DERIVADAS LATERALES DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
Puesto que la derivada de una función en un punto es un límite, podemos también considerar los
límites por la izquierda y por la derecha del punto:
Llamaremos derivada por la izquierda de la función f(x) en el punto x=a y la representaremos por
f´(a-) al límite siguiente:
ax
afxf
af ax
)()(
lim)('
Llamaremos derivada por la derecha de la función f(x) en el punto x=a y la representaremos por
f´(a+) al límite siguiente:
ax
afxf
af ax
)()(
lim)('
Una función es derivable en un punto x=a si y sólo si es derivable por la izquierda y por la derecha y
coinciden éstas derivadas laterales.
Es decir:
La función f(x) es DERIVABLE en el punto 𝒙=𝒂 si se cumple
)(')(' afaf
(y, en ese caso, el valor de la derivada f’(a) coincide con el de las derivadas laterales)
Nota: Las funciones elementales son derivables en su dominio.
Ejemplo 1: Estudia la derivabilidad de la función valor absoluto f(x)=|x|.
Recordemos que la función f(x)=|x| se puede expresar como función a trozos:
0
0
xsix
xsix
xf
En cualquier punto del intervalo
0,
, la función es derivable por ser polinómica y su derivada
vale f’(x)=1.
En cualquier punto del intervalo
,0
, la función es derivable y su derivada vale f’(x)=-1.
Estudiemos, entonces, qué ocurre en x=0 viendo si existen las derivadas laterales y si son iguales:
11lim
0
lim
0
)0()(
lim)0('
11lim
0
lim
0
)0()(
lim)0('
000
000
xxx
xxx
x
x
x
fxf
f
x
x
x
fxf
f
Existen las derivadas laterales pero no son iguales, por lo tanto, f(x) no es derivable en el punto x=0.
