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ITEMS 1º E.S.O. 2014 - 2015

Colegio

Ntra. Sra.

de las Escuelas Pías

MATEMÁTICAS 3º ESO

Curso 2019 - 2020

ALUMNO/A:

CURSO: NÚMERO:

ITEMS 3º ESO 2019 – 2020

NÚMEROS REALES

Clasificación de los números reales

Operaciones con fracciones: Suma, resta, torres y simplificación Operaciones con potencias de exponente entero: Suma, resta y producto de potencias.

Operaciones con números radicales

Prioridad de Operaciones y cambio de orden de operaciones.

Expresión decimal del número real. Fracción generatriz y concepto de irracional

Representación de los números reales en la recta. Densidad de Q en R.

Expresión de un nº en notación científica. Orden de magnitud de un número.

Operaciones en notación científica.

Problemas de repartos con fracciones y porcentajes. Diagramas de árbol.

GEO METRÍA

(^) Teorema de Pitágoras

Teorema de Thales y semejanza de triángulos

Perímetros y áreas de figuras planas

Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos

POLINOMIIOS

Suma y resta de polinomios. Reducción de términos semejantes

Producto de polinomios. Regla de los grados. Productos notables: Desarrollo.

Potencia de un polinomio. Potencias notables. Binomio de Newton.

División por el método general. D = d.c + r. División por el método de Ruffini.

Noción de raíz. Teorema del Resto. Teorema del fáctor

Estudio de los polinomios de grados 0 y 1. Gráficas.

Estudio y factorización de los polinomios de grado 2. Gráficas.

Estudio y factorización de los polinomios de grado 3. Gráficas.

Estudio y factorización de los polinomios de grado 4 y superior.

FRACCIONESALGEBARICAS

Producto, cociente y simplificación de Fracciones Algebraicas

Suma y resta de Fracciones Algebraicas.

Prioridad de Operaciones y Cambio de orden de Operaciones.

ECUACIONESY SISTEMAS

Resolución de ecuaciones de 1er y 2º grado

Resolución de ecuaciones de grado n factorizables. Ecuaciones multicuadradas.

Resolución de ecuaciones racionales e irracionales

Resolución de sistemas de 1er grado en 2 y 3 variables.

Resolución de sistemas de 2º grado.

Problemas resolubles con ecuaciones y sistemas

SUCESIONES

(^) Noción de sucesión. Término general y fórmula de recurrencia

Sucesiones aritméticas. Término general. Fórmula de recurrencia.

Sucesiones geométricas. Término general. Fórmula de recurrencia.

Suma de los n primeros términos de una sucesión aritmética y de una geométrica

Problemas resolubles con sucesiones

ESTADÍSTICA

Población. Muestra. Variable aleatroria. Tipos de variables aleatorias

Tablas de frecuencias.

Agrupación de datos. Intervalos y marcas de clase.

Gráficos estadísticos: Sectores. Barras. Histogramas.

Parámetros de centralización: Moda, mediana, media.

Parámetros de centralización: Rango, varianza, desviación típica.

TIPOS Y CONJUNTOS DE NÚMEROS

Expresión decimal

Números naturales

Las restas que no se pueden efectuar en N, producen los

números negativos. 2 – 5 = 1 – 4 = 0 – 3 = -

 Exacta (todos los decimales son 0)

2’0 23’0 475’0…

Naturales

Enteros

Racionales

Reales

Números negativos

Las divisiones que no se pueden efectuar en Z, producen los

números fraccionarios.

 Exacta (todos los decimales son 0)

-12’0 -31’0 -475’0…

Números fraccionarios

,

,

,

Las raíces que no se pueden efectuar en Q

, producen los

números radicales.

 Exacta

 Periódica pura

142857

 Periódica mixta

63

3045

Números radicales

 No periódica

√^2 =

1′70997594 …

Irracionales

Otros números con forma decimal no periódica

e

 No periódica

e = 2,718281828…

PRIORIDAD Y PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ARITMÉTICAS

Nivel I

Las operaciones del mismo nivel pueden cambiarse de orden, pero NO

se distribuyen:

Nivel II

Nivel III

8

(^2) √ 64

√

2

^

6

1’5. 12

2

.

..

1’5.

3

.

1

-1+

3-4+

5-

2+3-

-2+

-4+2+

cambio de orden

cambio de orden

cambio de orden

factor/

denom

COMÚN

expte/

raíz

COMÚN

factor/

denom

DISTR.

expte/

raíz

DISTR.

La operación NO se puede distribuir ni poner en común

Niveles NO consecutivos

Las operaciones de nivel III no se distribuyen en las de nivel I Otros ejemplos:

17

12+

√ + √

13

√ +

√

25

9+

^ +

49

( + )

7

OPERACIONES CON NÚMEROS FRACCIONARIOS

Equivalencia de fracciones

1. Da una fracción equivalente reducida y otra ampliada de cada una de las siguientes fracciones, siempre que sea posible:

2. Indica la veracidad o falsedad e las siguientes afirmaciones sobre equivalencia de fracciones:

a. 9

b. 2

2

y

x

y

x 

c. 3

d. 3

e. 3

f. y

x

x y y

a b c    

g. Si

y

b

x

a

 entonces

x

a

x y

a b  

Nota: Podemos obtener fracciones equivalentes: a) multiplicando o dividiendo numerador y denominador por el mismo nº b) sumando o restando numeradores y denominadores de fracciones que ya sepamos que son equivalentes

Suma, resta, producto y cociente. Operaciones combinadas

3. Calcula el valor de las sumas y restas siguientes. Simplifica

 (^)  

  



1 6)^ 

11

18

 

4. Calcula mentalmente

6. Indica razonadamente la veracidad o falsedad de las afirmaciones:

a. k

x x k

b. x

y

y

x 1 : 

c. A x

y

y

x

A

d. N D D

N 1

7. Expresa en forma de producto de fracciones y calcula:

La mitad de 7/8 Las 3 cuartas partes de 16 La tercera parte de 9/5 Cuarto y mitad de 8 kg. La mitad de la quinta parte de -4 El 50% de 700 m 2 El triple de la mitad de 2/3 El 20% de 140 euros El 25% de 800 personas Las 2 terceras partes de 600 El doble de los 3/5 de 625 La mitad de triplicar el 18%

8. Calcula el valor de las siguientes expresiones numéricas, prestando atención a la prioridad de operaciones.

7

21

73

21

3

12

175

POTENCIAS

 Signo de una potencia o Una base positiva elevada a cualquier exponente va a dar como resultado una potencia

positiva. Por ejemplo  

4 2 2

4 

o Una base negativa, va a ser positiva si el exponente es par y negativa si el exponente es

impar. Por ejemplo  

4 2 2

4   y

3 2 2

3  

 Operaciones con potencias:

MISMA BASE MISMO EXPONENTE PRODUCTO Se suman los exponentes: n m nm a a a

     

6 4 10 7 7 7

Se multiplican las bases y se deja el mismo exponente n n n 3 5 15 a b (a b)

6 6 6      

COCIENTE Se restan los exponentes: n m n m a a a

     

6 4 2 7 7 7

Se dividen las bases y se deja el mismo exponente n n n 10 5 2 a b (a b)

6 6 6      

POTENCIA DE POTENCIA

Se multiplican los exponentes: (^)   9 36 2 2

4 

 Exponentes negativos.

Si el exponente de la potencia es un número negativo, las propiedades anteriores también se verifican. Una potencia de exponente negativo es equivalente al inverso de dicha potencia. Por ejemplo:

n

n

a

a

1

2

1 (^2 )

3   

  n n a a

 ^   

1 2 2

(^1 ) 3





   

  



 



 

    

3

1 1

2 2 2

1

2

) 2

1 ( 1 2

3 1 3

2

19. (^) 



 

 

  

  

  

  

 



8

1 . 4

3

6

7 . 21

1 1

6

1

3

1 2 3

1

4

3

^ 

11. Expresa sin paréntesis pero en forma de potencia de exponente positivo

(

n  a o bien n a

 , con n un número positivo)

1 5

 2 5



1 5



2 5



7 5

 

1 5

 

2 5

2 5

7 5

2 5

 

1



2



2



3



2



2 5

2 5

2 5

3  5

2  5

7



 2 5

 2 5

 

7 5

  ^ ^

2 5

 

7  5 5

2 5

2  5

7  5

2 5

 

3 5

   

4 5

 

 

5 5

 

5 2

 2



3



3  5

4  5

5 5

10

2 3

3

12. Expresa como una única potencia de 2

4 1 2 4

2. 4. 8. 16

  8 2 1

2. 4. 8

  1 4 5 2

16. 4. 2 : 8

 

13. Opera las potencias haciendo uso del exponente negativo. Da dos resultados: a) sin exponentes

negativos. b) Sin denominadores.

4 2 3    1  1 x y

xy  

2 3 2

5 2

x x

x

8 3

2 2 x y 2  x

2 6 3

 x

2 1 2

2 3 3

 

 

x y

x y

1

2

2

2 3 5







 

A

B

A B

6 12

6 12

3

x

x 

  2

2 4

y

x

x y 

 13

8 8 13

B

A

 A B 



7 3 10

2 8 4





2 4 3

6 6 6

(^66)

5

4

3 3 3 3 4

3



6

3 ( 2 )

6

5 : 4

3















   

  



1

5 4





    1

3

2

3 2 4







 

x y

x y

2

2 2





1

2. 3 3

4

5 5 4

y

x

x y 

 (^22) 2

2

5. 3 9

4 4

5

3

2

2









v v

v

u

68

78 39

g

h k 6 42

42

6

.

  u v v

u (^101247) 24 7

10

 x y

x y

8 2 20

4 6 2



 

A

B

B

A

A

B

B

A

A

B

B

A

3 2 1

 

y

x

x

  3

5

1

3 2 4

^ 

 

S

T

T S

18 18

18



B A

A

B 2

xy

9 23 23

9

.

  T S S

T

4 2 1

5 2

 

 

 (^)  

3

2

5

1

9 22



 



B

A

A B

4 3

( 5 ) 5

1

3. 2 2

  A^60 B^18

4 8 8

4

2. 3 3

2

3

(^44)

2







1

5 4





  

   

2 3

(^22)

bc abc

a bc

10 2 2

10

2. 5 5

2 7 4 3 73

ab c

 

   

3

2 5 7 4

2 3 5 1



  

  

k  g h

h g k ^ ^ 

 

4 3 5

2 4 2

  

  

x y

x y

RAÍCES de NÚMEROS ENTEROS ó RACIONALES

EXACTAS

MONÓMICOS BINÓMICOS

0, 1, 2 soluciones enteras o racionales

Expresiones equivalentes

Operaciones

A. Expte fraccionario. Simplificación de índice y exponentes

B. Extracción Introducción

C. Racionalización

C.Suma y resta de radicales semejantes

B. Producto y cociente. Índice común.

A. Potencia y raíz de una raíz

NO EXACTAS

Operaciones

A. Potencia

B. Producto

C. Cociente (Racionalización)

NÚMEROS RADICALES Solución aproximada

Raíces exactas e inexactas. Número de soluciones.

 La raíz n-ésima (cuadrada, cúbica, cuarta…) de un número real, A, es otro número

real, a, que elevado a n (2, 3, 4…) de cómo resultado el número original A.

El número A se llama radicando, y el número n se llama índice de la raíz.

Ejemplo: √

= 2 porque 2

= 8. El radicando es 8 y el índice 3 (raíz cúbica)

 Si el radicando, A, es un número entero o racional, decimos que la raíz es exacta si el

resultado, a, también es entero o racional.

√^10

no es exacta porque 1 = 1 , que no llega a 10 2 = 16 , que se pasa de 10

1 , 7 = 8 , 35 … no llega 1 , 8 = 10 , 4976 se pasa

Si buscas un número decimal exacto, entre 1 y 2, que elevado a 4 de cómo resultado 10, verás que no puedes encontrarlo. Prueba con más decimales y la ayuda de la calculadora, y verás como ¡no hay manera de que salga 10!

 Las raíces pueden no tener solución, ni exacta ni inexacta, tener una solución o tener

dos soluciones:

Indice par Indice impar

Radicando positivo

2 soluciones: + y -

4 2 2 

1 solución: +

27 3

3 

Radicando negativo

0 soluciones

4 ¿?

2  

1 solución: -

27 3

3  

1. Calcula todas las soluciones de las siguientes raíces enteras

a) 25 b)

3

 125 c)

(^2 )

G d)^0 ,^09

e)

5

 32 f)^

3

g) ^100 h)^4

i)

4

j)

3 6 9

3 6

a b

m n

k)

4  16

l)

 Observa: La raíz de un número entero o fraccionario es exacta si al descomponer en

factores el numerador y el denominador del radicando, todos los factores tienen

exponentes que son múltiplos del índice.

 Raíz y potencia n-ésima son operaciones inversas: √

= y √

(^) =

B. Extracción e introducción de factores

Extracción: √

= √

. 3

= √

. √

= √

. 3 = 3√

¡OJO, con sumandos no es cierto! (^) √ ^ + 4 ≠ √^2 + √4 = + 2

Introducción: 3.

.

.

El número racional que aparece multiplicando a la raíz se llama coeficiente.

4. Extrae todos los factores que puedas de los siguientes radicales.

a) 12

b)

c)

3

16 d)

(^4 )

a e)

(^3 )

x

f) 72 g)

5 3 2

a bc h)

3 8 6 10

m n p i)

3 9 12 15  ab c j) 3 9

6 18

b

a c

k) 4 81

l)

3 5

7

.. 4

d

 a bc m)

4 8 4

4 8 12

16

81

d e

a b c n)

3 3 6 5 24 a b c d o)

7 729 a

5. Utiliza el factor común para poder extraer factores de los siguientes radicales
6. Introduce los factores en los siguientes radicales.

a) 5 3 b)^ 3

4

c)

3

10. (^5) d) y

xy x

3 e) x

x

f)

3

g) 3 4

h) 49

i) 3

a

c

c

a b j) 5 64

7. Indica si las operaciones siguientes son correctas o no. Justifica tu respuesta.

a) 16  32 a b)

2 18  9 x c)

4 2 x  4 x d) 3 15 12 A A

e)

3 3 27  54 r f)

3 6 12 a  a g)^

2 4 9 p  4 p h) 4 4 5 6 x x x

a) (^) √ 36 + 4 = 6 + (^2) b) √ 9. 2 ^ = 3. 2 c) √^ + ^ = +

d) √ 25 − 9 = 5 − 3 e)

f) ( 2 + 3 ) = 2 + 3

C. Racionalización (expresión sin raíces en el denominador)

Si un radical monómico aparece en el denominador de una expresión numérica, podemos cambiar esta por otra equivalente, en la que aparezca un radical en el numerador.

Ejemplos:

√^

√^

√^

√ ^

comprueba que ambos radicales valen aprox. 0’

.

√^

√^

√^

√ ^

8. Racionaliza las siguientes expresiones

a)

B

b)

c)

d) 4 9

e) 3 2

C

f)

g)

h)

i) 5 3

j) 5

k)

5 3

2

b

a

l)

3 54

m)

4 8

n)

o)

12 5

f

9. Calcula los siguientes números, que son números radicales, y exprésalos de la forma

más simple posible. Necesitas recordar el Teorema de Pitágoras.

a) La diagonal de un cuadrado de lado 1 b) La diagonal de un cuadrado de lado 7 c) La hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 1 y 2. d) La hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos c y 3c. e) La altura de un triángulo equilátero de lado 1. f) Los segmentos internos señalados en este cubo de arista 1 g) La arista de un cubo de volumen 2000cm 3

10. Demostrar que el segmento OA de la figura mide

Pista: Al trazar la altura sobre la hipotenusa de un

triángulo rectángulo, éste queda dividido en 2

triángulos semejantes al original.

11. ¿Cuál es el área del

cuadrado mayor?