Curso Concreto Armado I, Diapositivas de Matemáticas

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CONCRETO ARMADO I

ING. MARDONIO EUSCATIGUE ASENCIOS

ESPECIFICACIONES ACI

Una especificación es un conjunto de reglas que tienen por objeto obtener

una estructura segura y estable en el tiempo.

Los “Requisitos de Reglamento para el Concreto Estructural” del Instituto

Americano del Concreto (ACI 318 ) consideran dos filosofias:

• “Diseño por Esfuerzos Permisibles” – ASD (Allowable Stress Desing)
• “Diseño por Resistencia Ultima – USD (Ultimate Strength Desing).

Los estados límites se dividen en 2 categorías: Resistencia y Servicio.

• Fórmula Combinación de Carga

USD

• 9 - 1 1.4(D + F)
• 9 - 2 1.2(D+F+T) + 1.6(L+H) + 0.5 (S ó Lr ó R)
• 9 - 3 1.2 D + 1.6 (Lr ó S ó R) + (0.8 W ó 1.0 L)
• 9 - 4 1.2 D + 1.6 W + 1.0 L + 0.5 (Lr ó S ó R)
• 9 - 5 1.2 D + 1.0 E + 1.0 L + 0.2S
• 9 - 6 0.9 D + 1.6 W + 1.6 H
• 9 - 7 0.9 D + 1.0 E + 1.6 H

D : Carga muerta, L : Carga viva interior, Lr : Carga viva en techo, T : Carga debida a las variaciones de temperatura, S : Carga de nieve, R : Carga por lluvia en techos planos cuando falla desague, W : Carga de viento, E : Carga de sismo, F : Carga debido al peso y presión de fluidos, H : Carga debida al peso y presión de suelos.

Por efecto del diseño estructural debe considerarse la combinación de cargas que genere el mayor resultado (mayor requerimiento estructural), teniendo presente que la resistencia de diseño sea igual o mayor que dicho requerimiento.

ANALISIS Y DISEÑO POR FLEXIÓN:

Hipótesis para determinar la resistencia nominal a flexión

 El concreto no podrá desarrollar una fuerza de comprensión mayor a la de

su resistencia f´c.

 El concreto tiene un resistencia a la tracción muy pequeña y que se agrieta

aproximadamente cuando esta alcanza un 10 % de su resistencia f´c , por lo

que se omite en los cálculos de análisis y diseño y se asume que el acero

toma toda la fuerza total en tracción.

 La relación esfuerzo-deformación del concreto se considera lineal sólo

hasta aproximadamente el 50 % de su resistencia.

 Prevalece la hipótesis de Bernoulli en la que las secciones planas antes de

la flexión permanecen planas y perpendiculares al eje neutro después de la

flexión.

 La deformación unitaria del concreto en la rotura es: cu = 0. 003

VIGA SIMPLEMENTE REFORZADA:

Si hacemos el equilibrio en la sección tenemos lo siguiente:

Cc = T

0.85 f’c ba = Asfs

De lo anterior, se concibe tres tipos de falla, en una sección de viga

simplemente reforzada.

1. Se conoce como falla dúctil cuando el acero en tracción ha llegado primero

a su estado de fluencia antes que el concreto inicie su aplastamiento en el

extremo comprimido; o sea cuando en la falla s > y donde y es el valor

de la deformación para el cual se inicia la fluencia del acero.

2. Se conoce como falla balanceada si simultáneamente se inicia la fluencia

del acero y el aplastamiento del concreto, es decir cuando en la falla

ocurre que s = y.

0.85f' b

A f

a

c

s s

3. Se conoce como falla frágil si primeramente se inicia el aplastamiento del

concreto antes que el inicio de la fluencia del acero en tracción, es decir

cuando en la falla s < y.

c f’c 0.85 f’c

c c

(d – a/2)

T = As fs T = As fs

c c a =  1 c

 (^) s

Eje Neutro

h

b

d

c

Sección transversal de viga

Diagrama de Deformación Unitaria

Esfuerzos reales En la sección

Esfuerzos equivalente

De la figura tenemos:

Haciendo el equilibrio, C c = T , y despejando As tenemos:

c = 0.

 (^) y

Eje Neutro

d

cb

Diagrama de Deformación Unitaria

(d)

C

d

c

y

b y

b  

  



Conocemos que el valor del módulo de

elasticidad del acero es: Es = 2 x 106 , entonces:

b

c b

a

d y

b f

c

Efectuandoel reemplazotenemos

y

( ) 6000

6000

:

6 2 x 10

y

f

s

E

y

f

  1





  

Donde cb: Distancia del eje neutro a la fibra extrema en comprensión en una

sección con cuantía balanceada.

y y

c b 1 6000 f

f

f' ρ β 0.

ANÁLISIS DE SECCIONES DE VIGA CON FALLA DÚCTIL:

Partiendo de nuestra expresión de equilibrio tenemos:

Cc = T, donde fs = fy

1. 85 f’c ba = As fy

Tomando momentos respecto a un eje que pasa por el centroide del acero

tenemos:

Mn = As fy (d - a/ 2 )

Mu =  Mn =  As fy (d - a/ 2 )

Donde  es el factor de resistencia que para vigas su valor es 0. 9.

0.85f' b

A f a c

s y 

• Dimensionamiento de una viga:

Teniendo estas consideraciones, seleccionamos un valor para la cuantía con el

cual dimensionaremos la sección:

Sabemos:

Luego: Mu =  Mn =  As fy (d - a/2)

Finalmente: Mu =  bd^2 f’c (1 - 0.59  )

Esta última expresión es la expresión de dimensionamiento, donde los valores

desconocidos so “b” y “d”, los cuales el diseñador escogerá apropiadamente.

 

  

   

  

  0.85*f' b

A f

2

1 f' d f'

f M φρbd

c

s y c c

y u

c

y

c

s y

f'

ρf ; ω 0.85f' b

A f a  

• Cálculo del Acero:

a. Proceso Iterativo:

Una vez dimensionada la sección, el cálculo del acero se efectuará

simplemente haciendo una iteración entre las siguientes dos expresiones:

Se sugiere como primera aproximación que “a” sea igual a “d/ 5 ”.

b. Calculando la cuantía mecánica, usando la expresión:

Mu =  f’c bd^2 ( 1 - 0. 59 )

Hallamos , luego:

1. 85 f' b

A f a

f (d a/ 2 )

M

A

c

s y

y

u s

A bd ; 0. 9

f

f'

s

y

c

1. 85 f’cba = As fs ’ reemplazando fs:

2. 85 f’cba^2 = 6 As  1 d - 6 As a

Ordenando los términos tenemos: 0. 85 f’cba^2 + 6 As a - 6 As  1 d = 0

Donde f’c esta en t/cm 2 , si resolvemos la ecuación cuadrática obtenemos el

valor de “a” con el cual obtenemos el valor del momento último resistente.

Mu =  As fs (d - a/ 2 )

APLICACIONES:

Análisis de flexión de una sección simplemente reforzada

APLICACIÓN Nº 01 :

Se tiene una viga de sección rectangular, mostrada en figura, con f’c = 280

kg/cm^2 determine si la sección de viga está sobreforzada o subreforzada, y

si satisface los requerimientos del código ACI 318 para cuantías máximas y

mínimas para:

a) fy = 4200 kg/cm^2 y

b) fy = 2800 kg/cm^2

rn

e

As = 61’’

3/

ρ ρ Nocumple

ρ ρ Conforme

f

ρ

f

f' ρ 0.

ρ 0.75ρ 0.

Requisitos de Cuantía

máx

mín

y

mín

y

c mín

máx b

("DiseñoNoConforme").

Nocumple conlosrequerimientosdecuantía delACI

Secciónsubreforzado (Falla Dúctil)

Tenemos ρ ρ portanto :

bd

A

ρ

0.0493 β 0.85; 6000 f

f

f' ρ β 0.

b) f' 280 kg/cm ,f 2800 kg/cm

b

s

1 y y

c b 1

2 y

2 c

ρ ρ Conforme

ρ ρ Conforme

f

ρ

f

f' ρ 0.

ρ 0.75ρ 0.

Requisitos de Cuantía

mín

máx

y

mín

y

c mín

máx b

No