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Capítulo 3 Interés Compuesto
Ejercicios de las secciones 3.1 y 3.
1. ¿Cuál es la tasa de interés por periodo de: a) 30% anual capitalizable mensualmente? b) 16% anual capitalizable trimestralmente? c) 2% trimestral? d) 15% anual? e) 18% anual capitalizable semestralmente? f) 18% anual capitalizable mensualmente? g) 0.5 mensual?
SOLUCION
Para conocer la tasa de interés por periodo se divide la tasa anual entre la frecuencia de conversión: a) 30% anual capitalizable mensualmente Tasa anual = 30% Frecuencia de conversión = 12 i =frecuenciatasa^ deinterèsde conversiòn^ anual =^012.^30 = 0. 025
i = 2.50% mensual
b) 16% anual capitalizable trimestralmente Tasa anual = 16% Frecuencia de conversión = 4 i =frecuenciatasa^ deinterèsde conversiòn^ anual =^0. 416 = 0. 04
i = 4% trimestral
c) 2% trimestral periodo = trimestre Tasa anual = 2% x 4 = 8% Frecuencia de conversión = 4 i =frecuenciatasa^ deinterèsde conversiòn^ anual =^0. 408 = 0. 02
i = 2% trimestral
d) 15% anual Tasa anual = 15% Frecuencia de conversión = 1 i =frecuenciatasa^ deinterèsde conversiòn^ anual =^0. 115 = 0. 15
i = 15% anual
e) 18% anual capitalizable semestralmente Tasa anual = 18% Frecuencia de conversión = 2 i =frecuenciatasa^ deinterèsde conversiòn^ anual =^0. 218 = 0. 09
i = 9% semestral
f) 18% anual capitalizable mensualmente Tasa anual = 18% Frecuencia de conversión = 12 i =frecuenciatasa^ deinterèsde conversiòn^ anual =^012.^18 = 0. 015
i = 1.50% mensual
g) 0.5% mensual Tasa anual = 0.5% x 12 = 6%
f) 18% anual capitalizable mensualmente? SOLUCION Periodo = mes Frecuencia de conversión = 12
g) 0.5 mensual? SOLUCION Periodo = mes Frecuencia de conversión = 12
3. Elabore la gráfica que muestre el crecimiento de una inversión de $1 000.00 en un año si se deposita en una cuenta de valores que paga:
a) 10% anual convertible semestralmente b) 20% anual convertible semestralmente c) 30% anual convertible trimestralmente d) 40% anual convertible trimestralmente e) 50% anual convertible trimestralmente f) 50% anual convertible mensualmente g) 60% anual convertible mensualmente h) 70% anual convertible mensualmente i) 80 anual convertible mensualmente
SOLUCION
Se calcula el monto interés compuesto periodo por periodo y se grafican los resultados obtenidos en una gráfica,
colocando en el eje horizontal los periodos y en el eje vertical los montos para cada periodo: DATOS C = $1,000. Plazo = 1 año a) 10% anual convertible semestralmente tasa anual = 10% frecuencia de conversión = 2 n = 1(2) = 2
frecuenciatasadeanualconversión^0. 210 0.^05
2
(^122)
1 1
M
M C i
M
M C i
i
n
n
b) 20% anual convertible semestralmente tasa anual = 20% frecuencia de conversión = 2 n = 1(2) = 2
frecuenciatasadeanualconversión^0. 220 0.^10
2
21 2
1 1
M
M C i
M
M C i
i
n
n
c) 30% anual convertible trimestralmente tasa anual = 30% frecuencia de conversión = 4
frecuenciatasadeanualconversión^0. 450 0.^125
2
43 4
32 3
21 2
1 1
M
M C i
M
M C i
M
M C i
M
M C i
i
n
n
n
n
f) 50% anual convertible mensualmente tasa anual = 50% frecuencia de conversión = 12 n = 1(12) = 12
frecuenciatasadeanualconversión^012.^500.^04166667
12
1211 12
1110 11
109 10
98 9
87 8
76 7
(^566)
54 5
(^344)
32 3
(^122)
1 1
M
M C i
M
M C i
M
M C i
M
M C i
M
M C i
M
M C i
M
M C i
M
M C i
M
M C i
M
M C i
M
M C i
M
M C i
i
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
g) 60% anual convertible mensualmente
frecuenciatasadeanualconversión^012.^700.^05833333
12
1211 12
1110 11
109 10
98 9
87 8
76 7
65 6
54 5
43 4
32 3
21 2
1 1
M
M C i
M
M C i
M
M C i
M
M C i
M
M C i
M
M C i
M
M C i
M
M C i
M
M C i
M
M C i
M
M C i
M
M C i
i
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
i) 80 anual convertible mensualmente
frecuenciatasadeanualconversión^012.^800.^06666667
12
1211 12
1110 11
109 10
98 9
87 8
76 7
6 6
5
54 5
(^344)
32 3
(^122)
1 1
M
M C i
M
M C i
M
M C i
M
M C i
M
M C i
M
M C i
M
M C i
M
M C i
M
M C i
M
M C i
M
M C i
M
M C i
i
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Ejercicios de la sección 3.
b) Una cuenta de ahorros que paga 10% de interés semestral simple. SOLUCION Se utiliza la fórmula de interés simple, con I = 10% semestral simple y t = 2 semestres:
I 200.
I
I Cit
I = $200.
c) Una cuenta de ahorros que paga 20% de interés anual compuesto semestralmente. SOLUCION Se utiliza la fórmula de monto a interés compuesto, y luego el resultado se resta del capital: j = 20% m = n = (1) (2) = 2 semestres
i = (^) m^ j =^202 %= 10 %− semestral = 0. 10 − semestral
2
2
M
M
M
M
M in
I
I M C
I = $210.
d) Una cuenta de valores que paga 20% de interés anual convertible trimestralmente.
SOLUCION
Se utiliza la fórmula de monto a interés compuesto, y luego el resultado se resta del capital: j = 20% m = 4 n = (1) (4) = 4 trimestres
i = (^) m^ j =^204 %= 5 %− trimestral = 0. 05 − trimestral
4
4
M
M
M
M
M in
I
I M C
I = $215.
e) Una cuenta de valores que paga 20% de interés anual pagadero mensualmente.
SOLUCION
Se utiliza la fórmula de monto a interés compuesto, y luego el resultado se resta del capital: j = 20% m = 12 n = (1) (12) = 12 meses
i = (^) m^ j =^2012 %= 65 %− mensual =^0. 605 − mensual
5. Determine el monto acumulado de $50 000 que se depositan en una cuenta de valores que paga 15% anual convertible mensualmente: a) Al cabo de un año b) Al cabo de dos años c) Al cabo de tres años d) Al cabo de cinco años SOLUCION Se utiliza la fórmula de monto a interés compuesto: DATOS C = $50 000. j = 15% m = 12
La tasa de interés compuesto para cada inciso es:
i = m^ j =^1512 %^ = 1. 25 %_ mensual = 0. 0125 _ mensual
El número de periodos “n” depende del plazo, y se obtiene multiplicando el número de años por la frecuencia de conversión. a) Al cabo de un año n = 1(12) = 12 meses
12
12
=
M
M
M
M C in
M = $58,037.
b) Al cabo de dos años n = 2(12) = 24 meses
12
24
=
M
M
M
M C in
M = $67,367.
c) Al cabo de tres años n = 3(12) = 36 meses
36
36
=
M
M
M
M C in
M = $78,197.
d) Al cabo de cinco años n = 5(12) = 60 meses
60
60
=
M
M
M
M C in
M = $105,359.
6. Determine el interés simple y el interés compuesto que ganaría un depósito de $100 000 si el tipo de interés fuese de 5% y el plazo del depósito 5 años. ¿Qué conclusiones puede presentar? DATOS C=$100 000 tasa de interés=5% plazo=5años SOLUCION Interés simple
i=10% anual
M = C ( 1 + i ) n
C i n M 1.00 0.10 1 1. 1.00 0.10 5 1. 1.00 0.10 10 2. 1.00 0.10 15 4. 1.00 0.10 20 6.
i=20% anual
M = C ( 1 + i ) n
C i n M 1.00 0.20 1 1. 1.00 0.20 5 2. 1.00 0.20 10 6. 1.00 0.20 15 15. 1.00 0.20 20 38.
i=30% anual
M = C ( 1 + i ) n
C i n M 1.00 0.30 1 1. 1.00 0.30 5 3. 1.00 0.30 10 13. 1.00 0.30 15 51. 1.00 0.30 20 190.
i=40% anual
M = C ( 1 + i ) n
C i n M 1.00 0.40 1 1. 1.00 0.40 5 5. 1.00 0.40 10 28. 1.00 0.40 15 155. 1.00 0.40 20 836.
i=50% anual
M = C ( 1 + i ) n
C i n M 1.00 0.50 1 1. 1.00 0.50 5 7. 1.00 0.50 10 57. 1.00 0.50 15 437. 1.00 0.50 20 3,325.
i=60% anual
M = C ( 1 + i ) n
C i n M 1.00 0.60 1 1. 1.00 0.60 5 10. 1.00 0.60 10 109. 1.00 0.60 15 1,152. 1.00 0.60 20 12,089.
i=70% anual
M = C ( 1 + i ) n
C i n M 1.00 0.70 1 1. 1.00 0.70 5 14. 1.00 0.70 10 201. 1.00 0.70 15 2,862. 1.00 0.70 20 40,642.
i=80% anual
M = C ( 1 + i ) n
C i n M 1.00 0.80 1 1. 1.00 0.80 5 18. 1.00 0.80 10 357. 1.00 0.80 15 6,746. 1.00 0.80 20 127,482.
i=90% anual
