¡Descarga Óptimos locales y globales de f(x,y) = −x² + 4y − 4 − y²: análisis y curvas de nivel y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Soluciones - Modelo A
Ejercicio 1: Dada la función f (x, y) = −x^2 + 4 y − 4 − y^2 a) Analiza si es cóncava o convexa El gradiente es igual a: ∇ f (x, y) = (− 2 x ; 4 − 2 y) La matriz Hessiana es igual a:
H f (x, y) =
[
]
La matriz Hessiana H f (x, y) es definida negativa, por tanto la función es estrictamente cóncava.
b) Estudia si tiene óptimos locales. En caso de existir, calcularlos e indicar si son o no globales
∇ f (x, y) = 0 ∂ f (x, y) ∂ x
= − 2 x = 0 −→ x∗^ = 0
∂ f (x, y) ∂ y
= − 4 − 2 y = 0 −→ y∗^ = 2
Por tanto, el único punto crítico es ( 0 , 2 ). La matriz Hessiana es definida negativa, luego ( 0 , 2 ) es máximo local. Como que la función es estrictamente cóncava, el máximo es global, con valor
f ( 0 , 2 ) = − 02 + 4 · 2 − 4 − 22 = 0
c) Dibuja un mapa de curvas de nivel de la función sabiendo que
f (x, y) = −x^2 + 4 y − 4 − y^2 = −x^2 − (y − 2 )^2
Curvas de nivel:
C = 0 → −x^2 − (y − 2 )^2 = 0 → (x, y) = ( 0 , 2 )
La curva de nivel es el punto (0,2)
C = − 1 → −x^2 − (y − 2 )^2 = − 1 → x^2 + (y − 2 )^2 = 1
La curva de nivel es una circunferencia de centro (x, y) = ( 0 , 2 ) y radio r = 1
C = − 2 → −x^2 − (y − 2 )^2 = − 2 → x^2 + (y − 2 )^2 = 2
La curva de nivel es una circunferencia de centro (x, y) = ( 0 , 2 ) y radio r =
C = − 4 → −x^2 − (y − 2 )^2 = − 4 → x^2 + (y − 2 )^2 = 4
La curva de nivel es una circunferencia de centro (x, y) = ( 0 , 2 ) y radio r = 2
Gráficamente:
C = 0
C = − 1
C = − 2
C = − 4
x
y
d) ¿En qué curva de nivel está el punto (− 1 , 3 )? Calcula la ecuación de la recta tangente a esa curva en el punto (− 1 , 3 )
f (− 1 , 3 ) = −(− 1 )^2 − ( 3 − 2 )^2 = − 2
f (− 1 , 3 ) está en la curva de nivel −2.
Las derivadas respecto de x e y evaluadas en el punto (− 1 , 3 ) son
∂ f (x, y) ∂ x
(− 1 , 3 )
= − 2 xc(− 1 , 3 ) = 2
∂ f (x, y) ∂ y
(− 1 , 3 )
= 4 − 2 yc(− 1 , 3 ) = − 2
Aplicando el Teorema de la función Implícita obtenemos la pendiente de la recta tangente a la curva de nivel que pasa por el punto (− 1 , 3 ):
m = −
∂ f (x,y) ∂ x
(− 1 , 3 ) ∂ f (x,y) ∂ y
(− 1 , 3 )
= −
Luego aplicamos la fórmula de la derivada direccional:
D f (a, v∗) = ∇ f (− 1 , 3 ) · v∗
= ( 2 , − 2 ) ·
La derivada direccional en el punto (− 1 , 3 ) y en la dirección ( 3 , 4 ) es negativa. Por tanto, la función decrece en dicha dirección.
h) Dibuja el conjunto S =
(x, y)|y ≥ x^2 + 4
. Analiza si es un conjunto abierto, cerrado, aco- tado, compacto o convexo.
y ≥ x^2 + 4
x
y
El conjunto S es cerrado, no acotado, no compacto y convexo.
i) Enuncia el Teorema de Weierstrass y estudia si puede aplicarse a la función en el conjunto del apartado anterior
Toda función f (x) = f (x 1 , x 2 ,... , xn) continua definida en un conjunto compacto (cerrado y acotado) alcanza máximo y mínimo globales.
El teorema no es aplicable al conjunto S porque no es compacto (por no ser acotado).
j) Estudia gráficamente los óptimos globales de f (x, y) = −x^2 −(y− 2 )^2 en S =
(x, y)|y ≥ x^2 + 4
y ≥ x^2 + 4
C = − 4
x
y
El máximo se alcanza en el punto ( 0 , 4 ), lo que esta en la curva de nivel C = −4, y es global. No existe mínimo global de la función f (x, y) en S.
k) Resuelve analíticamente el siguiente problema diciendo en qué punto o puntos se alcanzan valores óptimos y calculando dichos valores óptimos
Optimizar f (x, y) = −x^2 − (y − 2 )^2 s.a. y − x^2 = 4
La lagrangiana del problema es
L (x, y; λ ) = −x^2 − (y − 2 )^2 + λ ( 4 + x^2 − y)
Condiciones del primer orden
∂ L (x, y; λ ) ∂ x
= − 2 x + 2 λ x = 0 → x(λ − 1 ) = 0 (1)
∂ L (x, y; λ ) ∂ y
= − 2 (y − 2 ) − λ = 0 → λ = − 2 (y − 2 ) = 4 − 2 y (2)
∂ L (x, y; λ ) ∂ λ
= 4 + x^2 − y = 0 (3)
con alto contenido de azúcar debe ser al menos tres veces mayor a la del refresco bajo en calorías.
a) Plantea el problema que debe resolver la firma para mantenerse en el mercado y que le cueste lo menos posible.
Asumiendo que x representa el refresco bajo en calorías e y el refresco con alto contenido de azúcar:
Minimizar f (x, y) = 3 x + 2 y s.a. x + y ≥ 1200 y ≥ 3 x x ≥ 0 ; y ≥ 0
b) Resuelve el problema gráficamente utilizando curvas de nivel
y
x
c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 ...
Sol = ( 0 , 1200 )
Por tanto la solucíon del problema se encuentra en (x∗, y∗) = ( 0 , 1200 ) y el mínimo coste será de 2400$ 1
c) Expresa el problema planteado en forma estándar
Maximizar − f (x, y) = − 3 x − 2 y s.a. −x − y ≤ − 1200 3 x − y ≤ 0 x ≥ 0 ; y ≥ 0 (^1) Si hubiesemos supuesto que x era el refresco con alto contenido de azúcar e y el refresco bajo en calorías, la función a minimizar sería f (x, y) = 2 x + 3 y y la primer restricción pasaría a ser x ≥ 3 y. Esto implica “rotar” el gráfico y la solución estaría en ( 1200 , 0 )
d) Escribe las condiciones de Kuhn-Tucker del problema planteado La lagrangiana del problema es
L (x, y; λ ) = − 3 x − 2 y + λ (− 1200 + x + y) + μ(− 3 x + y)
Condiciones de Kuhn Tucker
∂ L (x, y; λ ) ∂ x
= − 3 + λ − 3 μ ≤ 0 (4) ∂ L (x, y; λ ) ∂ y
= − 2 + λ + μ ≤ 0 (5)
∂ L (x, y; λ ) ∂ λ
= − 1200 + x + y ≥ 0 (6) ∂ L (x, y; μ) ∂ μ
= − 3 x + y ≥ 0 (7)
x
∂ L (x, y; λ ) ∂ x
y
∂ L (x, y; λ ) ∂ y
λ
∂ L (x, y; λ ) ∂ λ
μ
∂ L (x, y; μ) ∂ μ
x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; λ ≥ 0 ; μ ≥ 0 (12)
e) Analiza si alguno de los siguientes puntos verifica las condiciones de Kuhn-Tucker: (1200,0), (300,900), (0,1200)
El punto ( 1200 , 0 ) no cumple la condición ( 7 ). El punto ( 300 , 900 ) implica (dadas las condiciones ( 8 ) y ( 9 )) que las condiciones ( 4 ) y ( 5 ) se cumplen con igualdad. En ese caso de ( 4 ) obtenemos λ = 3 + 3 μ y de ( 5 ) concluimos que λ = 2 − μ. Por tanto, μ = −^14 lo que es una contradicción con la condición ( 12 ).
El punto ( 0 , 1200 ) implica (dada la condición ( 9 )) que la condición ( 5 ) se cumple con igualdad. Por tanto, μ = 2 − λ. Asimismo, la condición ( 7 ) se cumple con desigualdad es- tricta, lo que implica que μ = 0 dada la condición ( 11 ). Por tanto, λ = 2, y la condición ( 4 ) se cumple con desigualdad estricta. Las condiciones ( 6 ), ( 8 ), ( 10 ) y ( 12 ) se cumplen para (x∗, y∗, λ ∗, μ∗) = ( 0 , 1200 , 2 , 0 ). Por tanto, la solución que habíamos encontrado gráficamente cumple las condiciones de Kuhn Tucker. f) Si alguno de los puntos anteriores cumple las condiciones de Kuhn-Tucker, calcula los valores de los multiplicadores correspondientes y explica si podemos asegurar o no que dicho punto es una solución del problema.
Del punto anterior sabemos que (x∗, y∗, λ ∗, μ∗) = ( 0 , 1200 , 2 , 0 ) es una posible solución del problema. Dado que la función objetivo es cónvava (es una función lineal) y las restricciones conforman un conjunto convexo (intersección de restricciones de desigualdad lineales) nos en- contramos ante un programa cóncavo. Podemos asegurar, por tanto, que el punto encontrado es solución del problema.
