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UNIDAD II COORDENADAS POLARES
Hasta ahora hemos utilizado el sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas para
especificar un punto P o describir una curva C en el plano.
Otro sistema para localizar puntos en el plano es el sistema de coordenadas polares.
El sistema de coordenadas polares emplea distancias y direcciones para especificar la
ubicación de un punto en el plano.
Para formar el sistema de coordenadas polares en el plano, se fija un punto O, llamado polo
u origen , y a partir de O, se traza un rayo inicial llamado eje polar ver la figura.
Entonces a cada punto P se le puede asignar coordenadas polares 𝑃(𝑟, 𝜃), donde r es la
distancia de O a P y 𝜽 es el ángulo entre el eje polar y el segmento 𝑂𝑃
. Si bien la medida
del ángulo puede ser el grados o en radianes, en cálculo se usa la medida en radianes.
Para establecer un sistema de coordenadas polares empleamos un sistema de círculos
centrados en un punto O , denominado polo , y líneas rectas o rayos que emanen de O.
Tomamos como eje de referencia una media línea horizontal dirigida hacia la derecha del
polo, a la cual se le nombra eje polar. Para especificar una distancia r dirigida (con signo)
desde O y un ángulo 𝜃 cuyo lado inicial es el eje polar y cuyo lado final es el rayo OP , se
identifica el punto P mediante ( r , 𝜃). Se dice que el par ordenado ( r , 𝜃) son las
coordenadas polares de P.
En el sistema de coordenadas polares se tiene que:
- Los ángulos 𝜃 > 0 se miden en el sentido contrario al de las manecillas del reloj a
partir del eje polar, en tanto que los ángulos 𝜃 < 0 se miden en el sentido de las
manecillas de las agujas del reloj.
- Para graficar el punto 𝑃(−𝑟, 𝜃), donde 𝑟 < 0 , se miden |𝑟| unidades a lo largo del
rayo 𝜃 + 𝜋.
- Las coordenadas del polo O son (𝑂, 𝜃), donde 𝜃 es cualquier ángulo.
Ejemplo 1. Graficar los puntos cuyas coordenadas polares se indican.
Para el a) se mide una unidad a lo largo del rayo
3 𝜋
4
tal como se muestra en la figura.
Para el b) se miden tres unidades a lo largo del rayo −
𝜋
6
tal como puede verse en la figura.
Ejemplo 2. Graficar los puntos cuyas coordenadas polares se indican.
Para el c) se miden tres unidades a lo largo del rayo 3 𝜋
Para d) se mide 4 unidades a lo largo del rayo
𝜋
4
5 𝜋
4
Observacion :
Puede verse que los puntos 𝑃 ( 2 ,
𝜋
3
7 𝜋
3
5 𝜋
3
4 𝜋
3
2 𝜋
3
representan en mismo punto en coordenadas polares.
Otra manera de graficar puntos en el sistema de coordenadas polares es dibujar
cincunferencias concentricas cortadas por rectas radiales que pasan por el polo. Para esto se
necesita compas y transportador y regla. O buscar en la web papel polar.
RELACION ENTRE LAS COORDENADAS POLARES Y RECTANGULARES
- Para cambiar de coordenadas polares a rectangulares, se usan las fórmulas
- Para cambiar de coordenadas rectangulares a polares, se usan las fórmulas
2
2
2
𝑦
𝑥
Ejemplos Encuentre las coordenadas polares para el punto ( 2 , − 2 )
Solución Como 𝑥 = 2 , 𝑦 = − 2 , sustituyendo en (2) se obtiene:
2
2
2
2
2
2
De (2) tenemos que 𝑇𝑎𝑛
𝑦
𝑥
sustituyendo tenemos:
ó 𝜃 =
El valor de 𝜃 =
−𝜋
4
es el resultado de sacar el arcotangente de - 1 en la calculadora, el otro
valor es un multiplo de
𝜋
4
y se pueden obtener más valores; se van probando en (*) es decir
verificar que la tangente da - 1.
Como el punto ( 2 , − 2 ) se encuentra en el cuarto cuadrante, se puede representar en
coordenadas polares como:
Advertencia : En el ejemplo anterior no es posible aparear cualquier ángulo 𝜃 y cualquier
valor de “ r ” que satisfaga (2), estas soluciones tambien deben ser consistentes con (1).
Despejando “r” de la ecuacion (1) y (2) tenemos:
Por lo tanto, al resolver para r se producen dos ecuaciones 𝑟 =
4
1 +𝑠𝑒𝑛(𝜃)
ó 𝑟 =
− 4
1 −𝑠𝑒𝑛(𝜃)
GUIA DE EJERCICIOS No.
En los ejercicios 1 - 6, representar gráficamente el punto dado en coordenadas polares
y hallar las coordenadas rectangulares correspondiente.
En los ejercicios 7-10,encontrar las coordenadas rectangulares del punto
correspondiente en coordenadas polares. Representar gráficamente el punto.
En los ejercicios 11 - 16, se dan las coordenadas rectangulares de un punto. Localizar
gráficamente el punto y hallar dos pares de puntos en coordenadas polares con
En los ejercicios 17-20, hallar las coordenadas polares del punto dado en coordenadas
rectangulares.
En los ejercicios 23-26, hacer que corresponda la gráfica con su ecuación polar. Las
gráficas estan etiquetadas: a),b),c) y d)
En los ejercicios 27 - 36 , transformar la ecuación rectangular a la forma polar.
En coordenadas rectangulares la descripción de un punto es única. Por consiguiente, en
coordenadas rectangulares si falta un tipo particular de simetría, entonces es posible decir
de manera definitiva que la gráfica no posee esa simetría.
Como la descripción polar de un punto no es única, la gráfica de una ecuación polar aún
debe tener un tipo particular de simetría, incluso cuando es posible que falle la prueba para
la misma. Por ejemplo, si al sustituir
no se produce la ecuación polar
original, la gráfica de esa ecuación debe seguir teniendo simetría con respecto al eje polar.
Por tanto, si una de las pruebas de reemplazo en ( 1 ) − ( 3 ) no produce la misma ecuación
polar, lo mejor que podemos afirmar es que “no hay conclusión”.
Ejemplo 1. Bosquejar la gráfica de la ecuación 𝑟 = 3 y exprese la ecuación en
coordenadas cartesianas.
Solución. La gráfica consta de los puntos cuya coordenada de r es 3, es decir todos los
puntos que estan a tres unidades del origen (polo).
Como 𝑟 = 3 al elevar al cuadrado a ambos lados de la ecuación, se obtiene 𝑟
2
2
𝟐
𝟐
La cual representa en coordenadas cartesianas una circunferencia de centro C(0,0) radio 3
Ejemplo 2. Bosquejar la gráfica de la ecuación 𝜃 = 𝜋/ 3 y exprese la ecuación en
coordenadas rectangulares.
Solución. La gráfica consiste en los puntos cuya coordenada 𝜃 𝑒𝑠 𝜋/ 3. Esta es la recta que
pasa por el polo y forma un ángulo de 𝜋/ 3 con el eje polar. Se observa que los puntos
𝜋
3
) en la recta con 𝑟 > 0 se encuentran en el cuadrante I, mientras que aquellos con
𝑟 < 0 se localizan en el cuadrante III.
Como el punto (𝑥, 𝑦) esta en la recta, entonces:
= tan
tan (
Al despejar “y” se obtiene la ecuación rectangular de la recta es 𝒚 = √𝟑𝒙
Ejemplo 3. Graficar 𝑟 = 1 − cos(𝜃)
Solución. Utilizando la simetria se tiene:
a) Si una ecuación polar no cambia cuando 𝜃 se reemplaza por – 𝜃, la curva es simétrica
con respecto al eje polar. Usando cos
= cos(𝜃)
𝑟 = 1 − cos(𝜃)
𝑟 = 1 − cos
= 1 − cos(𝜃)
Por lo tanto la curva es simétrica con respecto al eje polar.
b) Si una ecuación polar no cambia cuando en ella se sustituye “r” por “ − 𝒓 ” , la curva es
simétrica con respecto al polo.
𝑟 = 1 − cos(𝜃)
−𝑟 = 1 − cos(𝜃) , multiplicar por − 1
𝑟 = − 1 + cos(𝜃)
Por lo tanto la curva no es simétrica con respecto al polo.
b) Si una ecuación polar no cambia cuando en ella se sustituye “r” por “ − 𝒓 ” , la curva es
simétrica con respecto al polo.
𝑟 = cos( 2 𝜃)
−𝑟 = cos
, multiplicar por − 1
𝑟 = − cos( 2 𝜃)
Puede decirse que la simétria con respecto al polo no hay conclusión.
c) Si una ecuación polar no cambia cuando 𝜃 se reemplaza por 𝜋 − 𝜃, la curva es
simétrica con respecto al eje
𝜋
2
𝑟 = 1 − cos( 2 𝜃)
𝑟 = cos( 2
𝑟 = [cos( 2 𝜋)cos ( 2 𝜃) + 𝑠𝑒𝑛( 2 𝜋)𝑠𝑒𝑛( 2 𝜃)]
𝑟 = [ 1 cos( 2 𝜃) + 0 sen( 2 𝜃)]
𝑟 = cos( 2 𝜃)
La curva es simétrica con respecto al eje
𝝅
𝟐
Una manera de graficar esta ecuación es incorporar unos cuantos puntos bien escogidos
correspondientes a 0 ≤ 𝜃 ≤ 2 𝜋. Como se indica en la siguiente tabla:
𝜽 𝒓 𝜽 𝒓 𝜽 𝒓 𝜽 𝒓
0 ° 1
105 ° =
7 𝜋
12
195 ° =
13 𝜋
12
285 ° =
19 𝜋
12
15 ° =
𝜋
12
120 ° =
2 𝜋
3
210 ° =
7 𝜋
6
300 ° =
5 𝜋
3
30 ° =
𝜋
6
135 ° =
9 𝜋
12
0
225° =
5 𝜋
4
0
315 ° =
7 𝜋
4
0
45 ° =
𝜋
4
0
150 ° =
5 𝜋
6
240 ° =
4 𝜋
3
330 ° =
11 𝜋
6
60 ° =
𝜋
3
165 ° =
11 𝜋
12
255 ° =
17 𝜋
12
345 ° =
23 𝜋
12
75 ° =
5 𝜋
12
270 ° =
3 𝜋
2
90 ° =
𝜋
2
Puede verse que cuando 𝜃 avanza de 𝜃 = 0 a 𝜃 = 𝜋/ 4 , r disminuye de 1 a 0. Por lo
tanto, se traza la porción correspondiente de la curva polar en la figura por (1)
Cuando se incrementa de 𝜃 = 𝜋/ 4 a 𝜃 = 𝜋/ 2 , el valor de r va de 0 a − 1. Esto significa
que la distancia desde el origen se incrementa de 0 a 1, pero en lugar de estar en el
cuadrante I, esta porción de la curva polar indicada por (2) yace en el lado opuesto del
origen en el cuadrante III.
El resto de la curva se dibuja de manera similar, con flechas y números que indican el orden
en el que se trazan las porciones. La curva resultante tiene cuatro pétalos y se llama rosa de
cuatro pétalos.
Puede observarse en la figura anterior, que la curva satisface las tres pruebas para la
simetría, aunque analiticamente solo cumple con dos.
En coordenadas rectangulares, los ceros de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) corresponden a las
intersecciones de la gráfica con los ejes coordenados.
En coordenadas polares, los ceros de la función 𝑟 = 𝑓(𝜃) son los ángulos 𝜃 en los que la
curva cruza al polo. Los ceros ayudan a bosquejar la gráfica.
Ejemplo 5. Usar la simetría para bosquejar la gráfica polar 𝒓 = 𝟏 + 𝟐𝐜𝐨𝐬 (𝜽)
Solución. Para hacer el bosquejo de la gráfica usaremos la simetría y luego se encontraran
los ceros.
Simetría. Puede verse que la ecuación no se modifica cuando θ se reemplaza por – 𝜃,
podemos decir que la gráfica es simétrica con respecto al eje polar.
Si una ecuación polar no cambia cuando en ella se sustituye “r” por “ − 𝒓 ” , la curva es
simétrica con respecto al polo.
𝑟 = 1 + 2 co s
−𝑟 = 1 + 2 co s
multiplicar por − 1
𝑟 = − 1 − 2 co s
Con los datos anteriores se bosqueja la gráfica polar 𝒓 = 𝟏 + 𝟐 𝐜𝐨𝐬
de 𝜃 = 0 𝑎
Y luego se usa la simetría para completar la gráfica.
GRÁFICAS POLARES ESPECIALES
Varios tipos importantes de gráficas tienen ecuaciones que son más simples en forma polar
que en forma rectangular.
1) Ecuaciones polares de rectas. Sean a, b y C constantes.
a) 𝜽 = 𝑪 , representa una recta que contiene al polo, forma un ángulo de C radianes
con el eje polar.
b) 𝒓𝒔𝒆𝒏
= 𝒃 , representa una recta paralela al eje polar, arriba del eje polar si
𝑏 > 0 ; debajo del eje polar si 𝑏 < 0.
c) 𝒓𝒄𝒐𝒔
= 𝒂 , representa una recta paralela al eje 𝜋/ 2 , a la derecha del eje 𝜋/ 2 , si
𝑎 > 0 ; a la izquierda del eje 𝜋/ 2 si 𝑎 < 0
Ejemplo .Graficar 𝑟 = sec (𝜃)
Solución. Como sec(𝜃) =
1
cos (𝜃)
, podemos sustituir en 𝑟 = sec (𝜃) y así obtener:
𝑟 = sec(𝜃) =
cos (𝜃)
la cual representa una recta paralela al eje 𝜋/ 2 y como 1 es positivo la gráfica esta a la
derecha del eje 𝜋/ 2.
En coordenadas cartesianas 𝑟𝑐𝑜𝑠
= 1 es equivalente a tener la recta 𝑥 = 1
Ejemplo. Graficar 𝑟 sen
Solución : Ya que y = rsen
, se escribe la ecuación 𝑦 = 2 , la cual es una recta
horizontal que se encuentra a dos unidades del polo.
2) Ecuaciones polares de la circunferencia. Sean a, b y C constantes.
a) 𝒓 = 𝑪 , representa una circunferencia con centro en el polo y radio C.
b) 𝒓 = 𝟐𝒂𝒄𝒐𝒔
, representa una circunferencia de radio |𝑎|, tangente al eje 𝜋/ 2 , con
centro en el eje polar en el punto (𝑎, 0 ) ó en su prolongación.
c) 𝒓 = 𝟐𝒃𝒔𝒆𝒏(𝜽) , representa una circunferencia de radio |𝑏|, tangente al eje polar.
Ejemplo. Bosquejar la gráfica de la ecuación polar 𝑟 = 2 𝑠𝑒𝑛
Solución. Se usa primero la ecuación polar para determinar las coordenadas polares de
varios puntos en la curva.
Esta última ecuación representa una circunferencia de centro 𝐶( 0 , 1 ) y radio 𝑟 = 1
3 ) Ecuaciones polares de Caracoles o limacón
Consideremos ecuaciones de la forma 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑐𝑜𝑠
, 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑠𝑒𝑛(𝜃), con a,b
positivas.
a) Si 𝟎 <
𝒂
𝒃
< 𝟏 , la gráfica es llamada caracol con lazo.
b) Si
𝒂
𝒃
= 𝟏 , la gráfica es llamada cardioide (forma de corazón)
c) Si 𝟏 <
𝒂
𝒃
< 𝟐 , la gráfica es llamada caracol con hendidura.
d) Si
𝒂
𝒃
≥ 𝟐 , la gráfica es llamada caracol convexo (sin hendidura)
Se puede cambiar la orientación de un cardioide, o de cualquier otra ecuación polar con
coseno en su forma estándar, reemplazando coseno por seno, coseno o seno negativos,
como puede verse en las siguientes gráficas:
