TALLER DE CRITERIOS DE
CONVERGENCIA DE SERIE
Autor 1:
Colmenares Herrera Miguel Angel
Cod.20182172817
Agrado, Huila
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURA LES
PROGRAMA MATEMÁTICAS APLICADA
ECONOMIA MATEMÁTICA
20 DE ABRIL DE 2023
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Ejercicios de criterios de convergencia
Tipo: Apuntes
2022/2023
1 / 8
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TALLER DE CRITERIOS DE
CONVERGENCIA DE SERIE
Autor 1:
Colmenares Herrera Miguel Angel Cod. Agrado, Huila [email protected]
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
PROGRAMA MATEMÁTICAS APLICADA
ECONOMIA MATEMÁTICA
20 DE ABRIL DE 2023
1. PARTE I: Determinar la convergencia o divergen-
cia de las siguientes series :
1.1. EJERCICIO 9
X (^) n 1 + n^2
En primer lugar probemos el criterio del termino n-ésimo, entonces se tiene
l´ım n →∞ an = l´ım n →∞
n 1 + n^2
= l´ım n →∞
n n^2 1 n^2 +^
n^2 n^2
Luego, la serie puede ser convergente. Ahora por el criterio de la integral tenemos: Z (^) ∞
1
x 1 + x^2
d x
resolviendo, por sustitución donde u = 1 + x^2 tenemos
Z (^) ∞
1
2 u
du =
l n ( u ) 2
∞ 1
remplazamos u
l n (1 + n^2 ) 2
1
l n (1 + ∞^2 ) 2
l n (1 + 12 ) 2
l n (∞) 2
l n (2) 2
l n (∞) − l n (2) 2
luego, por el criterio de la integral decimos que la serie
P (^) n 1 + n^2 Diverge.
1.2. EJERCICIO 12
X 2 n (2 n + 1)^2
En primer lugar probemos el criterio del termino n-ésimo, entonces se tiene
n l´→∞ım an^ =^ n l´ım→∞
2 n (2 n + 1)^2
2.1. Teorema
Dada la serie alterna
P
(−1) n +^1 an tal que an > 0. Si se cumple las condicio- nes ***** an ≥ an + 1 para todo n , es decir si ( an ) es decreciente.
***** (^) n l´ım→∞ = 0
entonces la serie alternada
P
(−1) n +^1 an es convergente.
Demostracion:
Probar que la serie
P
(−1) n +^1 an converge , significa probar que la sucesion de sus sumas parciales tiene limite infinito. La n-ésima suma parcial es :
sn = a 1 − a 2 + a 3 − a 4 + a 5 + ...(−1)( n +1) an
se estudiará la subsucesion de sumas parciales de indice par , y la subsuce- sion de sumas parciales de índice impar. a). Estudio de la subsucesion de indice par.
a1). Expresar cada suma parcial de indice par en la forma:
S 2 = a 1 − a 2 S 4 = ( a 1 − a 2 ) + ( a 3 − a 4 ) .. . S 2 n = ( a 1 − a 2 ) + ( a 3 − a 4 ) + ( a 5 − a 6 ) + · · · + ( a 2 n − 1 − a 2 n ) .. . como la sucesión an es decreciente :
ak − ak + 1 ≥ 0 par a t odo k
la subsucesion de sumas parciales
S 2 , S 4 , S 6 , ..., S 2 n , ...
es creciente.
a2). Expresar cada suma parcial S 2 n en la forma:
S 2 n = a 1 − ( a 2 − a 3 ) − ( a 4 − a 5 ) − ... − ( a 2 n − 2 − a 2 n − 1 ) − ( a 2 n )
***** como ak − ak + 1 ≥ 0 , se obtiene que la subsucesion de sumas parciales:
S 2 , S 4 , S 6 , ..., S 2 n , ...
es acotada superiormente por a 1.
Luego, la subsucesion de :
S 2 , S 4 , S 6 , ..., S 2 n , ...
es creciente y acotada superiormente , por lo tanto es convergente. Luego, existe L ∈ R , tal que
n l´→∞ım S^2 n^ =^ L b). Estudio de la subsucesion de sumas parciales de índice impar. como: S 2 n + 1 = S 2 n + a 2 n + 1 luego,
l´ım n →∞ S 2 n + 1 = l´ım n →∞ ( S 2 n + a 2 n + 1 ) = L.
Esto significa que la subsucecion S 2 n + 1 es convergent.
Luego, la sucesion de sumas parciales Sn es convergente , lo que implica que , la serie alternada
P
(−1) n +^1 an es convergente.
NOTA. Si se cumplen las condiciones del teorema anterior, entonces la serie P (−1) n^ an t amb í enesconver g ent e.
2.1.1. Ejemplo 1
Estudiar el comportamiento de la serie
X^ ∞ n = 1
(−1) n +^1
n
solución
Estudio de la sucesion an = (^) (2) nn − 1 , para n ≥ 1
***** para n ≥ 1; (^) (2) nn − 1 > n 2 + n^1 , luego la sucesion an es decreciente y todos sus tér- minos son positivos.
* usando la regla de L´Hopital:
l´ım x →∞
x 2 x −^1
= l´ım x →∞
2 x −^1 ∗ l n (2)
luego:
l´ım an = l´ım n →∞
n (−2) n −^1
Por lo tanto, por el criterio de las series alteradas , la serie
P∞
n = 1
n (−2) n −^1 es converge.
Figura 2: Grafica de la sucesion de sumas parciales del ejemplo 2
2.1.3. Ejemplo 3
Determine si la serie (^) ∞ X
n = 1
(−1) n 3 n
converge.
solución
Es claro que
X^ ∞ n = 1
(−1) n 3 n^
X^ ∞
n = 1
(−1) n^
3 n
Estudio de la sucesion an = (^31) n , que es una sucesion de terminos positivos.
***** La sucesion an = (^31) n es decreciente , ya que (^31) n > (^3) n^1 + 1.
***** l´ım an = (^) n l´ım→∞
3 n^
Por lo tanto , por el criterio de las series alteradas , la serie
P∞
n = 1
(−1) n 3 n^ converge.