¡Descarga Problemes continuitat 1er quatri y más Ejercicios en PDF de Cálculo solo en Docsity!
1. Continu¨ıtat
- Funcions elementals. Analitzeu el domini i la gr`afica de les seg¨uents funcions:
(a) Funcions potencials f (x) = xa^ , a ∈ Q. (b) Funci´o exponencial f (x) = ex^. (c) Funci´o logaritme f (x) = ln x. (d) Funcions circulars, sin x, cos x, tg x, i cosec x, sec x, cotg x. (e) Funcions circulars inverses, arcsin x, arccos x, arctg x. (f) Funcions hiperb`oliques, sinh x, cosh x i tanh x.
- Valors absoluts. Determineu els x ∈ R definits per les expressions seg¨uents:
(a) 3 − | 2 x − |x − 1 || ≥ 0 (b) || 2 x + 1| − (3x + 3)| > 0
(c) |x| = −x (d) |x^2 − 1 | <
- Dominis de funcions. Trobeu el domini de les funcions seg¨uents:
(a) f (x) = ln(sin x) (b) f (x) = x^2 − 1 x^2 + 1
(c) f (x) =
√ x − 1 x + 1
√ 2 − x √ 2 + x
(d) f (x) =
√ |x + 2| − |x + 1|
(e) f (x) = ln(3 − | 2 x − |x − 1 ||) (f) f (x) =
cos 5x
(g) f (x) =
−x +
√^1
2 + x
(h) f (x) = arcsin x 1 + x
- Considerem les funcions f (x) =
x + 1 x − 1 , g(x) =
x − 3 x + 5 Determineu les funcions inverses, f −^1 (x), g−^1 (x), les composicions (g ◦ f )(x), (g−^1 ◦ f )(x) i els dominis corresponents.
- Dibuixeu la gr`afica de f (x) i identifiqueu els valors de c per als quals existeix el l´ımit l´ xım→c f (x), en els casos seg¨uents
(a) f (x) =
x, x < 1 3 , x = 1 2 − x^2 , 1 < x ≤ 4 x − 3 , x > 4.
(b) f (x) =
2 cos x, x < 0 2 + sin x, 0 ≤ x ≤ π cos x, x > π
- En els exercicis seg¨uents utilitzeu la definici´o ε − δ de l´ımit per demostrar que el l´ımit ´es el donat.
(a) l´ım x→ 4
x = 2 (b) l´ım x→− 5 |x − 5 | = 10 (c) l´ım x→− 3 (x^2 + 3x) = 0
- Utilitzeu la definici´o − δ per provar que l’afirmaci´o
l´ım x→ 2 x^2 = 4. 001
´es falsa.
- Tenim una rosca, la circumfer`encia interna de la qual ´es de 6 cm.
(a) Quin ´es el radi de la rosca?
(b) Si la circumfer`encia interna de la rosca pot variar entre 5.5 i 6.5 cm, quan pot variar el seu radi? (c) Utilitzeu la definici´o ε − δ de l´ımit per descriure aquesta situaci´o. Identifiqueu ε i δ.
- C`alcul de l´ımits. Calculeu, cas d’existir, els l´ımits seg¨uents.
(a) l´ım x→ 0
x |x|
(b) l´ım x→ 0
x x^2 − x
(c) l´ım x→ 4
x + 5 − 3 x − 4
(d) l´ım ∆x→ 0
(x + ∆x)^3 − x^3 ∆x (e) l´ım x→ 0 sin
x (f) l´ım x→ 0
sin^2 x x
(g) l´ım x→ 0
tg 2 x x (h) l´ım x→ 0
3(1 − cos x) x (i) l´ım x→π/ 4
1 − tg x sin x − cos x
(j) l´ım x→ 0
sin 2x sin 3x (k) l´ım x→ 0 x cos x (l) l´ım x→ 0 x sin
x
(m) l´ım x→ 0 (sin x)E(x) (n) l´ım x→ 0
cos x − 1
sin^2 x
) (o) l´ım x→π/ 4
sin x − cos x 1 − tg x
(p) l´ım x→ 0
1 + e^1 /x 2 + e^1 /x^
(q) l´ım x→ 0
( 2 − x 2 + x
)cosec x (r) l´ım x→ 0 (1 + 3tg 2 x)cot (^2) x
(Obs: quan calgui podeu fer servir que l´ım x→ 0
sin x x
- Calculeu els l´ımits seg¨uents, si existeixen:
(a) l´ım x→ 0
2 x − sin x √ 1 − cos x
(b) l´ım x→ 0
3 + 2^1 /x
(c) l´ım x→ 0
1 + 2^1 /x 3 + 2^1 /x^
(d) l´ım x→ 2
7 + x − 3 x^2 − 4
(e) l´ım x→ 0
|x + 1| − |x − 1 | x (f) l´ım x→ 3
x^2 − 2 x − 3 √ (^3) x (^2) − 3 x
- En els casos seg¨uents utilitzeu el teorema de Bolzano per estimar el zero amb una precisi´o de d’una xifra decimal en l’interval [0, 1].
(a) f (x) = x^3 + x − 1 (b) g(t) = 2 cos t − 3 t (c) h(θ) = 1 + θ − 3 tan θ
(d) i(x) = 7x^5 + 3x − 1
Sigui f : [0, 1] −→ [0, 1] una funci´o cont´ınua. Proveu que existeixen c, d ∈ [0, 1] tals que f (c) = c i f (d) = 1 − d.
Siguin f, g : [a, b] −→ R dues funcions cont´ınues tals que f (a) < g(a) i f (b) > g(b). Proveu que existeix c ∈ [a, b] tal que f (c) = g(c).
Proveu que les equacions seg¨uents tenen al menys una arrel real:
(a) x − sin x − 1 = 0,
(b) x^1313 +
13 + x^2 + sin^2 x
(c) x^180 +
2 + x^2 + sin^2 x
- En els casos seg¨uents trobeu les as´ımptotes verticals (si n’hi ha) de la funci´o
(a) f (x) = x^2 x^2 − 4
(b) g(t) = t − 1 t^2 + 1
(c) h(t) = t^2 − 2 t t^4 − 16
(d) f (x) = sec πx (e) g(θ) = tan θ θ
- En els casos seg¨uents determineu si la funci´o t´e una as´ımptota vertical o una discontinu¨ıtat en x = −1. Si ´es el cas, de quin tipus ´es la discontinu¨ıtat
(a) f (x) =
x^2 − 1 x + 1 (b) f (x) =
sin(x + 1) x + 1
Sigui f : R −→ R una funci´o definida per a tot x ∈ R, tal que f (x)^2 ≤ x^2. Proveu que f (x) ´es cont´ınua en el zero.
D´ej`a vu. Un dissabte a les 8:00 del mat´ı, un home comen¸ca a pujar corrent el vessant d’una muntanya cap al campament de cap de setmana. El diumenge a les 8:00 del mat´ı baixa corrent la muntanya. Triga 20 minuts en pujar i nom´es 10 en baixar. En un cert punt del cam´ı de baixada, l’home s’adona que va passar pel mateix punt a la mateixa hora el dia anterior. Demostreu que l’home no va errat. (Suggeriment: Considereu que s(t) i r(t) s´on les funcions de posici´o de pujada i baixada, i apliqueu el teorema del valor mig a la funci´o f (t) = s(t) − r(t).)
Volum. Utilitzeu el teorema del valor intermedi per demostrar que entre totes les esferes, els radis de les quals pertanyen a l’interval [5, 8], n’hi ha una de volum de 1500 cc.
- Funci´o signe. La funci´o signe es defineix com sgn(x) =
− 1 , x < 0 0 , x = 0 1 , x > 0
. Constru¨ıu la gr`afica
de sgn(x) i calculeu els l´ımits seg¨uents (en cas que sigui possible)
(a) l´ım x→ 0 −^
sgn(x) (b) l´ım x→ 0 +^
sgn(x) (c) l´ım x→ 0 sgn(x)
- Funci´o pols. La funci´o
H(x) =
{ 1 , x ≥ 0 , 0 , x < 0 , s’anomena funci´o de Heaviside. Donats 0 < a < b es defineix la funci´o pols segons
Pab(x) = H(x − a) − H(x − b).
(a) Dibuixeu la gr`afica de la funci´o pols i analitzeu la seva continu¨ıtat.
(b) Definim la funci´o pols unitari segons Uab(x) =
b − a
Pab(x). Descriviu el l´ımit de Uab(x) quan b tendeix a a.
- Ritme o velocitat de canvi. Un cotxe de policia est
a estacionat a 50m d’un gran magatzem La llum giratoria de la part superior de l’autom`obil gira a un ritme o velocitat de 1/2 revolu- ci´o per segon. El ritme o velocitat al qual es despla¸ca el feix de llum al llarg de la paret ´es r = 50π sec^2 θm/s.
(a) Calculeu el ritme o velocitat r quan θ ´es π/6. (b) ´Idem quan θ ´es π/3. (c) Trobeu el l´ımit de r quan θ → (π/2)−^.
- El·laboraci´o de models. Un nedador creua una piscina d’amplada b nedant en l´ınia recta des del punt (0, 0) fins el punt (2b, b).
(a) Sigui f una funci´o definida com la coordenada y del punt sobre el costat m´es llarg de la piscina que es troba m´es a prop del nedador en qualsevol moment del seu trajecte. Trobeu la funci´o f i constru¨ıu la seva grafica. Es tracta d’una funci´o cont´ınua? Raoneu la resposta. (b) Sigui g la distancia m´ınima entre el nedador i el costat m´es llarg de la piscina. Trobeu la funci´o g i constru¨ıu la gr`afica. Es tracta d’una funci´o cont´ınua? Raoneu la resposta.
Tarifes telefoniques. Una trucada de llarga distancia entre dues ciutats costa 0.40 euros pels primers 10 minuts i 0.05 per cada minut o fracci´o addicional. Utilitzeu la funci´o part entera per expressar el cost C de la trucada en funci´o del temps t (en minuts). Dibuixeu la gr`afica de la funci´o resultant i analitzeu la seva continu¨ıtat.
Diode semiconductor. L’equaci´o de la caracter´ıstica directa d’un diode semiconductor ´es
I = 10(e^0.^03 V^ − 1),
on I ´es la intensitat (en μA) i V la tensi´o (em mV ).
(a) Si es vol controlar la intensitat amb un error de ± 1 μA, quina precisi´o es necessita en la tensi´o quan es treballa en el punt de tensi´o 0?
