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§ Límite en un punto
§ Propiedades
§ Límites laterales
§ Unicidad del límite
§ Indeterminaciones
§ Regla de l ’ Hôpital
§ Límite en el infinito
§ Cálculo de límites
§ Asíntotas de una función
§ Continuidad de una función
§ Tipos de discontinuidad § Propiedades de una función continua: Tª de Bolzano Tema 3: Continuidad de funciones
- Definición de límite : El límite de una función f(x), cuando x tiende a c , es
L si y solo si para todo ε >0 existe un δ > 0 tal que para todo número real
x perteneciente al dominio de la función se tiene,
- Ejemplo: Calculad hacia dónde tiende la siguiente función (su límite) dando valores próximos a cero. (Solución: a 0.5)
0 < x − c < δ ⇒ f ( x )− L < ε
Concepto de límite en un punto
h
h
h
lim
0
→
- Propiedades de los límites. Si k es un escalar (número) Propiedades
- De manera similar, x puede aproximarse a c tomando valores más grandes que éste (por la derecha):
- Análogamente, x puede aproximarse a c tomando valores más pequeños que éste (por la izquierda):
- Si los dos límites anteriores son iguales, es decir, entonces L es el límite de f(x) en c. Si éstos no son iguales a L entonces el límite de f(x) en c no existe.
- Teorema : Si el límite de una función existe, entonces éste es único. Límites laterales
- Otro caso de no existencia de límite en un punto es cuando la función en dicho punto tiende a infinito. Ejemplo :
x a
f (x )
1 La recta x=a se llama
asíntota vertical de la función f(x) Unicidad del límite
- Una indeterminación se da cuando, a priori, no es posible conocer el límite de una función ¡pero no significa que éste no exista!
- Ejemplos de indeterminación 0/0: Indeterminaciones
- Por ejemplo, calcula el límite de la siguiente función utilizando la regla de l’Hôpital ( recordad que la derivada de ln x=1/x y la derivada de x=1 ). Solución: primero es necesario verificar el tipo de indeterminación ya que la regla de l’Hôpital sólo aplica a las indeterminaciones “0/0” ó “±∞/±∞”. En este ejemplo, cuando x tiende a 1 la función vale “0/0”. Aplicando Hôpital, se tiene que el límite de la función cuando x tiende a 1 vale 1.
- En el tema 5 se ampliará la resolución del resto de indeterminaciones...
ln
lim
→ 1 x −
x
x Regla de l ’ Hôpital
lim
ln
lim
1 1
→^ −^ →
x
x
x
x x
- Hasta ahora, hemos estudiado el límite en un punto (“límite de f(x) cuando x tiende a c ”)...pero ¿qué le sucede a la función f(x) cuando x tiende a ±∞?
- Decimos que f(x) tiene límite A cuando x tiende a infinito si f(x) está arbitrariamente próximo a A cuando x es suficientemente grande.
- Análogamente, se dice que f(x) tiene límite B cuando x tiende a –infinito si se f(x) está tan próximo a B como se quiera haciendo x “muy muy negativo”.
f x A
x
→ ∞
lim ( )
f x B
x
→ −∞
lim ( )
Límite en el infinito
- A continuación, se explican los “casos” más habituales para el cálculo de límites...pero se aprende practicando ( Learning-by-doing ).
- Límites en el infinito, recordatorio de algunas reglas:
- El límite de cualquier polinomio cuando x → +∞ siempre es +∞ ó -∞ dependiendo del coeficiente de mayor grado del polinomio. Ejemplos: Propuesta de ejercicio: ¿cuál es el límite de f(x) = –x 2 +5x+4 cuando x tiende a +∞? Cálculo de límites
- (cont.) Límites en el infinito
- Indeterminación “∞/∞”: Si tenemos un cociente de polinomios tendremos una indeterminación de este tipo cuando x→ +∞.
- Ejemplo: Cálculo de límites
- (cont.) Límites en el infinito
- Solución:
- Ejercicio: Hallar el límite de la siguiente función ( solución: 1/3 ). 3 3 1 3 1 lim x x x x x (^) + + − + + → −∞ Cálculo de límites
- (cont.) Límites en el infinito
- Indeterminación “∞-∞”: Cuando aparece esta indeterminación, si se tiene una diferencia de fracciones, se resuelve la diferencia para obtener un cociente de polinomios y aplicar las reglas anteriores.
- Ejemplo: Solución: ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −
−
− + → +∞^1 3 1 1 lim 2 2 x x x x x x x Cálculo de límites
- (cont.) Límites en el infinito
- (Cont.) Indeterminación “∞-∞”: Solución ejercicio: Cálculo de límites
- Límites en un punto “ finito ”: simplemente hemos de sustituir el punto en cuestión en la función. El “problema” aparece cuando en un cociente de polinomios el denominador se haga cero al sustituir el punto... - k /0 ( k ≠ 0): En este caso el límite es siempre ∞, pero para determinar su signo se calculan los límites laterales. Cálculo de límites
