Coordenadas cartecianas, Ejercicios de Geometria Analitica

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El sistema de Coordenadas Cartesianas

UNIDAD V

El Sistema de Coordenadas Cartesianas.

El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen

La “distancia” entre dos puntos del plano P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ) se puede obtener a través de la siguiente fórmula:

d^2 = (x 2 – x 1 )^2 + (y 2 – y 1 )^2

Si dos puntos difieren sólo en una de sus coordenadas, la distancia entre ellos es el valor absoluto de su diferencia.

Ejemplo:

La distancia entre (4,6) y (-5,6) es: |- 5 – 4| = |-9| = 9

El “ punto medio” M entre dos puntos del plano P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ) se puede obtener a través de la siguiente fórmula:

M =

x 1 + x 2

y 1 + y 2

Coordenadas del punto medio

A B Veamos la distancia directamente en el plano: 4 8

2

(^2) = 16 + 64

La pendiente entre los puntos: P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ) se obtiene a través de la siguiente fórmula:

Ejemplo:

1. La pendiente entre los puntos x 1 y 1 x 2 y 2 (-4, - 2) y (1, 7) es:

Pendiente entre dos puntos

y 2 – y 1

m =

x 2 – x 1

m =

m =

OBS. La pendiente es igual a la tangente, la que permite calcular el angulo que tiene la recta con el eje “x”. m =tg(α)

Tipos de pendiente x y m = 0 x y NO existe m (Indefinida) x y x y m > 0 m < 0

La recta

Geométricamente podemos decir que una línea recta es una sucesión continua e infinita de puntos alineados en una misma dirección; analíticamente, una recta en el plano está representada por una ecuación de primer grado con dos variables, x e y. Además es el lugar geométrico de todos los puntos que tomados de dos en dos, poseen la misma pendiente.

Ejemplos:

1. 5x + 6y + 8 = 0
2. y = 4x + 7
3. 6x + 4y = 7

Ecuación Principal de la recta Es de la forma:

m : pendiente

n : coeficiente de posición

El coeficiente de posición (n), es la ordenada del punto donde la recta intersecta al eje Y. Corresponde al punto de coordenadas (0,n). y = mx + n Ejemplo:

1. y= 2x - (^3) m=2 n=- 3
2. y= 3x – 4 2 y= 3 x – 2 2 m= 3 2 n=- 2

Ecuación de Segmentos o Simétrica de la recta a b x y x

y = 1 a b

Ejemplos: 1. Dada la gráfica de la recta, encontrar su ecuación principal.

n = 3. Con (0,3) y (1,5) encontraremos su pendiente

m =

Por lo tanto, la pendiente (m) de la recta es 2 , y el coeficiente posición (n) es 3 (ordenada del punto donde la recta intercepta al e Y), de modo que su ecuación principal es y = 2 x + 3.

m =

• 2 - 1
  • 1
  • 2

2. En las siguientes ecuaciones hallar m y n :

◼ a) y = x – 8 m = 1 y n = - 8 ◼ b) y = 4x m = 4 y n = 0 ◼ c) 6x – y+ 13 = 8 ◼ Para determinar m y n, ordenamos primero la ecuación y utilizamos las ◼ fórmulas dadas para m y n: ◼ 6x – y+ 5= m =6 n = 5

Ecuación de la recta, dados dos puntos La Ecuación de la recta que pasa por los puntos: P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ) se puede obtener a través de la siguiente fórmula:

y – y 1 =^ (x – x 1 )

y 2 – y 1

x 2 – x 1

y − y (^) 2

x − x (^) 2 y (^) 2 − y (^) 1 x (^) 2 − x (^) 1

Ejemplo:

( 2, - 3 ) y ( 5 , 6 ) es: La ecuación de la recta que pasa por los puntos x 1 y 1 x 2 y 2

y – (-3) = 6 –^ (-3)^ (x – 2)

y + 3 = 9 (x – 2)

y + 3 = 3 (x – 2)

y + 3 = 3x – 6

y = 3x – 6 - 3

y = 3x – 9

y – y 1 =^ (x – x 1 )

y 2 – y 1

x 2 – x 1