x-3)
Lím (x 2)(x-3)
x 2
(x-3)
Lím (x 2)(x-3)
x 2
x 3 x 3 x 3
x 3 x 3 x 3
Luego f tiene una discontinuidad infinita en x = 3
CONTINUIDAD EN UN INTERVALO
Una función es continua
i) sobre un intervalo abierto (a, b) si es continua en todo número en el intervalo; y
ii) sobre un intervalo cerrado [a, b] si es continua en (a, b) y, además,
Lím f(x) f(a) y Límf(x) f(b) x a x b
^
Definición
En el intervalo cerrado [a, b]:
1. Una función f es continua por la derecha en a: si Límf(x) f(a) x a
2. Una función f es continua por la izquierda en b: si Límf(x) f(b) x b
Ejemplo 1: análisis de la continuidad en un punto interior del intervalo
Ejemplo 2: análisis de la continuidad en un punto extremo del intervalo
Ejemplo 1
La función 2 4 - x
f(x) es continua en (-2, 2)
pues: 4 – x
2
0 x
2 < 4 - 2 < x < 2,
y para cualquier c en (-2, 2):
f(c) 4 - c
4 - x
Lím f(x) Lím x c x c^22
lim 𝑥 → −2+
1
√4 − 𝑥^2
lim 𝑥 → 2−
1
√4 − 𝑥^2
Pero la función no es continua en [-2, 2], pues f(-2) y f(2) no están definidos
Ejemplo 2
La función
2 f(x) 4 - x es continua en [-2, 2]
pues: x
2
2 ≤ 4 - 2 ≤ x ≤ 2, y
Lím f(x) f(-2) 0 y Límf(x) f(2) 0 x 2 x 2
Y es continua también en (-2, 2).
Ejemplo 3
La función f(x) x- 2 es continua [2, ∞)
Lím f(x) Lím x- 2 c- 2 f(c) x c x c
para todo c > 2, y es continua por la
derecha en 2, puesto que
Lím f(x) Lím x- 2 f(2) 0. x 2 x 2
^
lim 𝑥 → 2−
√𝑥 − 2 = 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜
Las funciones trigonométricas inversas y = sen
x _y_ y = cos - x son continuas en el intervalo [-1, 1]
- La función exponencial natural y = e
x es continua en (- ∞, ∞), mientras que la función logaritmo
natural y= ln x es continua en (0, ∞).
