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Tema IV:
- Conceptos básicos.................................................................................................. Cuadripolos
- Clasificación general de cuadripolos
- Parámetros característicos
- Reciprocidad y simetría
- Obtención de los parámetros característicos
- Inserción de un cuadripolo en un circuito........................................................
- Interconexión de cuadripolos
- Ejemplo 1 de cuadripolos...................................................................................
- Ejemplo 2 de cuadripolos...................................................................................
- Ejemplo 3 de cuadripolos...................................................................................
- Ejemplo 4 de cuadripolos...................................................................................
- Ejemplo 5 de cuadripolos...................................................................................
- Ejemplo 6 de cuadripolos...................................................................................
Conceptos básicos
Definición Condiciones de estudio
El circuito es tratado como una caja negra con dos puertas (cuatro terminales) de conexión al exterior.
El comportamiento eléctrico del circuito es descrito en función de las tensiones y corrientes en las puertas, que se relacionan entre sí mediante un juego de parámetros característicos.
El cuadripolo no contiene fuentes independientes.
En ausencia de excitación externa no hay energía almacenada en el cuadripolo.
Regímenes permanentes continuo o sinusoidal.
entradasalida
circuito
cuadripolo
i (^1)
i 1
i (^2)
i (^2)
v (^1)
v (^2)
excitación e impedancia
asociada
carga
Esquema general
Clasificación general de cuadripolos
Pasivos Activos
La potencia entregada a la carga nunca puede ser mayor que la que la excitación entrega a la entrada
La potencia entregada a la carga puede ser mayor que la que la excitación entrega a la entrada
Obtención de los parámetros característicos
Caso general Aplicando las definiciones de los parámetros a partir de medidas o del conocimiento del interior del cuadripolo
Caso particular Si se conoce el interior del cuadripolo, se puede caracterizar su comportamiento mediante un sistema de dos ecuaciones, que se compara con el correspondiente a la definición de los parámetros
Equivalencia entre parámetros
Si se conoce un juego de parámetros, a partir de él puede deducirse cualquier otro
Inserción de un cuadripolo en un circuito
El comportamiento de un cuadripolo en un circuito queda completamente caracterizado por un sistema de cuatro ecuaciones, a partir del cual es posible obtener cualquier función que se desee.
cuadripolo
V 1
V 2
I 1 I 2
Z L
ZG
V G
Ejemplo
Circuito en régimen sinusoidal permanente.
Excitación representada por una fuente de tensión independiente en serie con una impedancia.
V G = I 1 Z G + V 1
V 2 = - I 2 Z L
dos ecuaciones de parámetros
Impedancia de entrada Ganancia de corriente Ganancia de potencia Equivalente Thèvenin Impedancia de carga para máxima potencia Otros
Interconexión de cuadripolos
El cuadripolo resultante de la interconexión de dos cuadripolos está caracterizado por unos parámetros que se calculan como se indica seguidamente.
Conexión Esquema Resultado
Cascada
Serie
Paralelo
Serie-paralelo
Paralelo-serie
[abcd] = [abcd] 1 × [abcd] (^2)
[z] = [z] 1 + [z] (^2)
[y] = [y] 1 + [y] (^2)
[h] = [h] 1 + [h] (^2)
[g] = [g] 1 + [g] (^2)
Se supondrá que las reglas de conexión son válidas siempre, aunque estrictamente hablando sólo lo son siempre para la agrupación en cascada.
Ejemplo 2 de cuadripolos
I 1
cuadripolo 1
I 2
V 1
V 2
El cuadripolo de la figura funciona en régimen permanente continuo, siendo simétrico en tales condiciones. Se efectúa una medida en él, que arroja los siguientes resultados:
V 1 = 8 V, V 2 = 2 V, I 1 = 6 A, I 2 = 0 A
Se desea obtener los parámetros abcd del cuadripolo 1 en continua
Los parámetros de transmisión están definidos por las relaciones
V 1 = V 2 a - I 2 b, I 1 = V 2 c - I 2 d (1)
A partir de ellas pueden obtenerse los parámetros aplicando sus definiciones. Es decir,
a =
V 1
V 2 I 2 = 0 A
, b = -
V 1
I 2 V 2 = 0 V
, c =
I 1
V 2 I 2 = 0 A
, d = -
I 1
I 2 V 2 = 0 V
Puede observarse que las condiciones de la medida mencionada en el enunciado corresponden precisamente con las necesarias para obtener a y c. Así,
a =
V 1
V 2 I 2 = 0 A
= 4, c =
I 1
V 2 I 2 = 0 A
= 3 S
Además,
recíproco (porque es simétrico)
simétrico
a = d ⇒ d = 4
ad - bc = 1 ⇒ b = 5 Ω
En resumen,
[abcd] 1 = 4 5 Ω 3 S 4
I 1
cuadripolo 1
I 2
V 1
V 2
1 R
Se dispone el montaje de la figura (R = 1 Ω).
Se desea obtener los parámetros abcd del cuadripolo 1234 en continua.
I 1 I 2
V 1
V 2
R
Se trata de la interconexión en cascada del cuadripolo 1 y el cuadripolo R, siendo el segundo el representado en la figura adjunta.
A partir de ella pueden formularse las ecuaciones
V 1 = V 2 - I 2 R, I 1 = - I 2 (2)
Comparando (1-2) se deduce
a = 1, b = R = 1 Ω, c = 0 S, d = 1
De acuerdo con las reglas de la agrupación en cascada,
[abcd] 1234 = [abcd] 1 × [abcd] (^) R = 4 5 Ω 3 S 4
× 1 1 Ω
0 S 1
3 S 7
Puede observarse que el cuadripolo 1234 es recíproco
ad - bc = 1
pero no simétrico
a ≠ d
Ejemplo 4 de cuadripolos
I 2
V 2
- R
L
I 1
V 1
RG
VG
Se desea obtener los parámetros z (son todos positivos) y la potencia en el cuadripolo cuando está insertado en el circuito.
El cuadripolo de la figura es recíproco y funciona en continua. Sobre él se efectúan tres medidas, que arrojan los siguientes resultados:
1: V 1 = 100 V, I 1 = 20 A, I 2 = 0 A 2: V 1 = 0 V, I 1 = 8 A, V 2 = 2 V 3: I 1 = 0 A, V 2 = 3 V, I 2 = 1 A
VG = 8 V, R G = 11 Ω, RL = 2 Ω
Definición de parámetros z
Condición de reciprocidad en (1-2) (z 12 = z 21 )
V 1 = I 1 z 11 + I 2 z (^12)
V 2 = I 1 z 21 + I 2 z (^22)
V 1 = I 1 z 11 -
z 122 z (^22)
+ V 2
z (^12) z (^22)
Condiciones de medida 1 en (1) Condiciones de medida 3 en (2)
z 11 = 5 Ω z 22 = 3 Ω
Condiciones de medida 2 en (3) ⇒^
z 12 = z 21 = 4 Ω z 12 = z 21 = - 3.75 Ω (no vale)
Cuadripolo insertado en el circuito
V 1 = I 1 z 11 + I 2 z (^12)
V 2 = I 1 z 21 + I 2 z (^22)
VG = I 1 R + V 1 V 2 = - I 2 RL
I 1 = 0.625 A
I 2 = - 0.5 A
Potencias en distintos elementos del circuito:
P(V G ) = - V GI 1 = - 5 W, P(R G ) = I 12 R G = 4.3 W, P(R L ) = I 22 R L = 0.5 W
El balance de potencias en todo el circuito ha de ser nulo.
P(V (^) G) + P(R (^) G ) + P (^) cuad + P(R (^) L) = 0 W ⇒ P (^) cuad = 0.2 W
Ejemplo 5 de cuadripolos
V G
ZG +
V 1
R 1
I 1
L 1
M
R 3 +
V 3
I 3
+ V 4 -
1:a
I 2
V 2
- Z
L 3 L
El cuadripolo de la figura funciona en régimen sinusoidal permanente a una frecuencia dada y son datos las características de todos los elementos.
Se desea obtener los parámetros z del cuadripolo a la frecuencia considerada y la potencia compleja en ZL cuando el cuadripolo está insertado en el circuito.
En el cuadripolo se verifican las ecuaciones
V 1 = I 1 (R 1 + jωL 1 ) - I 3 jωM
0 = - I 1 jωM + I 3 (jωL 3 + R 3 ) + V 3
V 3 = V 4 + V 2 V 4 V 3
= - a,
I 3 + I 2
I 2
= - a
La caracterización de un cuadripolo se hace en función exclusivamente de las corrientes y las tensiones en sus puertas. En consecuencia, es necesario eliminar del sistema anterior I 3 , V 3 y V 4.
Manipulando el sistema anterior se llega a las ecuaciones
V 1 = I 1 (R 1 + jωL 1 ) + I 2 jωM(1 + a)
V 2 = I 1 jωM(1 + a) + I 2 (R 3 + jωL 3 )(1 + a) 2
Comparando estas ecuaciones con las correspondientes a la definición de los parámetros de impedancia se obtiene
z 11 = R 1 + jωL 1 , z 12 = jωM(1 + a) z 21 = jωM(1 + a), z 22 = (R 3 + jωL 3 )(1 + a) 2
Ejemplo 6 de cuadripolos
V G
ZG
I 1
V 2
- Z
L
V 1
I 2 El circuito de la figura funciona en régimen sinusoidal permanente a una frecuencia dada, para la cual se conocen los parámetros h del cuadripolo.
Se desea obtener el equivalente Thèvenin en la puerta de salida del cuadripolo en las condiciones indicadas.
Cálculo de la tensión de circuito abierto
V G
ZG
I 1
V 2
V 1
I 2
V Th
V 1 = I 1 h 11 + V 2 h (^12) I 2 = I 1 h 21 + V 2 h (^22)
V G = I 1 Z (^) G + V 1 V 2 = - I 2 Z (^) L
I 2 = 0 A ⇒ V 2 =
h (^21) h 12 h 21 - h 22 (Z (^) G + h 11 )
V G = V Th
Cálculo de la corriente de cortocircuito
V G
ZG
I 1
V 2
V 1
I 2
I N
V 1 = I 1 h 11 + V 2 h (^12) I 2 = I 1 h 21 + V 2 h (^22)
V G = I 1 Z (^) G + V 1 V 2 = - I 2 Z (^) L
V 2 = 0 V ⇒ I 2 =
h (^21) Z (^) G + h (^11)
V G = - I N
Impedancia equivalente
Z (^) Th =
V Th I N
Z (^) G + h (^11) h 12 h 21 - h 22 (Z (^) G + h 11 )
