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Matemáticas Empresariales
Tema 4: Continuidad y Derivabilidad de funciones
Universidad Rey Juan Carlos Matemáticas Empresariales Tema 4: Continuidad y Derivabilidad de funciones Universidad Rey Juan Carlos Funciones de varias variables e Una función describe la relación de una magnitud con otras. e Ejemplos: = Demanda de un bien en función del precio de dicho bien: d=400- p” con 5< p Ya==> Y) =(4 ¡CA A (x,.X2....-X, )) describe una magnitud vectorial que depende de n variables - Ejemplo: F: RR? (x,.x,.13) > (y, 9») = f(x, 0,3) =(x +X,,X,X3) Matemáticas Empresariales — Tema 4 — Continuidad y derivabilidad de funciones 4 Universidad Rey Juan Carlos Derivadas de funciones reales de varias variables e Las derivadas dan información sobre el comportamiento local de una función. Nos ayudan a cuantificar la variación de una magnitud dada y estudiar la relación entre las variaciones de distintas magnitudes. e Definición: Sea f:R” >—>|R una función real de varias variables, a un vector del dominio de f y veR” una “dirección”. Se define la derivada direccional de £ en a en la dirección v como D,f (a) =f (a) tim 0 +4) 1 (a) A=>0 A s1 existe. Matemáticas Empresariales — Tema 4 — Continuidad y derivabilidad de funciones Universidad Rey Juan Carlos tin 20428) /6) tim dé +H(x, + 4ax, +1-(x+x,x, +1) 150 Y da ett) 40 A A =limfB = Xx. 0 A Análogamente La.) =x. 3 e Observación: Las derivadas parciales se calculan “considerando que el resto de variables son constantes” Matemáticas Empresariales — Tema 4 — Continuidad y derivabilidad de funciones Universidad Rey Juan Carlos e Definición: La matriz fila formada por las n derivadas parciales de una función f:R" >R en un punto a se denomina gradiente de f en a, y se denota por m0 Lo La) Lo) +. Ejemplo: f(x,,x,.x,)=2x, —5x,x, + 2x,0,x, —3x, + 4x, —5x, 2 5 X,,X,) =4x, + 2x,x, -3 a) . Eb, 20,35) 50 4235 +4 0 . LE ts7 1) Sn, 42390, =5 Matemáticas Empresariales — Tema 4 — Continuidad y derivabilidad de funciones 8 Universidad Rey Juan Carlos e Ejemplos: " 1) De”) > 0 1-10 JA, > Xz> x,) = Y Y > JO, L 0) = 0 0 1 : fGy)=Gy May) 2 F, ó 2 ARy=xy => La, y) 27 Dix y)=x x Oy Ó O, A) ==> E (yl L q y) lx x Oy > Matemáticas Empresariales — Tema 4 — Continuidad y derivabilidad de funciones 10 Universidad Rey Juan Carlos 2 2xy 21 eo [0 loan) 1 Xx e Observación-definición: Dada una función f:R”—=>IR, tenemos n funciones derivadas parciales primeras LL Lars Ox, Óx, Ox ” Funciones de las cuales podemos hallar sus » derivadas parciales. Son las derivadas parciales segundas de f: ef ef l Ñ ana e) Lo) Vi=l,,n Vi=L,...,n í Matemáticas Empresariales — Tema 4 — Continuidad y derivabilidad de funciones 11 Universidad Rey Juan Carlos . Ejemplo: f(x,,x,,x,)=x,(x,+x3) 0 1 2x : Elrox) 0 + " Afx.x.x)=[ 1 0.0 Xy 2x, 0 2x, . ar o) 0.1.6 ' : BfQ,A43)=11 0.0 la) » Ey 0) 21% 6.04 3 Valoración de magnitudes económicas e Definición: Sea y=f(x,,x,, .,x,) una magnitud, se define: 1 25 a > > « El valor total de y en un punto a =(a,.a,....,a, ) de su dominio es el valor de la magnitud en a=(a,.a,,....a,), es decir, f(a). Matemáticas Empresariales — Tema 4 — Continuidad y derivabilidad de funciones 13 Universidad Rey Juan Carlos « Ejemplo: Sea y =P(1,1)=3007+125f la función de producción, medida en pares de zapatos mensuales, de una empresa del sector donde / y £ son, respectivamente, las líneas de producción activas y el número de trabajadores. Entonces el valor total de la producción en el punto (3,25) es P(3,25)=300-3+125.25=4025 Interpretación: la empresa produce 4025 pares de zapatos cuando hay tres líneas activas y 25 trabajadores. Matemáticas Empresariales — Tema 4 — Continuidad y derivabilidad de funciones 14 Universidad Rey Juan Carlos » El valor marginal de y respecto de la variable x, en el punto a es la derivada parcial respecto a x, en a, y se interpreta como el incremento que produce en f(x,,...,x,) una variación infinitesimal de la variable x,, permaneciendo el resto de variables constantes. Yagg=s, (4) = Ea a) Vi= A i “ Ejemplo: En el ejemplo anterior, el valor marginal de la producción respecto de la variable £ en el punto (3,25) es Ó; Vaig, (3,25) La 25) =125 Interpretación: cuando hay 3 líneas y 25 trabajadores, la tendencia es que, aumentando un trabajador, la producción se incrementa en 125 Matemáticas Empresariales — Tema 4 — Continuidad y derivabilidad de funciones 16 Universidad Rey Juan Carlos = La elasticidad en el punto a es una medida de la variación en términos porcentuales. Consideramos ACA ASS) Tasa de variación de f(x,.....x,) FW) xX+Á=x, 4 o, > 2 Tasa de variación de x, x Xx i F La elasticidad se define como el cociente entre las tasas de variación de la función y de la variable: Fx+ 48) f(x) FA) 2 x; Matemáticas Empresariales — Tema 4 — Continuidad y derivabilidad de funciones 17 Universidad Rey Juan Carlos = Ejemplo: En el ejemplo anterior, la elasticidad puntual de la producción respecto de la variable 7 en el punto (3,25) es Vue-1 (3. 25) _ 125 _ Yar-+ (3,25) 161 0,7763 Interpretación: cuando hay 3 líneas y 25 trabajadores, la tendencia es que, aumentando un trabajador, la producción aumente el 77% de la producción de un trabajador en ese momento. Matemáticas Empresariales — Tema 4 — Continuidad y derivabilidad de funciones 19 
