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Instituto Tecnológico de Tuxtla Gutiérrez Dept. de Ingeniería Eléctrica y Electrónica Ingeniería Electrónica
Control II Unidad 3: El método de espacio de estado Representación en espacio de estado para el modelado de sistemas físicos y comprobación representación de espacio de estado
Equipo No. 5
Parada Chejín Esteban 21270911 Pérez Gómez Josué 21270950 Solís Narcia Víctor Emilio 21270919 Montejo Hernández Griselda 21270910 López Aguilar Diego Hiram 21270908
Ingeniería Electrónica
MC: Raúl Moreno Rincon
Carr. Panamericana Km. 1080, 29050 6 de Diciembre de 2024
Índice
- Introducción...........................................................................................................................
- Marco Teórico.........................................................................................................................
- Desarrollo...............................................................................................................................
- Circuito de Primer Orden (1 variable de estado)................................................................
- Comprobación..............................................................................................................
- Circuito de Segundo Orden (2 variables de estado)..........................................................
- Comprobación............................................................................................................
- Circuito de Tercer Orden Orden (3 variables de estado)..................................................
- Comprobación............................................................................................................
- Conclusión............................................................................................................................
- Bibliografía...........................................................................................................................
Marco Teórico
La teoría de control clásico describe al sistema dinámico a través de una función de transferencia, definida con base en el conocimiento de la entrada y salida del sistema y suponiendo que el sistema está en reposo en t = 0, por lo que en consecuencia no da información del comportamiento interno del sistema. Esta teoría es aplicable únicamente a sistemas de una sola entrada y una sola salida lineales e invariantes en el tiempo. Por otro lado, la teoría de control moderno se describe a través de ecuaciones de estado las cuales contienen toda la información de la dinámica interna del sistema,y permiten incluir fácilmente las condiciones iniciales. Además, las ecuaciones de estado son ecuaciones diferenciales de 1° orden. Esta teoría puede ser aplicable a sistemas lineales o no lineales, variantes o invariantes en el tiempo y el enfoque de la misma es exclusivamente en el dominio del tiempo. Las variables de estado son el menor conjunto de variables necesario para describir completamente el comportamiento o estado del sistema dinámico. Intuitivamente, el estado de un sistema describe lo suficiente sobre el sistema como para determinar su comportamiento futuro en ausencia de fuerzas externas que lo afecten. El conjunto de posibles combinaciones de valores de las variables de estado se denomina espacio de estados del sistema. Las ecuaciones que relacionan el estado actual de un sistema con su entrada más reciente y sus estados pasados se denominan ecuaciones de estado , y las ecuaciones que expresan los valores de las variables de salida en términos de las variables de estado y las entradas se denominan ecuaciones de salida. Las ecuaciones de estado y las ecuaciones de salida para un sistema lineal invariante en el tiempo se pueden expresar utilizando matrices de coeficientes: A, B, C y D.
Desarrollo
Proceso de obtención de la función de transferencia a partir del espacio de estado
Para obtener la función de transferencia, es necesario mover las ecuaciones del sistema de espacio de estados a Laplace:
𝑑𝑥^ 𝑑 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡) 𝑦 = 𝐶𝑥(𝑡) + 𝐷𝑢(𝑡)
𝑆𝑋(𝑠) = 𝐴𝑋(𝑠) + 𝐵𝑈(𝑠) 𝑌(𝑠) = 𝐶𝑋(𝑠) + 𝐷𝑈(𝑠) Organizamos: (𝑆 − 𝐴)𝑋(𝑆) = 𝐵𝑈(𝑆) 𝑌(𝑆) = 𝐶𝑋(𝑆) + 𝐷𝑈(𝑆) Despejamos
- 𝑋(𝑆) = (𝑆 − 𝐴)−1𝐵𝑈(𝑆)
- 𝑌(𝑆) = 𝐶𝑋(𝑆) + 𝐷𝑈(𝑆) Sustituimos 1 en 2 𝑌(𝑠) = 𝐶[(𝑆 − 𝐴)−1𝐵𝑈(𝑆)] + 𝐷𝑈(𝑆) 𝑌(𝑆) = [𝐶(𝑆 − 𝐴)−1𝐵 + 𝐷]𝑉(𝑆) 𝑌(𝑆)𝑈(𝑆) = 𝐶(𝑆 − 𝐴)−1𝐵 + 𝐷
Debido a que el componente A se trata de una matriz, S debe de contar con una matriz identidad para poder ser restada. Por lo que: 𝑌(𝑆)𝑈(𝑆) = 𝐶(𝑆𝐼 − 𝐴)−1𝐵 + 𝐷
Salida: 𝑉𝐿 = 𝐶 1 𝑖𝐿 + 𝐷 1 𝑉𝑒 <− 𝑈𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑒𝑛 𝐿 −> 𝑉𝐿 = 𝐿𝑖°𝐿 —> eq.
Combinando ecuaciones 5 en 6
𝑉𝐿 = 𝐿(− (^) 𝐿(𝑅1+𝑅2)𝑅1 𝑅2 𝑖𝐿 + ( (^1) 𝐿 − (^) 𝐿(𝑅1+𝑅2)𝑅1 )𝑉𝑒) ∴ 𝑉𝐿 =− (^) 𝑅1+𝑅2𝑅1 𝑅2 𝑖𝐿 + ( (^1) 𝐿 − (^) 𝑅1+𝑅2𝑅1 )𝑉𝑒 𝐴 = [− (^) 𝐿(𝑅1+𝑅2)𝑅1 𝑅2 ] ; 𝐵 = [ (^1) 𝐿 − (^) 𝐿(𝑅1+𝑅2)𝑅1 ] ; 𝐶 = [− (^) 𝑅1+𝑅2𝑅1 𝑅2 ] ; 𝐷 = [1 − (^) 𝑅1+𝑅2𝑅1 ]
por lo que: 𝐴 = [− 500, 000] ; 𝐵 = [500] ; 𝐶 = [− 500] ; 𝐷 = [0. 5] Comprobación. Con la fórmula anteriormente obtenida, podemos hacer uso de Matlab para hacer cálculo de la función de transferencia y comprobarla con la anteriormente obtenida. Donde:
La función obtenida, 12 − (^) 𝑆+500 000250 000 se puede simplificar: 2(𝑆+500 000)^ 𝑆+ 500 000 −^ 2(𝑆+500 000)500 000 𝑆 + 500 000 − 500 0002(𝑆+500 000)
2(𝑆+500 000)𝑆 =^ 𝑆+500 0000.5𝑆
Obteniendo la misma función de transferencia al hacer uso de esta fórmula se obtiene la misma que la del inicio, por lo tanto, la variable de estado es correcta.
Para obtener 𝑉°𝐶 usar 𝐸𝑐. 4:
𝑣𝐶 = (^1) 𝐶 ∫ 𝑖𝐶𝑑𝑡 ⇒ 𝑣°𝐶 = (^1) 𝐶 𝑖𝑐 , usando𝐸𝑐. 5: 𝑣°𝐶 = (^1) 𝐶 (𝑖 (^) 𝐿 − 𝑖 2 ) −→ 𝐸𝑐. 9
Usando 𝐸𝑐. 6 𝑒𝑛 𝐸𝑐. 9:
𝑣°𝐶 = (^1) 𝐶 (𝑖 (^) 𝐿 − (^) 𝑅^12 𝑣𝐶) ⇒ 𝑣°𝐶 = (^1) 𝐶 𝑖𝐿 − (^) 𝑅^12 𝐶 𝑣𝑐 + 0𝑣𝑒
Para la salida 𝑣𝐶 despejar 𝑣𝐶 de 𝐸𝑐. 1:
𝑣𝐶 = 𝑣𝑒 − 𝑣𝑅 1 − 𝑣𝐿 , usando𝐸𝑐. 3 𝑦 𝐸𝑐. 7 ⇒ 𝑣𝐶 =− 𝑅 1 𝑖𝐿 − 𝐿 (^) 𝑑𝑡𝑑 𝑖𝐿 + 𝑣𝑒
Usando 𝐸𝑐. 8:
⇒ 𝑣𝑐 =− 𝑅 1 𝑖𝐿 − 𝐿 −( 𝑅 𝐿^1 𝑖𝐿 − (^1) 𝐿 𝑣𝐶 + (^1) 𝐿 𝑣𝑒) + 𝑣𝑒
⇒ 𝑣𝑐 =− 𝑅 1 𝑖𝐿 + 𝑅 1 𝑖𝐿 + 𝑣𝐶 − 𝑣𝑒 + 𝑣𝑒
⇒ 𝑣𝑐 = 0𝑖𝐿 + 1𝑣𝐶 + 0𝑣𝑒
Variables de estado (primero 𝑣𝐶 , luego 𝑖𝐿) :
𝑣°𝐶 = 𝑎 11 𝑣𝐶 + 𝑎 12 𝑖𝐿 + 𝑏 1 𝑣𝑒 ⇒ 𝑣°𝐶 =− (^) 𝑅^12 𝐶 𝑣𝐶 + (^1) 𝐶 𝑖𝐿 + 0𝑣𝑒
𝑖°𝐿 = 𝑎 21 𝑣𝐶 + 𝑎 22 𝑖𝐿 + 𝑏 2 𝑣𝑒 ⇒ 𝑖°𝐿 =− (^1) 𝐿 𝑣𝐶 − 𝑅 𝐿^1 𝑖𝐿 + (^1) 𝐿 𝑣𝑒
Salida: 𝑣𝐶 = 𝑐 1 𝑣𝑐 + 𝑐 2 𝑖 2 + 𝐷𝑣𝑒 ⇒ 𝑣𝐶 = 1𝑣𝐶 + 0𝑖𝐿 + 0𝑣𝑒
Variables de estado resultantes:
Sustituyendo con los siguientes valores: 𝑅 1 = 𝑅 2 = 1𝑘Ω ; 𝐿 = 1𝑚𝐻 ; 𝐶 = 1𝑢𝐹
Comprobación Para comprobar si nuestras variables de estado fueron resueltas correctamente se declaran las matrices A, B, C y D en Matlab, y se usará la siguiente fórmula: 𝐹𝑇 = 𝐶 * 𝑖𝑛𝑣(𝑠 * 𝐼 − 𝐴) * 𝐵 + 𝐷 Donde 𝑖𝑛𝑣(𝑠 * 𝐼 − 𝐴)es la matriz inversa de la operación matricial dentro del paréntesis. Cabe mencionar que 𝐼es una matriz identidad del mismo tamaño que la matriz 𝐴 , por lo tanto 𝐼 es una matriz identidad de 2x2, asimismo, en Matlab se tiene que hacer𝑠 como una variable y no una función de Laplace, por ello se usa el comando “syms s”. Una vez teniendo en cuenta todo esto se procede a realizar la comprobación en Matlab.
Despejando (^) 𝑑𝑡^ 𝑑 𝑖𝐿se tiene:
𝑖°𝐿 =− 𝑅 𝐿^1 𝑖𝐶 1 − (^1) 𝐿 𝑉𝐶 1 +− (^1) 𝐿 𝑉𝐶 2 +− (^1) 𝐿 𝑉𝐶
Utilizando la Ec.3:
𝑖°𝐿 =− 𝑅 𝐿^1 (𝑖 𝑅 2 + 𝑖𝐿) − 1 𝐿 𝑉𝐶 1 − 1 𝐿 𝑉𝐶 2 + 1 𝐿 𝑉𝑒 - - - - Ec.
Sustituimos las Ec.8 y Ec.9 en la Ec.10: 𝑉𝑒 = 𝑉𝐶 1 + 𝑅 2 𝑖𝑅 2 𝑅 1 𝑖𝐶 1
Despejando 𝑖𝑅 2 y usando la Ec.3:
∴ 𝑖𝑅 2 =− (^) 𝑅 1 +𝑅^12 𝑉𝐶 1 − (^) 𝑅 1 𝑅+𝑅^12 𝑖𝐿 + (^) 𝑅 1 +𝑅^12 𝑉𝑒 - - - - Ec.
Sustituimos la Ec.12 en la Ec.11:
𝑖°𝐿 =− 𝑅 𝐿^1 𝑖𝐿 − 𝑅 𝐿^1 (− 𝑅 1 +𝑅^12 𝑉𝐶 1 − 𝑅 1 𝑅+𝑅^12 𝑖𝐿 + 𝑅 1 +𝑅^12 𝑉𝑒) − 1 𝐿 𝑉𝐶 1 + 1 𝐿 𝑉𝑒 − 1 𝐿 𝑉𝐶 2
𝑖°𝐿 = − 𝑅 𝐿^1 + 𝑅^2
2
( 𝑅 1 +𝑅 2 )𝑖𝐿 +^ −^1 𝐿^ +^
𝑅 1
( 𝐿 𝑅( 1 +𝑅 2 ))𝑉𝐶 1 −^1 𝐿 𝑉𝐶 2 +^ −^1 𝐿 +^
𝑅 1
Para 𝑉° 𝐶 1 , utilizaremos la Ec.5:
𝑖 𝐶𝐶 11 = 𝑉° 𝐶 1 , usando la Ec.3 y Ec.12, tenemos:
⇒ 𝐶^11 ( 𝑖 𝑅 2 + 𝑖𝐿) = 𝑉°𝐶 ⇒ 𝑉°𝐶 = 𝐶^11 𝑖𝐿 + 𝐶^11 ( − 𝑅 11 +𝑅 2 𝑉𝐶 1 − 𝑅 1 𝑅+𝑅^12 𝑖𝐿 + 𝑅 1 +𝑅^12 𝑉𝑒)
⇒ 𝑉° 𝐶 1 = ( 𝐶^11 − 𝐶 1 (𝑅 𝑅 11 +𝑅 2 ) 𝑖𝐿 − 𝐶 1 (𝑅 11 +𝑅 2 ) 𝑉𝐶 1 + 0𝑉𝐶 2 + 𝐶 1 (𝑅 11 +𝑅 2 ) 𝑉𝑒)
Para 𝑉° 𝐶 2 , utilizaremos la Ec.6:
𝑖 𝐶𝐶 22 = 𝑉° 𝐶 2 , usando la Ec.2, tenemos:
⇒ (^) 𝐶^12 𝑖𝐿 = 𝑉° 𝐶 2 ⇒ 𝑉° 𝐶 2 = (^) 𝐶^12 𝑖𝐿 + 0𝑉𝐶 1 + 0𝑉𝐶 2 0𝑉𝑒
Para la salida: 𝑉𝑅 1 = 𝑉𝐶 2 + 𝑉𝐿 despejando a 𝑉𝐿, tenemos: 𝑉𝐿 = 𝑉𝑅 2 − 𝑉𝐶 2
Utilizando la Ec.9 y Ec.12:
𝑉𝐿 = 𝑅 2 (− 𝑅 1 +𝑅^12 𝑉𝐶 1 − 𝑅 1 𝑅+𝑅^12 𝑖𝐿 + 𝑅 1 +𝑅^12 𝑉𝑒) − 𝑉𝐶 2 ⇒ 𝑉𝐿 =− 𝑅 1 +𝑅^12 𝑉𝐶 1 − 𝑅𝑅 11 +𝑅𝑅^22 𝑖𝐿 + 𝑅 1 𝑅+𝑅^22 𝑉𝑒 − 𝑉𝐶 2
Para las variables de estado (primero 𝑖°𝐿, después 𝑉° 𝐶 1 , finalmente 𝑉° 𝐶 2 :
𝑖°𝐿 = 𝑎 11 𝑖𝐿 + 𝑎 12 𝑉° 𝐶 1 + 𝑎 13 𝑉° 𝐶 2 + 𝑏 1 𝑉𝑒
⇒ 𝑖°𝐿 = − 𝑅 𝐿^1 + 𝑅^1
2
( 𝐿 𝑅( 1 +𝑅 2 ))𝑖𝐿 +^ −^1 𝐿 +^
𝑅 1
( 𝐿 𝑅( 1 +𝑅 2 ))𝑉𝐶 1 −^1 𝐿 𝑉𝐶 2 +^1 𝐿 −^
𝑅 1
⇒ 𝑉° 𝐶 1 = ( 𝐶^11 − 𝐶 1 (𝑅 𝑅 11 +𝑅 2 ))𝑖𝐿 − 𝐶 1 (𝑅 11 +𝑅 2 ) 𝑉𝐶 1 + 0𝑉𝐶 2 + 𝐶 1 (𝑅 11 +𝑅 2 ) 𝑉𝑒
⇒ 𝑉° 𝐶 2 = 𝐶^12 𝑖𝐿 + 0𝑉𝐶 1 + 0𝑉𝐶 2 + 0𝑉𝑒
Salida:
𝑉𝐿 = 𝐶 1 𝑖𝐿 − 𝐶 2 𝑉𝐶 1 + 𝐶 3 𝑉𝐶 2 + 0𝑉𝑒 ⇒ 𝑉𝐿 =− (^) 𝑅𝑅 11 +𝑅𝑅^22 𝑖𝐿 − (^) 𝑅 1 𝑅+𝑅^22 𝑉𝐶 1 − 1𝑉𝐶 2 + (^) 𝑅 1 𝑅+𝑅^22 𝑉𝑒
Por lo tanto las matrices son:
Nos damos cuenta que aparentemente es diferente la función de transferencia, sin embargo, el denominador que marca Matlab como #1 es el mismo que la función de transferencia original, por lo que hay que simplificar la expresión, en este caso agrupando y simplificando los términos que tienen el mismo denominador se obtiene: 2.5𝑒11−5𝑒8𝑠−2.5𝑒11−250𝑠^2 −1.25𝑒8𝑠−2.5𝑒11−2.5𝑒5𝑠^2 −1.25𝑒8𝑠 𝑠^3 +500500𝑠^2 +1.5𝑒9𝑠+5𝑒11 +^
(^12)
Igualando denominadores y simplificando:
( 22 ) 2.5𝑒11−5𝑒8𝑠−2.5𝑒11−250𝑠𝑠 (^3) +500500𝑠^2 −1.25𝑒8𝑠−2.5𝑒11−2.5𝑒5𝑠 (^2) +1.5𝑒9𝑠+5𝑒11 2 −1.25𝑒8𝑠 + 12 ( 𝑠𝑠^33 +500500𝑠+500500𝑠^22 +1.5𝑒9𝑠+5𝑒11+1.5𝑒9𝑠+5𝑒11 )
= (^) 2(𝑠−1.25𝑒9𝑠−2.5𝑒8𝑠+𝑠 (^3) +500500𝑠 (^2) +1.5𝑒9𝑠+5𝑒11)^3 +1.5𝑒9𝑠
𝐹𝑇2 = (^) 𝑠 (^3) +500500𝑠0.5𝑠 (^2) +1.5𝑒9𝑠+5𝑒11^3
Comprobamos que la función de transferencia es la misma, por lo que el ejercicio está correcto.
Conclusión Con sistemas de diferente orden, se logró demostrar la equivalencia entre la representación en el espacio de estados y la forma de función de transferencia en el análisis de sistemas dinámicos. Esta equivalencia válida la compatibilidad de las teorías de control modernas y clásicas en el análisis de circuitos, lo que permite elegir el método más adecuado para un problema determinado dependiente a la complejidad de obtención del sistema. Este ejercicio destacó el poder del modelado en el espacio de estados para representar la dinámica de sistemas de manera integral, al tiempo que conserva la claridad analítica de las funciones de transferencia. En última instancia, afirmó el valor de integrar ambos enfoques para el diseño de sistemas de control robustos y eficientes.
