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Cuadrados magicos matemática, Ejercicios de Matemáticas

Matemáticas

Ejercicio de matemáticas incluida la.ley de signos donde se aplica suma y resta

Tipo: Ejercicios

2021/2022

Subido el 18/05/2022

erika-jaramillo-11
erika-jaramillo-11 🇪🇨

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CUADRADOS MÁGICOS
Este juego consiste en un cuadrado con nueve casillas, donde se han de colocar nueve
números que sumados en vertical, en horizontal y en diagonal siempre den el mismo
resultado.
ACTIVIDAD 1: COMPROBAR SI UN CUADRADO ES O NO MÁGICO
Descubre cuál de estos cuadrados es un cuadrado mágico. Indica en caso afirmativo cuál
es el valor de la suma de cada línea.
A) B) C)
D) E) F)
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¡Descarga Cuadrados magicos matemática y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

CUADRADOS MÁGICOS

Este juego consiste en un cuadrado con nueve casillas, donde se han de colocar nueve números que sumados en vertical, en horizontal y en diagonal siempre den el mismo resultado. ACTIVIDAD 1: COMPROBAR SI UN CUADRADO ES O NO MÁGICO

Descubre cuál de estos cuadrados es un cuadrado mágico. Indica en caso afirmativo cuál es el valor de la suma de cada línea. A) B) C)

D) E) F)

G) H) I)

J) K) L)

Sol: A) No B) Si S=3 C) No D) Si S=-6 E) No F) No G) Si S = 6 H) Si S=-4 I) No J) Si S=1 K) No L) Si S=-

ACTIVIDAD 2: COMPLETAR UN CUADRADO MÁGICO (NATURALES)

Completa los siguientes cuadrados mágicos de números naturales.

Estrategia: 1º. Primero halla lo que suma una línea que esté completa. 2º. Comienza por completar las líneas a las que sólo falte un número.

A) B) C)

Suma = Suma =^ Suma =

D) E) F)

S = S = S=

G) H) I)

S = S = S =

ACTIVIDAD 4. CUADRADOS MÁGICOS MULTIPLICATIVOS

La multiplicación de los números de cada fila, columna o diagonal debe ser la misma. Completa los siguientes cuadrados mágicos multiplicativos de números enteros.

A) B) C)

Producto = Producto = Producto =

D) E) F)

P = P = P =

G) H) I)

P = P = P =

ACTIVIDAD 5: INVESTIGACIÓN

Si realizo una operación matemática (sumar, restar, multiplicar o dividir por un nº), a cada casilla de un cuadrado mágico, ¿obtendremos otro cuadrado mágico?. Si es así, encuentra la relación que tienen la suma de las líneas S y S´ de ambos cuadrados mágicos.

CUADRADO INICIAL OPERACIÓN CUADRADO FINAL

S =

Sumo 5 a cada casilla del cuadrado inicial.

S´=

S =

Resto 4 a cada casilla del cuadrado inicial.

S´=

S =

x (-3)

Multiplico por (-3) a cada casilla del cuadrado inicial.

S´=

S =

Divido entre (-2) a cada casilla del cuadrado inicial.

S´=

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Septiembre 2009 • 2009ko Iraila 107

SIGMA

34 LA MAGIA DE LOS CUADRADOS MÁGICOS

Pedro Alegría (*)

El estudio de los llamados cuadrados mágicos ha estado siempre presente en la matemática recreativa. No sólo su propiedad fundamental, “la suma de todos los números de cada fila, de cada columna y de cada diagonal es constante”, sino que algunos de los métodos ideados para su construcción son tan ingeniosos que merecen el apelativo de “mágicos”.

Los cuadrados mágicos han estado presentes en todas las épocas y culturas del conocimiento humano, han sido objeto de veneración religiosa, se han utilizado como elementos mágicos y místicos, han merecido un lugar destacado en diversas manifestaciones artísticas e industriales e, incluso, han despertado el interés entre los más ilustres matemáticos a lo largo de la histo- ria, no sólo por su componente recreativa o didáctica. Algunos de los resultados matemáticos relativos a los cuadrados mágicos tienen aplicaciones importantes a diversos campos del conocimiento científico.

Sin pretender aportar nuevas propiedades de estos elementos matemáticos, ofrecemos aquí una exposición de algunas de sus peculiaridades y características principales y describiremos algunas aplicaciones que justifiquen su apelativo de “mágicos”, no en el contexto de la magia mística sino en el del ilusionismo. Este enfoque puede proporcionar una nueva manera de introducir contenidos matemáticos en programas didácticos y divulgativos en diferentes etapas de la formación educativa.

  1. INTRODUCCIÓN

Por definición, un cuadrado mágico de orden n es un tablero cuadrado formado por n filas y n columnas en las que se escriben los n^2 primeros números naturales, de modo que sea constante la suma de los números de cualquier fila, cualquier columna y cualquiera de las dos diagonales.

No es un ejercicio difícil determinar que dicho valor constante, llamado constante mágica , es igual a n(n^2 +1)/2. Para obtener este resultado, basta dividir por n la suma de los n^2 primeros números naturales.

En un contexto más general, utilizamos también el término cuadrado mágico incluso si se eli- mina la restricción de que la matriz esté formada por los n^2 primeros números naturales.

Un caso particular de estos cuadrados mágicos generales, que se han puesto de moda con el popular pasatiempo llamado SUDOKU, lo constituyen los cuadrados latinos. Un cuadrado latino de orden n es un tablero cuadrado formado por n filas y n columnas en las que se escri- ben n números distintos pero dispuestos de modo que cada número aparece una y sólo una vez en cada fila y columna.

1 2 3

2 3 1 Ejemplo de cuadrado latino de orden 3

3 1 2

(*) Dpto. Matemáticas, Universidad del País Vasco.

Es famoso el problema de los oficiales propuesto por Leonhard Euler en 1779, el cual ha sido origen de importantes resultados en Combinatoria y Teoría de Grafos, así como en diseño de experimentos estadísticos. El problema, cuya respuesta es negativa, se plantea como sigue:

"De cada uno de seis regimientos distintos se escogen seis oficiales de distinto rango, por ejemplo general, coronel, capitán, teniente, alférez y sargento. Queremos colocar los 36 ofi- ciales en seis filas de seis personas cada una de manera que en ninguna fila y ninguna columna haya dos oficiales del mismo rango ni del mismo regimiento. ¿Es posible dicha disposición?" En su aspecto recreativo, es también muy conocido el solitario de los naipes, cuya solución animamos a descubrir. Su planteamiento es el siguiente:

"De una baraja se extraen las cuatro figuras, sota, caballo, rey y as de todos los palos. Se pide colocar las 16 cartas formando un cuadrado 4 x 4 de modo que cada fila y columna contenga únicamente una carta de cada valor y de cada palo".

  1. ASPECTOS HISTÓRICOS

Los cuadrados mágicos se conocen desde la antigüedad (año 2800 a.C.) por los chinos. Se dice que su origen se remonta a la leyenda del “Lo Shu” (Shu significa libro en chino):

En una época pasada, grandes inundaciones asolaron una región de China. Los pobladores intentaron apaciguar la cólera del río Lo (el actual río Amarillo) ofreciendo sacrificios, pero no lograron dar con la cantidad adecuada hasta que observaron una tortuga que llevaba en la con- cha unos símbolos en forma de cuadrado mágico 3 x 3, con lo que dedujeron que el número adecuado era precisamente el 15, suma de todas las filas, columnas y diagonales.

4 9 2

3 5 7

8 1 6

Los chinos dieron un entorno místico a esa figura pues asignaron, a los números, los princi- pios básicos de la vida: los números pares simbolizaron el principio yin , de lo femenino, y los impares el principio yang , de lo masculino. El centro del cuadrado está ocupado por el 5), que simboliza la Tierra y representa el equilibrio entre el yin y el yang pues pertenece a las filas, a las columnas y a las diagonales. En los lados se representan los cuatro elementos principales: los metales (4 y 9), el fuego (2 y 7), el agua (1 y 6) y la madera (3 y 8).

En el Renacimiento se utilizaron cuadrados mágicos con fines terapéuticos. Por esto, como amuleto para ahuyentar la melancolía, los astrólogos de la época “recetaban” cuadrados mági- cos de orden cuatro. Muestra de ello es la pintura del alemán Alberto Durero, quien puso un cuadrado mágico de cuarto orden en posición dominante en su grabado Melancolía.

Otros tipos de cuadrados mágicos no corrieron la misma suerte pues era de mal augurio estar en posesión de ellos. Algunos eran “diabólicos” pues, al intercambiar algunas filas o columnas, se mantienen sus propiedades. Otros eran “satánicos” porque seguían siendo un cuadrado mágico cuando se elevaba cada uno de sus números al cuadrado o al cubo.

Los pueblos árabes atribuían a los cuadrados mágicos propiedades misteriosas. A partir de una obra de un autor anónimo árabe del siglo XI, que se conserva en Estambul, Jacques Sesiano ha realizado en 1996 la reproducción, traducción y comentarios que se muestran en el libro

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Pedro Alegría

SIGMA Nº 34 • SIGMA 34 zk.

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Pedro Alegría

SIGMA Nº 34 • SIGMA 34 zk.

Este es un cuadrado mágico pandiagonal , es decir en el que también es constante la suma de los números de las diagonales secundarias.

La imagen que mostramos a continuación es un grabado en cobre titulado Melancolia de Alberto Durero, y muestra un cuadrado mágico en el cual aparece la fecha de finalización del cuadro, 1514. Otras informaciones indican que la última fila contiene incluso la fecha de fallecimiento de su esposa, día 4 del año 1514, mes 1 (Enero).

En dicho cuadrado existen hasta 86 diferentes combinaciones de cuatro números cuya suma es el número mágico 34. Pero tiene más propiedades mágicas: la suma de los cuadrados de los números de las dos primeras filas (o columnas) es igual a la suma de los cuadrados de los números de las dos últimas filas (o columnas). Además, la suma de los cuadrados de los números de filas (o columnas) alternadas (primera y tercera, segunda y cuarta) es la misma. Otro hecho asombroso es que la suma de los cuadrados de los números situados sobre las dia- gonales es igual a la suma de los cuadrados de los números no situados sobre las diagonales, propiedad que también se cumple con los cubos.

El siguiente cuadrado mágico fue diseñado por el escultor Josep Subirachs para la fachada de la Pasión de la Sagrada Familia:

Su característica principal consiste en que la suma de las filas y columnas es 33, la supuesta edad de Cristo en el momento de su muerte.

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La magia de los cuadrados mágicos

Se trata a su vez de un cuadrado supermágico, pues es innumerable la cantidad de combina- ciones que pueden realizarse para conseguir la misma suma.

Los cuadrados mágicos han aparecido también en el arte figurativo. La escultura que mos- tramos en la figura adjunta es obra del artista Patrick Ireland y se encuentra en el jardín de la galería de arte de Eaton en West Palm Beach, Florida. Representa un cuadrado mágico de orden 3 en el que los números se han sustituido por bloques de diferentes tamaños.

Métodos generales de construcción de cuadrados mágicos se deben a Bachet, La Loubère, Meyer, Conway y muchos otros. Posteriormente ilustraremos algunos de sus métodos. Todavía actualmente se estudian sus propiedades y se obtienen clasificaciones generales. Éduard Lucas bautizó con el nombre de cuadrados diabólicos a cuadrados mágicos con propiedades adicio- nales muy sorprendentes.

Solamente existe un cuadrado mágico (salvo simetrías y rotaciones) de orden tres, 880 cuadra- dos mágicos de orden cuatro (descritos en su totalidad por Bérnard Frenicle de Bessy en 1693) y 275.305.224 cuadrados mágicos de orden 5, número obtenido por Richard Schroeppel mediante un programa de ordenador en 1973. El número de cuadrados mágicos crece consi- derablemente al aumentar el orden, pero no se conoce una fórmula general para determinar el número de cuadrados mágicos de cualquier orden.

Los cuadrados mágicos ilustran de forma atractiva propiedades aritméticas así como de facto- rización de enteros. Su teoría y métodos de construcción pueden aplicarse en la resolución de sistemas de ecuaciones con muchas incógnitas.

  1. JUEGOS DE MAGIA CON CUADRADOS MÁGICOS

En esta sección presentamos algunos juegos relacionados con cuadrados numéricos con pro- piedades mágicas y mostramos algunos métodos ingeniosos de construcción de cuadrados mágicos. Su interés no se limita a su característica recreativa sino que presentan valiosas cua- lidades pedagógicas.

3.1 Calendarios mágicos

El siguiente juego de adivinación con un calendario se basa en una propiedad de los cuadra- dos que contienen números dispuestos en orden creciente. Aunque no sean cuadrados mági- cos propiamente dichos, contienen una constante mágica que es la suma de ciertos valores de los cuadrados.

El desarrollo del juego es el siguiente:

- Busca un calendario y escoge cualquier mes.