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TOPOGRAFÍA DE ALTA PRECISIÓN Y CONTROL DE DEFORMACIONES.
ASIGNATURA: TOPOGRAFÍA DE ALTA PRECISIÓN Y CONTROL DE
DEFORMACIONES.
PROFESOR: DAVID HERNÁNDEZ LÓPEZ.
2ª PARTE: ANÁLISIS DE DEFORMACIONES POR MÉTODOS
GEODÉSICOS.
CONTENIDO:
1. INTRODUCCIÓN.
2. DISEÑO DE LA RED DE CONTROL.
3. ANÁLISIS DE DOS ÉPOCAS.
4. ANÁLISIS MULTIÉPOCAS.
5. EJEMPLOS DE APLICACIÓN PRÁCTICA DE ANÁLISIS DE DOS ÉPOCAS.
TOPOGRAFÍA DE ALTA PRECISIÓN Y CONTROL DE DEFORMACIONES.
1. INTRODUCCIÓN.
- La teoría del análisis de deformaciones es popular desde la década de los
ochenta.
- Las primeras actuaciones se remontan a los años veinte.
- Principales causas de su desarrollo e implantación:
i. La realidad de su necesidad es cada día más evidente.
ii. El avance tecnológico lo posibilita:
1. Desarrollo de instrumental de altas prestaciones.
2. Equipos informáticos muy potentes.
- Su reciente actualidad motiva que todavía se encuentren en desarrollo modelos
teóricos que han de intervenir en diferentes fases.
i. Control de movimientos/deformaciones de obras de ingeniería.
ii. Estudios de deslizamientos de pendientes.
iii. Movimientos corticales.
iv. Evolución de glaciares.
v. Fenómenos de subsidencia.
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- En el control de obras de ingeniería por métodos geodésicos podremos
considerar una red de control que incluya a sus puntos agrupados en dos
conjuntos:
i. Bloque de referencia. Definirá, junto a los observables el marco de
referencia. Estará integrado por vértices de posición estable en el tiempo.
Normalmente se localizarán fuera de la estructura a analizar.
ii. Bloque objeto. Conjunto de puntos a partir de cuya modificación espacial
en el tiempo se obtendrán los resultados de variación geométrica a
contrastar con los modelos teóricos, si los hubiera. Su crítica localización
es función del modelo de predicción de variación geométrica.
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- En el control de superficies de terreno únicamente se puede hablar en principio
de bloque objeto. Caso del estudio geológico de una zona de terreno separada
por una falla que dividiría la red de control en dos subredes, pudiendo
determinarse únicamente desplazamientos relativos entre los dos bloques. El
desplazamiento relativo pasará por considerar uno de ellos fijo de acuerdo a
ciertas hipótesis.
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- Los resultados obtenidos en el primer análisis de dos épocas pueden ser
determinantes para introducir modificaciones en el programa del proceso de
análisis. Esto sucederá fundamentalmente cuando las deformaciones obtenidas
excedan en mucho a las previstas o cuando, por el hecho de no disponer de un
modelo de predicción, se concluya que las hipótesis base para el proyecto de
análisis eran incorrectas.
Estas modificaciones se pueden referir, principalmente a:
i. Modificación de la localización de los vértices que configuran la Red de
Control, siendo dos causas las principales:
1. Inestabilidad de una parte importante del bloque de referencia que
obligue a incluir nuevos vértices en este conjunto o a modificiar la
monumentación de los existentes.
2. La localización singular de los puntos del bloque objeto no es
suficiente o correcta para el análisis de la tendencia de
movimientos en la estructura. Puede ser que ciertas zonas sufran
movimientos cuyo modelo funcional precise de más puntos o de
localizaciones distintas a las diseñadas en principio.
ii. Modificación del diseño de la campaña de observación. Normalmente
vendrá motivada por la alteración de la configuración de la Red de
Control. También se puede deber a la detección de observaciones
prescindibles o, por el contrario, de la conveniencia de nuevas
observaciones no diseñadas en principio, motivadas por movimientos
previstos que no se producen, o por movimientos producidos y no
previstos, respectivamente.
iii. Modificación del intervalo de tiempo transcurrido entre épocas de
observación, debido a que no se cumplen los criterios, ya comentado, con
que fue fijado en principio.
- Todos los resultados se obtendrán a partir del modelo Gauss-Markov
convencional.
- La definición del sistema de referencia es un grave problema debido a que es
función de la configuración de la red y de los observables, y se verá afectado de
los resultados obtenidos a lo largo de todo el análisis.
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2. DISEÑO DE REDES DE CONTROL DE DEFORMACIONES.
2.1. OBJETIVOS Y VARIABLES.
- Se entiende por diseño de una Red de Control de Deformaciones no solo el
diseño de la localización de los vértices que definen su configuración, sino
también el diseño de la campaña de observación: observables a medir,
instrumental y metodología a emplear.
- Los objetivos de la optimización de una Red de Control de Deformaciones son:
i. Alcanzar una precisión global predeterminada.
ii. Establecer un modelo matemático testeable y real.
iii. Dar sensibilidad suficiente en ciertas funciones conocidas a priori de los
parámetros.
iv. Diseñar una configuración y una campaña de observación viable bajo
consideraciones prácticas y económicas.
- La consecución de una precisión global predeterminada estará condicionada de
forma directa con la precisión de los observables, la configuración de la red, el
diseño de la campaña de observación y la definición del sistema de referencia.
En ningún caso se deberá optar por sistemas de referencia definidos a partir de
ciertos constreñimientos que implique pérdida de precisión de los observables.
Muy relacionado con el problema del datum se encuentra la pretensión de que
las funciones de los parámetros a analizar sean invariantes.
- El segundo objetivo no es otro que la búsqueda de la fiabilidad del modelo.
- El tercer objetivo es fundamental en control de deformaciones dado que una
deformación prevista se puede expresar como una función de los parámetros del
modelo. Será crítico que la Red pueda dar respuesta a una deformación de cierta
magnitud prevista pues este es el objetivo básico de todo el análisis.
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- El proceso de diseño según el método de simulación es iterativo e incluye los
siguientes pasos secuenciales:
i. Selección de la ubicación de los vértices con estimación de tipo y coste de
monumentación y sistema de centrado.
ii. Especificar todas las observaciones posibles.
iii. Selección del instrumental y metodología de observación.
iv. Para cada uno de los observables estimar la precisión y coste.
v. Formular el GMM y calcular: medidas de la precisión, fiabilidad y
sensibilidad ( funciones objetivo – datum ).
vi. Calcular la influencia de cada observable en las tres medidas del punto v
y en el coste. Ordenar las observaciones a partir de criterios de ordenación
establecidos previamente.
vii. Comparar los resultados del paso v con las exigencias de partida y buscar
la solución de mínimo coste cumpliendo los criterios de precisión,
fiabilidad y sensibilidad. Esto se consigue realizando:
1. Eliminar algún observable o relajar su método de medida.
2. Contemplar un cambio de instrumentación.
viii. Tras obtener un resultado satisfactorio se puede iterar a partir de otra
localización de los vértices.
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3. ANÁLISIS DE DOS ÉPOCAS.
3.1. INTRODUCCIÓN.
- El análisis simultáneo de dos épocas sucesivas de observación es de
fundamental importancia al ser la fuente más directa de análisis del movimiento
producido en el intervalo de tiempo limitado por los instantes correspondientes a
cada una de las mismas.
- Normalmente se realiza entre cada dos campañas sucesivas aunque también se
puede realizar cada cierto número de campañas.
- Los principales objetivos de este análisis son:
i. Confirmar la estabilidad de los puntos del bloque de referencia y detectar
movimientos singulares, individuales, de puntos que se considerarán
como independientes del tiempo no conformando parte del modelo de
deformación continua.
ii. Contrastar un modelo de movimientos a partir de los vectores de
deformación, o formular uno en caso de no disponer de uno previsto.
iii. Detectar deformaciones críticas imprevistas de graves consecuencias.
b. Este tipo de análisis suele ser suficiente en muchas aplicaciones.
ESQUEMA DE PRIMER Y SEGUNDO PASO DE LA METODOLOGÍA DE
ANÁLISIS DE DEFORMACIONES BASADO EN MÉTODOS GEODÉSICOS.
DISEÑO DE LA
RED DE
CONTROL.
MODELO
GAUSS-MARKOV.
AJUSTE MÍNIMOS CUADRADOS.
PRECISIÓN.
FIABILIDAD.
SENSIBILIDAD.
VIABILIDAD, COSTO.
DISEÑO DE LA CAMPAÑA DE OBSERVACIÓN.
OBSERVABLES.
MODELO
GAUSS–MARKOV.
AJUSTE
MÍNIMOS
CUADRADOS
TEST GLOBAL DEL MODELO.
DETECCIÓN DE ERRORES GROSEROS.
CONJUNTO DE TEST ESTADÍSTICOS.
PRECISIÓN.
COSTE.
ÉPOCA 1 ÉPOCA 2 ÉPOCA 3
DISEÑO Y VERIFICACIÓN DEL MODELO GAUSS – MARKOV ( GMM )
TEORÍA BASADA
EN LA
EXPERIENCIA.
MUNDO REAL
EXPERIMENTOS
DE MEDIDA:
OBSERVABLES.
MODELO MATEMÁTICO GAUSS – MARKOV.
MODELO FUNCIONAL.
E ( t ) = Ax
MODELO ESTOCÁSTICO.
E^ (^ )^ Q
T 2
CÁLCULO / ESTIMACIÓN - MÍNIMOS CUADRADOS.
PARÁMETROS FUNCIONALES:
x ˆ , f^ ( ) x ˆ
PARÁMETROS ESTOCÁSTICOS.
so Qx ˆ Qf ( x ˆ)
2
TESTS ESTADÍSTICOS:
¿ TEORÍA ⇔ REALIDAD?
RECHAZO.
ACEPTACIÓN.
PROBLEMA DEL DATUM. S-TRANSFORMACIONES.
ELECCIÓN DE SOLUCIÓN EN BASE A OPTIMIZAR PRECISIÓN EN UN
CONJUNTO DE INCÓGNITAS.
LA SOLUCIÓN QUE OPTIMIZA LA PRECISIÓN EN UN CONJUNTO DE INCÓGNITAS ES
AQUELLA QUE MINIMIZA LA TRAZA PARCIAL DE LA MATRIZ COFACTOR DE LAS
INCÓGNITAS CORRESPONDIENTE: trp ( Q (^) x ˆ x ˆ) =min
2ª SOLUCIÓN: Solución minimizando en más de dos puntos de la red la traza parcial de Qxx, maximizando la precisión en esos puntos. Se consigue con la elección de:
R BS , AS 0 , B Ik
Con I (^) k la matriz identidad de tamaño igual al doble del número de puntos y localizada en la posición correspondiente a las incógnitas asociadas a esos puntos.
3ª SOLUCIÓN: Caso solución Red Ligada. Se consigue como caso particular del anterior cuando del número de puntos es 2. Las incógnitas asociadas a los dos puntos se anulan así como la parte afectada de la matriz cofactor de las incógnitas.
TRANSFORMACIÓN DE UNA SOLUCIÓN A OTRO DATUM.
SE BASA EN LA PROPIEDAD: NQ 11 N = N , INVARIANTE.
SEAN DOS SOLUCIONES DE LA MISMA RED EN DOS DATUM, R 1 Y R 2.
( ) ( )
1 1 1
1 1 1
1 11
− − Q = N + RRT^ N N + RRT , PERO, NQ (^) 112 N = N Y ( ) ( )
1 1 1
2 11
1 1 1
1 11
− − Q = N + RRT^ NQ N N + RRT
TENIENDO EN CUENTA LA LEY DE PROPAGACIÓN DE COFACTORES: T y = Ax →Σ yy = A Σ xxA
SE PUEDE INTERPRETAR: Q 111 (^) = K 21 Q 112 K 21 , CON K ( N RRT^ ) N
1 21 1 1
− = +
LUEGO: x K x Q AT^ Pt K Q ATPt ( N RRT ) NQ 112 ATPt
1 1 1
2 21 11
1 ˆ 1 21 ˆ 2 11 − = = = = +
PUDIÉNDOSE APLICAR DE FORMA RECURSIVA: x ˆ 3 (^) = K 23 x ˆ 2 = K 23 ( K 12 x ˆ 1 ) = K 23 K 12 x ˆ 1 = K 13 x ˆ 1
FUNCIONES INVARIANTES FRENTE AL CAMBIO DE DATUM.
E [ ] x ˆ^ ≠ x , dado que: E [ ] x ˆ^ = E [ Q 11 ATPt ] = Q 11 ATPE [ ] t = Q 11 ATPAx = Q 11 Nx ,y, en general, Q (^) 11 N ≠ I
Sin embargo, si f = Bx , con B = TA , E [ f ˆ] = E [ Bx ˆ] = E [ TA x ˆ] = TAE [ ] x ˆ = TAQ 11 Nx = TAx = Bx = f
por ser AQ (^) 11 N = A un invariante: NQ 11 N = N → AT^ PAQ 11 N = ATPA → AQ 11 N = A
Así, son ejemplos de invariantes: T vv xx
T
t ˆ^ = Ax ˆ, Qt ˆ t ˆ = AQx ˆ x ˆ A , v ˆ= Ax ˆ− t , Q ˆˆ= Q − AQ ˆˆ A
CONJUNTO DE TEST ESTADÍSTICOS A LOS QUE SE PUEDE
SOMETER EL GMM Y LOS OBSERVABLES.
TEST GLOBAL DEL MODELO.
Ho: El modelo es completo y correcto. E [ s 20 ] = σ 02
m rank ( A )
v Pv s
T
−
0 ,^ estadísto^
0
2 2 0 0
2 max 0 , s
q s^ σ
No se rechaza si q <^ F ( 1 − α), m − rank ( A ) ,∞ α es el nivel de significación, o nivel de riesgo, o probabilidad cometer error tipo I.
TEST DE BAARDA DE DETECCIÓN DE ERRORES GROSEROS.
Hipótesis de partida: Los residuos están normalmente distribuidos y σ 0 es conocido. Ho: La observación i-ésima no presenta error grosero.
Se definen los residuos tipificados: Q ( i i )
w v vv
i i ,
Bajo Ho, los residuos tipificados w (^) i una distribución N ( 0 , 1 )
Bajo la hipótesis de un error ∆i , en la observación i-ésima, wi sigue una distribución N ( 0 ,∆ wi )
Siendo: ( )
( ) i i i
vv vv
i i w w
Pii Q ii Q ii
v w = + ∆ = +∆ 0
ˆˆ 0 ˆˆ
σ^ σ
Elegidos un α (nivel de significación) y un β ( potencia de test ), de acuerdo al test, una observación es
detectada como rechazable si ( 0 , 1 )
- 5 −^12 α wi > N teniendo en cuenta que:
- hay una probabilidad (1- β) de aceptar una observación con error grosero.
- hay una probabilidad α de rechazar una observación sin error grosero. Normalmente se adoptan: α=0.001 ( con lo que la cota de detección resulta 3.29 ) y β=0.
HIPÓTESIS LINEAL GENERAL.
UTILIDAD: PLANTEAR UN TEST PARA VERIFICAR SI LOS PARÁMETROS
RESUELTOS SEGÚN GMM VERIFICAN UN CONJUNTO DE
CONDICIONES EXPRESADAS LINEALMENTE.
GMM: E^ [ t^ ]=^ Ax o t = Ax +ε
E [ ε T^ ε] =Σ= σ 02 Q
Ho: H Tx = g o E [ H Tx − g ] = 0
Si no se rechaza Ho, se tendrá que:
g ˆ (^) = HTx ˆ~ N ( g ,Σ g ˆ g ˆ), conΣ g ˆ g ˆ= HT Σ x ˆ x ˆ H
y se demuestra que,
( (^) ˆ ) (^) g ˆ g ˆ( (^) ˆ ) ~ 02 rank^2 ( H ) T q ∆ = g − g Q − g − g σ χ
y, también,
( )
( )
Frank ( H ) mrank ( A )
m rank A
q
rank H
q
T (^) −
∆
−
= ~ ,
siendo,
q = v ˆ T^ P v ˆ
Ho no se rechazará si se verifica que: T^ <^ F ( 1 − α ) , rank ( H ) , m − rank ( A ), para un α elegido.
SOLUCIÓN DEL MODELO SUJETO A LAS RESTRICCIONES.
x ˆ (^) H = x ˆ+ N H ( HTNH ) ( g − HTx ˆ) − −
( ) ( ) ( )
( ( )) ( ( )) ( ) ( )
yaqueˆ 0
∆
v A
q v Ax x Pv Ax x v Pv x x N x x q q
v Ax t Ax t Ax Ax v Ax x
q Ax t P Ax t
T
H
T H
T H
T H H
H H H H
H
T H H
( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
( g H x ) ( H N H ) ( g H x )
q x x N x x N HH NH g H x NN HH NH g H x T T T T
T T T T T H
T H ˆ ˆ
− −
− − − − ∆
( ) ( ) ( ) ( )
q ( g H x ) ( H N H ) ( g H x )
g H x Q H N H
q g g Q g g g H x q g H x Q g H x
T T T T
T g
T
T g
T T T g
T
Resultandolamismaexpresión ˆ ˆ
ycomo ˆ ˆ resultaporpropagacióndeerror
ˆ ˆ pero ˆ ˆ luego, ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ
− − ∆
−
− ∆
− ∆
