Cuadernillo Unidad 1, Ejercicios de Matemáticas

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• Unidad

surgen de las antiguas inscripciones que aparecen en el Papiro de Ahmes. Al igual que otras nociones matemáticas, las fracciones se originan para dar res- puesta a la necesidad de resolver problemas prácticos.

Las fracciones según la representación de los egipcios

Con el uso por distintos grupos sociales y su estudio, surgen otros problemas. Solo a modo de ejemplo, en el siglo VI D.C, los hindúes establecen las reglas de las operaciones con fracciones y en Europa, Leonardo de Pisa (matemático conocido como Fibonacci 1170-1250 d.C.) es quien propone en sus escritos la famosa barra con la que hoy representamos a las fracciones. Otro dato: recién a partir del año 1700 se generaliza el uso de la línea fraccionaria que usamos hoy.

Volviendo a nuestra apertura, debemos situar el quehacer matemático dentro de las actividades humanas y a la matemática como una obra, un producto cul- tural y social, en tanto depende de las concepciones de la sociedad y la época en la que surge, como resultado de la interacción de los grupos sociales. Desde esta perspectiva, la matemática es una obra abierta, en construcción y que evoluciona de manera permanente. Así que iniciemos el trabajo resolviendo un problema.

| ACTIVIDADES INTRODUCTORIAS

Para comenzar, trabajaremos con una serie de actividades vinculadas al contenido de fracción.

a) De dos chocolates iguales, Sebastián corta uno en seis partes iguales y se come cuatro. Marcos corta el otro en ocho partes iguales y come cinco. ¿Quién come más chocolate? b) De una enciclopedia de 480 páginas, 200 de ellas tienen ilustraciones. ¿Qué parte del libro no tiene ilustraciones? c) El profesor de matemática de Marcos le deja un sobre con 4 tiras de cartulina de distintos colores y de distintas medidas para que realice una tarea con sus compañeros. La idea es que tomen algunas medidas, pero luego, quie- re que comparen las medidas entre ellas. Ellos realizaron lo pedido, observaron y anotaron lo siguiente:

• 6 tiras azules miden lo mismo que 3 tiras rojas
• 9 tiras verdes miden lo mismo que 27 tiras rojas
• 24 tiras marrones miden lo mismo que 18 tiras rojas
• 20 tiras amarillas miden lo mismo que 12 tiras rojas El profesor pide, como actividad final, que ordenen las tiras de menor a mayor medida. ¿Podrías ayudarle a completar su tarea? d) El grupo de compañeros de Sebastián está trabajando con tiras de cartu- lina. Con la actividad que su docente les dejó, pudieron expresar las siguientes conclusiones: -Si se juntan 4 tiras rojas, la longitud es la misma que si se juntan 5 tiras verdes. -Si se juntan 20 tiras rojas, la longitud es la misma que si se juntan 35 celestes. Ahora juntate con tu compañero y respondan las siguientes preguntas: -¿Es cierto que una tira verde es más larga que una tira celeste? Justifiquen la respuesta. -¿Cómo es la tira verde respecto de la celeste? e) Se tienen varias tiras de estas dos medidas

A B al colocarlas una al lado de la otra, como muestra la figura, coinciden en longitud A A A B B B B Decidí, sin medir, qué parte de la tira A es la B y qué parte de la tira B es la A.

d) ¿Cómo convencés a tus compañeros de que estás en lo cierto? Buscá ejemplos que ayuden a entender tus respuestas.

| ACTIVIDAD 2

Para hacer con la calculadora del celular.^1

a) ¿Cuál es el resultado de 120 × 40% y 120 ÷ 40%? ¿Cómo se interpreta el valor obtenido? Y si se marcan 120 + 40%? ¿y 120 - 40%? ¿Pensás que se obtienen los mismos resultados si se marcan los números en otro orden, por ejemplo 40 × 120% o 40 ÷ 120%? ¿Por qué? b) Anotá los pasos que hay que seguir con tu calculadora para obtener.^2

• el X por ciento de una cantidad Y
• el resultado de realizar un descuento del X por ciento a una cantidad Y
• el resultado de aumentar en un X por ciento a una cantidad Y. c) Compará tus respuestas con las obtenidas por otros compañeros. Regis- tren las conclusiones con las que hayan acordado entre todos.

1. Puede utilizarse cualquier celular que cuente con sistema operativo Android o modelos anteriores.
2. En esta actividad las letras X e Y toman los valores que quieras asignarle, para poder avanzar con las instrucciones necesarias para calcular porcentajes con la calculadora del celular.

| ACTIVIDAD 3

Poné en juego las respuestas y conclusiones a las que llegaron en la siguien- te situación.

a) ¿Cuál es el porcentaje de descuento pagando en 12 cuotas respecto del precio de lista? Y si el pago es en efectivo, ¿cuál es el porcentaje de descuento?

En términos matemáticos, el porcentaje es una relación entre dos grupos de valores en donde se considera para uno de ellos, 100 uni- dades. -Por ejemplo, si sobre una compra de $140 realizan un descuento de $35, significa que cada $100 me descuentan $25. Porque 35/ = 25/100, la razón entre el descuento y el valor original es de 25 en 100, o sea del 25%. -Otro ejemplo que puede servir es considerar que una taza de cereal de 40 g contiene 20 g de azúcar, o sea que la mitad es azúcar, que equivale a considerar que cada 100 g de cereal hay 50 g de azúcar; 20/40 = 50/100, es decir que la razón entre el peso del azúcar y el peso completo del cereal es del 50%.

| ACTIVIDAD 4

Marcos y Juan estaban buscando descuentos en marcas deportivas cuando encontraron la promoción indicada en la imagen. A Marcos le pareció que había errores en los porcentajes que se indicaban ya que, según él: el 20% más el 35% no es el 48%.

Marca: Nokia Código del producto: LUMIA640B Disponibilidad: En stock Precio lista: $5000 oferta: $ en 12 cuotas de $366, Efectivo: $

| ACTIVIDAD 5

a) Buscá en facturas de servicios, avisos en el diario, carteles de promoción en un banco, etc., expresiones en las que aparezcan porcentajes. b) Anotá tres y explica qué significa cada expresión. c) Identificá si la propuesta que se anuncia te resulta conveniente, indican- do los motivos de tu elección.

2. Mezclas, relaciones entre magnitudes

En esta primera unidad comenzamos a transitar el camino para vincular- nos con esta forma particular de quehacer matemático, donde la comunica- ción y los argumentos sobre lo producido son una parte fundamental, ya que dan cuenta de nuestra manera de pensar. De eso se trató al tener que calcular y comparar porcentajes, teniendo que decidir sobre la conveniencia de una propuesta comercial. Esta también es una perspectiva social y política. Se trata de desarrollar capacidades para situarse de forma activa frente al uso cada vez más frecuente de estadísticas, encuestas, índices, que abundan como argumento matemático en los discursos sociales. Hasta aquí, nos ocupamos de trabajar con algunas nociones matemáticas ligadas a problemas de porcentajes/descuentos, avanzando en esta parte con equivalencias entre unidades de medida, que nos servirán para trabajar con las propiedades de la proporcionalidad directa y algunos de los conceptos asociados. Los números naturales nos permiten contar los asistentes a un espectáculo, los nacimientos producidos durante el primer día del año, la producción de herramientas de una fábrica en un día, etc., pero para medir la longitud de una cuerda, el peso de un camión de cereales o la temperatura de un cuerpo se usan los números racionales. Para expresar estas cantidades se utiliza un número y una unidad de medida, por ejemplo: 2,7 metros, 4,5 toneladas, 12°.

Cantidad 2,7 metros Medida unidad

Para utilizar los términos adecuados, vamos a denominar magnitud a los atributos físicos que podemos medir. En 1960, la 11a^ Conferencia General de Pesas y Medidas estableció en París el Sistema Internacional de Medidas (SIM) que terminó de definirse en 1971 al considerar 7 magnitudes con su unidad fundamental. En la Argentina su uso se estableció en marzo de 1972 a partir de la Ley N° 19511 y lo conocemos con el nombre de Sistema Métrico Legal Argentino (SIMELA).

En el caso de las magnitudes longitud y masa este sistema tiene la misma estructura que el sistema decimal de numeración, dado que los cambios de unidades se realizan de 10 en 10. No ocurre lo mismo con las otras, que res- ponden a otras relaciones

1 centena = 10 decenas = 100 unidades 1 décimo = 10 centésimos = 100 milésimos 1 hectómetro = 10 decámetros = 100 metros 1 decímetro = 10 centímetros = 100 milímetros

Entonces, para realizar una medición es necesario comparar la magnitud en relación con una unidad de medida. Por ejemplo, al medir la longitud de una cinta, podemos considerar como unidad el centímetro, o para establecer la capacidad de un recipiente, utilizar el litro. Así es posible asociar un núme- ro determinado a esa cantidad. A continuación vamos a trabajar en otro contexto, relacionado con las ciencias naturales, donde las magnitudes y sus unidades de medida tienen

MAGNITUD LONGITUD TIEMPO MASA CORRIENTEELÉCTRICA TEMPERATURA INTENSIDADLUMINOSA DE SUSTANCIACANTIDAD unidad metro segundo kilogramo ampere kelvin candela mol

c) ¿Con qué debemos alimentarnos para cumplir con lo indicado por la OMS? Hacé una propuesta para la dieta de un día para una persona en el rango de edad indicado.

| ACTIVIDAD 7

La próxima tabla muestra la cantidad de calcio que contienen diferentes lácteos, dando valores aproximados extraídos del Comité Nacional de Endo- crinología de la Sociedad Argentina de Pediatría:

LÁCTEOS Gramos Contenido en Calcio (mg) Leche entera 250 275 Leche descremada 200 240 Leche fortificada 100 184 Yogur entero 160 240 Yogur descremado 120 195 Yogur fortificado 200 625

a) Realizá los cálculos necesarios para seleccionar pares de lácteos que ten- gan mayor concentración de calcio, por ejemplo: leche descremada y yogur fortificado, o yogur entero y leche descremada. Explicá tu elección. b) Compará qué lácteo tiene mayor concentración de calcio:

• leche descremada y yogur descremado
• leche entera y leche descremada c) ¿Qué tuviste en cuenta para realizar las comparaciones?

| ACTIVIDAD 8

Al resolver la actividad anterior, es posible utilizar fracciones para expre- sar la concentración de calcio (mg) por cada gramo de lácteo. Por ejemplo, 24/16 expresa que el yogur entero tiene 24 mg de calcio por cada 16 gra- mos de alimento. a) ¿Es equivalente a 3/2, o sea que 2 gramos de yogur entero contienen 3 mg de calcio? ¿Cómo explicarías tu respuesta? b) Indicá cuáles de las siguientes expresiones corresponden a los lácteos de la tabla anterior. No olvides explicar por escrito cómo te diste cuenta.

3/2 120/100 97/60 25/8 195/ 275/250 13/8 312/100 6/5 11/

c) Al establecer la relación entre las concentraciones de calcio y las fraccio- nes, estuviste comparando estas expresiones. A modo de ejercitación, traba- jando en el contexto exclusivamente matemático, ordená de menor a mayor las siguientes expresiones e indicá qué tuviste en cuenta al hacerlo.

3/2 3/4 6/8 6/12 2/5 10/

Hasta aquí, utilizamos la relación que existe entre la cantidad de calcio y el peso en determinados alimentos, a modo de ejemplo, para trabajar con los números racionales en el contexto de la proporcionalidad; esto se muestra al

-las definiciones de unidades compuestas tales como densidad, velocidad y/o aceleración. Y otras cuestiones que seguramente encontrarán en las materias de sus respectivas carreras.

| ACTIVIDAD 9

¿Cuáles de los conceptos recién mencionados recordás? Puede ser útil re- visar algunos libros o apuntes de la escuela secundaria. Intentá escribir el significado de alguno de los conceptos anteriores, quizás dando ejemplos. Indicá otro ejemplo que relaciones con situaciones de proporcionalidad. Para poder avanzar, vamos a recuperar algunos de estos conceptos, a partir de su estudio matemático, brindando ejemplos que permitan reconocerlos. Es importante aclarar que cuando se define y ejemplifica un concepto, esto solo da cuenta de un recorte particular, de una posible manera de abordarlo.

I.- La razón entre dos cantidades a y b es un número R , tal que a = R x b, es decir, el número que expresa la razón entre una cantidad y otra tomada como unidad, es la medida de la primera respecto de la segunda. Por ejemplo, la razón entre la cantidad de lentejas (en mg) con respecto a la cantidad de calcio (también en mg) es de 2 mg en 1000 mg, ya que la con- centración en 100 g de lentejas es de 200 mg de calcio. Otro ejemplo, la superficie de un cuadrado de papel glasé con respecto de la superficie de un cuadradito de 1 cm de lado es 100. Esto es porque la super- ficie de un cuadrado de papel glasé = 10 x 10 y la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado = 1 cm^2 El valor de la cantidad es el producto de la medida (100) por la unidad adoptada (1 cm 2 ) 1 dm 2 = 100 cm^2

II.- Proporción numérica Los números a , b , c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que entre c y d.

Por ejemplo: 3/7 y 9/21 forman una proporción, ya que la razón entre 3 y 7 es la misma que la razón 4 entre 9 y 21. Es decir 3/7 = 9/21.

En hay cuatro términos: a y d se llaman extremos, c y b , medios. En toda proporción, el producto de los extremos es igual al de los medios, esto es lo que explica la manera en que resolvemos algunos problemas de pro- porcionalidad, usando la llamada “regla de tres”. En general

En los números del punto anterior 3/7 = 9/21 se cumple que el producto de los extremos 3 × 21 = 63 y el producto de los medios 7 × 9 = 63, son iguales. También puede servir como ejemplo, la estrategia usada para calcular la cantidad de calcio en 180 g de carne vacuna, 3/20 = X / X = 180 · 3 / 20 = 27, es decir, 27 mg de calcio

III.- Cantidades directamente proporcionales Ya abordamos distintas situaciones en donde trabajamos con cantidades directamente proporcionales, por ejemplo: -de compra y venta de productos, al determinar el precio a partir del peso del producto o de la cantidad de unidades; -al establecer la concentración de un elemento según el peso de un alimento.

4. De ser necesario, volvé a leer lo escrito sobre razón, en el punto anterior. Son conceptos asociados.

a b

c d

= ⇒ a · d = b · c

a

b

c

d

=

a b

c d

La situación sigue siendo la misma, pero depende de cómo se quiera dar a conocer la información, qué es importante destacar, o si nos interesa tener una respuesta general, el tipo de registro que utilicemos. Veamos la información en una tabla de valores, que es el registro aritmé- tico más habitual

Las cantidades de bolsas de semillas y peso en kg se relacionan de forma directamente proporcional. -La constante de proporcionalidad para obtener el peso en kg de un cierto número de bolsas es 20. kg de semillas = 20 x cantidad de bolsas -La constante de proporcionalidad para obtener el número de bolsas de un cierto peso de semilla es 0,05. Cantidad de bolsas = 0,05 x kg de semillas El valor de la constante nos permite producir la fórmula o expresión algebraica de la relación. Usando esta tabla se puede comprobar que, si se suman dos valores en una misma fila, es posible determinar el valor que corresponde a la suma, sumando los valores correspondientes en la otra fila. Por ejemplo, para calcular cuántas bolsas corresponden a 24.000 kg (24 ton) basta sumar las bolsas que corresponden a 20.000 kg y 4.000 kg

1.000 200 1. 20.000 4.000 24.

NÚMERO DE BOLSAS 1 2 20 10 1.000 200 Peso en kg 20 40 400 200 20.000 4.

En general si dos cantidades se corresponden de forma directamente pro-

porcional

Estas expresiones dan cuenta de las propiedades de la proporcionalidad

directa.

Si los valores correspondientes a una relación de proporcionalidad directa

se representan en un sistema de coordenadas cartesianas, los puntos del grá-

fico que se obtiene se encuentran en una recta que pasa por el origen de las

coordenadas.

0

bolsas/kg de semillas

0 200 400 600 800 1.000 1.

CANTIDAD 1 CANTIDAD 2 a e b f c g d h a + b e + f b - d f - h c x n g x n c / m g / m a e

b f = c g

d h

= = a + b e + f

= b - d f - h

= c^ ·^ m g · n

= c/m g/n =