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COORDENADAS ESFÉRICAS
El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos. En consecuencia, un punto P queda representado por: r indica la longitud de la línea radial.
ϕ el ángulo alrededor del eje z (^ ϕ^ ∈^ [^ 0,2^ π^ ]^ )^.
θ el ángulo entre la línea radial y el eje z ¿). Cambio de coordenadas: Para cambiar de coordenadas esféricas a cartesianas, se usan las fórmulas: x = ρ sin θ ⋅ cos ϕ y = ρ sin θ ⋅ sin ϕ z = ρ ⋅ cos θ Para cambiar de coordenadas cartesianas a esféricas, se usan las fórmulas: ρ 2 = x 2
- y 2
- z 2 tg ϕ = y x ⇒ ϕ = arctg ( y x )
tgθ =
√ x
2
⇒ θ = arctg (
√ x
2
z )
Integral triple en coordenadas esféricas Supongamos que se desea calcular el volumen de un sólido en el espacio tridimensional. Si se realiza una partición de dicho sólido en pequeñas cajas rectangulares, el volumen total será (aproximadamente igual a) la suma de los volúmenes de dichas cajas rectangulares. El paso al límite nos lleva al cálculo de la siguiente integral triple, para determinar el volumen total: Si el sólido presenta simetría esférica, se pueden simplificar los cálculos sustituyendo las cajas rectangulares por pequeñas porciones esféricas que se obtienen variando infinitesimalmente las coordenadas esféricas de los puntos. Cada una de dichas variaciones viene ilustrada en la gráfica siguiente: Las regiones infinitesimales en coordenadas esféricas tienen la forma de la figura: Para calcular el volumen, podemos suponer que las cajas son aproximadamente rectangulares, de modo que basta multiplicar los lados. Así, si el volumen expresado en coordenadas rectangulares es dV = dx dy dz , en coordenadas esféricas es el siguiente:
Solución: (^0) ≤ r ≤ R (^0) ≤ ϕ ≤ π (^0) ≤ θ ≤ 2 π Usando estos límites, junto con el hecho de que: dV= r^2 sin(ϕ)drdϕdθ Podemos empezar a escribir nuestra integral así: ∭esfera dV =∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 R r 2 sin( ϕ ) drdϕdθ Resolviendo:
Entonces el volumen de la esfera será
π R 3 .
