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SECCION 2.
2. Calcule 𝑽𝒌^ en los siguientes casos: a) 𝑽𝟒^ 𝑉^4 = 𝟐 2 b) 𝑽𝟎^ 𝑉^0 = 𝟑 3 c) 𝑽𝟐^ 𝑉^2 = 𝟑 3 d) 𝑽𝟐^ 𝑉^2 = 𝟔 6 4. Determine el número de parejas formadas por los elementos de los conjuntos A y B si: a) Card(A)=4, Card(B)=3 4x3=12 Se pueden formar 12 parejas b) Card(A)=5, Card(B)=4 5x4=20 Se pueden formar 20 parejas c) Card(A)=8, Card(B)=5 8x5=40 Se pueden formar 40 parejas d) Card(A)=13, Card(B)=5 13x5=65 Se pueden formar 65 parejas 6. Cuántas parejas con reposición pueden formarse con conjuntos cuya cardinalidad es: a) n= 3 𝑃^2 =9 Se pueden formar 9 parejas b) n= 5 𝑃^2 =25 Se pueden formar 25 parejas c) n= 7 𝑃^2 =49 Se pueden formar 49 parejas d) n= 8 𝑃^2 =64 Se pueden formar 64 parejas 8. Para los conjuntos indicados forme todas las parejas sin reposición y parejas con reposición: a) T= {x, y, z} Sin reposición=𝑉𝑘^ =6 Con reposición=𝑛𝑘= b) A= {a, e, i, o, u} Sin reposición=𝑉𝑘^ =20 Con reposición=𝑛𝑘= c) B= {1, 2, 3, 4, 5, 6} Sin reposición=𝑉𝑘^ =30 Con reposición=𝑛𝑘= 10. Un comité de dirección de una empresa que consta de 4 gerentes y 6 subgerentes debe elegir un presidente y un vicepresidente. ¿De cuántas maneras se pueden elegir este par de funcionarios si el presidente debe ser un gerente? El número de candidatos para Presidente es 4, el número de candidatos para vicepresidente es 10 pero como uno de ellos ya será presidente es 9. El número de parejas que se pueden formar entre estos dos conjuntos es 4x9=36, es decir se pueden elegir de 36 maneras. 12. De entre 9 empleados se deben seleccionar a 3 para viajar a 3 plantas A, B y C fuera de la ciudad. Cada empleado irá a una planta. ¿De cuántos modos se puede hacer la selección de los empleados que viajarán? Como hay 9 empleados y cada uno de los tres seleccionados va a una planta diferente, es decir un mismo empleado no puede ir a las tres plantas, aplicamos la fórmula 𝑉𝑘^ de la forma 𝑽𝟑 = 504. Se puede hacer la elección de 504 modos. 𝑛 (^) 𝟗 14. Si en el ejercicio anterior, de los 9 empleados, 7 son hombre. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar exactamente una mujer entre los escogidos? Ejercicio anterior: “De entre 9
𝐶 3 7 1 0 empleados se deben seleccionar a 3 para viajar a una planta fuera de la ciudad. ¿De cuántos modos se puede hacer la selección de los empleados que viajarán? 𝑉 2 Prob(A)=
9 42
=0,5 La probabilidad de seleccionar exactamente una mujer entre los
84 escogidos es de 0,5.
16. Siete personas han solicitado empleo para llenar dos vacantes. ¿De cuántos modos se pueden llenar las vacantes si: a) la primera persona seleccionada recibe mayor salario que la segunda? Si la primera recibe mayor salario que la segunda entonces el orden del par importa, por lo tanto se debe aplica la fórmula 𝑉𝑘^ de la forma 𝑽𝟐 = 42. Es decir, hay 42 modos. 𝑛 (^) 𝟕 b) no hay diferencia entre las vacantes? Si todos reciben el mismo salario entonces el orden del par no importa, por lo tanto se debe aplica la fórmula 𝐶𝑘^ de la forma 𝑪𝟐 = 21. Es decir, hay 21 modos 𝑛 𝟕 18. La producción de una máquina consta de 4 fases. Hay 6 líneas de montaje para la primera fase, 3 para la segunda, 5 para la tercera, y 5 para la última. Determine de cuántas formas distintas se puede montar la máquina en este proceso de producción. Se forman arreglos de 4 elementos donde cada elemento corresponde a una fase, por lo tanto, el número de formas distintas de montar la máquina es 450 (pues 6x3x5x5=450). 20. ¿Cuántos triángulos determinan los vértices de un polígono regular de 10 lados? Son 10 vértices combinados en triángulos, es decir tres vértices, por lo tanto, como 𝐶^3 =120, el número de triángulos que determinan los vértices de un polígono de 10 lados es 120. 22. Un entrenador de fútbol debe seleccionar a 11 jugadores de entre los que había convocado anteriormente para la concentración. Si puede hacer su selección de 12376 maneras, ¿Cuántos jugadores estuvieron presentes en la concentración? (Se supone que ningún jugador tiene un puesto fijo de juego.) Como cada jugador puede ocupar cualquier puesto se puede calcular el número de maneras con la fórmula 𝑉^11 , esto es igual a 12376, es decir basta resolver la ecuación 𝑉^11 =12376 de donde (^) 𝑛 𝑛 n=17, es decir, asistieron 17 jugadores a la concentración. 24. En cualquier set de un partido de tenis, el oponente X puede vencer al oponente Y de siete maneras. (Con el marcador 6-6, se juega un desempate: tie breaker) El primer tenista que gane tres sets obtiene la victoria. ¿De cuántas maneras se pueden registrar los resultados si: a) X gana en cinco sets? Basta con resolver la operación: 4x7^5 , de donde tenemos que se pueden registrar los resultados de 67228 maneras diferentes. b) para ganar el partido se necesita jugar como mínimo tres sets? Basta con resolver la siguiente operación: 73 +3x7^4 +4x75,^ de donde tenemos que se pueden registrar los resultados de 74774 maneras. 26. Sean Ω un espacio muestral y A, B y C eventos cualesquiera, exprese las siguientes afirmaciones como uniones e intersecciones de A, B y C y de sus complementos.
b) Por lo menos uno de los eventos A, B, C ocurre xϵ A∩B∩C c) No ocurre más que un evento xϵ (Aᶜ∩Bᶜ) U (Aᶜ∩Cᶜ) U (Bᶜ∩Cᶜ) d) Ocurren exactamente todos los eventos xϵ A∩B∩C e) ocurren no más de dos eventos xϵ (A∩B∩Cᶜ) U (A∩Bᶜ∩C) U (Aᶜ∩B∩C)
28. Suponga que un experimento aleatorio consiste en escoger una persona al azar dentro de una población dada. Se definen los eventos: H= “la persona escogida es hombre.” E= “La persona escogida cuenta con un empleo.” C= “La persona escogida es casada.” Exprese en palabras el tipo de personas, según las características anteriores, determinadas por los siguientes eventos: a) H∩E La persona escogida es hombre y cuenta con un empleo. b) Hᶜ∩Eᶜ La persona escogida es mujer y no cuenta con un empleo c) H\E La persona escogida es hombre y no cuenta con un empleo d) H∩E∩C La persona escogida es hombre, cuenta con un empleo y es casada e) (H∩C) \E La persona escogida es hombre, es casada y no cuenta con un empleo f) Cᶜ\Eᶜ La persona escogida no es casada y cuenta con un empleo 30. Se consideran dos eventos A y B, tales que Pr(A)= 1/3 y Pr(B)=1/2. Determine el valor de Pr(Aᶜ∩B) en los siguientes casos: a) A y B son incompatibles Si A y B son incompatibles entonces A∩B=∅, pero Aᶜ∩B=B pues B⊂Aᶜ. Entonces Pr(Aᶜ∩B) = Pr(B) = 1/2. Pr(Aᶜ∩B) = 1/ b) A⊂B Si A⊂B entonces Aᶜ∩B = B\A, entonces Pr(Aᶜ∩B) = Pr(B\A) = Pr(A) – Pr(B) = 1/2 - 1/3 = 1/ Pr(Aᶜ∩B) = 1/ c) Pr(A∩B) =1/ Como existe A∩B entonces Aᶜ∩B = B\ (A∩B), es decir, Pr(Aᶜ∩B) = Pr [B\ (A∩B)] = Pr(B)- Pr(A∩B)= 1/2 – 1/8 = 3/8 **Pr(Aᶜ∩B) = 3/
- Sean A y B dos eventos tales que Pr(A)= 0,9 y Pr(B)= 0,8. Demuestre que Pr(A∩B) ≥0,7.** Tenemos, por A1, que Pr(A U B)≤ Como Pr(A U B)= Pr(A)+ Pr(B) – Pr(A∩B) por sustitución tenemos que Pr(A)+ Pr(B) – Pr(A∩B) ≤ De donde, como Pr(A)= 0,9 y Pr(B)= 0,8 se cumple que 1,7 – Pr(A∩B) ≤
Finalmente, despejando, tenemos que Pr(A∩B) ≥0,
34. Una empresa tiene dos tiendas distribuidoras, una en el norte y otra en el sur de la ciudad. De los potenciales clientes, se sabe que el 30% solo compra en la tienda norte, el 50% solo compra en la tienda sur, el 10 % compra indistintamente en las dos tiendas y el 10 % de los consumidores no compra en ninguna de las dos. Sean los eventos A: <> y B: <>. Calcule las probabilidades (e interprételas): a) Pr (A) Los compradores que compran en la tienda norte son la suma de quienes compran exclusivamente en esta tienda y quienes compran indistintamente en cualquiera de las tiendas, es decir 30%+10%. Por lo tanto, Pr(A)= 40/100 = 0, b) Pr (A U B) La probabilidad de que compren en una de las dos tiendas es uno menos la probabilidad de que no compren en ninguna, es decir 1- Pr (Aᶜ∩Bᶜ) = 1 – 0,1 = 0,9. Por lo tanto, Pr (A U B) = 0, c) Pr (Bᶜ) La probabilidad de que no compren en la tienda sur es uno menos la probabilidad de que compren en la tienda sur, es decir, 1 – (50/100 + 10/100) = 40/100 = 0,4. Por lo tanto, Pr (Bᶜ) = 0, d) Pr (A ∩ B) La probabilidad de que ocurran A y B es la probabilidad de que compren indistintamente en cualquier tienda, es decir 10/100. Por lo tanto, Pr (A ∩ B) = 0, e) Pr (A \ B) La probabilidad de que ocurra A y no B es la probabilidad de que compren exclusivamente en la tienda norte, es decir 30/100. Por lo tanto, Pr (A \ B) = 0, f) Pr (Aᶜ∩Bᶜ) La probabilidad de que no ocurra A y no ocurra B es la probabilidad de que no compren en ninguna tienda, es decir 10/100. Por lo tanto, Pr (Aᶜ∩Bᶜ) = 0, g) Pr[(A∩B) ᶜ] La probabilidad de que no ocurra (A∩B) es uno menos la probabilidad de que ocurran A y B es decir 1 - Pr (A ∩ B) = 0,9. Por lo tanto Pr[(A∩B) ᶜ] = 0, h) Pr (A U Bᶜ) La probabilidad de que ocurra A o no ocurra B es igual a la suma de la probabilidad de que no ocurra B y la probabilidad de que ocurran ambos eventos, es decir 0,4+0,1. Por lo tanto, **Pr (A U Bᶜ) = 0,
- Un gerente de compras desea hacer pedidos a proveedores deferentes, a los que nombra como A, B y C. Todos los proveedores son iguales en lo que respecta a la calidad por lo que escribe cada letra en un papel, mezcla los papeles y selecciona a ciegas a uno de ellos. Se hará el pedido al vendedor que salga seleccionado. Calcule las probabilidades de los eventos.** a) se seleccionó al proveedor B Ω= {A, B, C} 𝐶𝑎𝑟𝑑( 𝐵) Pr(B)= 𝐶𝑎𝑟𝑑( Ω)
b) se seleccionó al proveedor A o C Ω= {A, B, C} Pr(A U C)= 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐴𝖴 𝐶) 𝐶𝑎𝑟𝑑( Ω)
c) el proveedor A no se selecciona. Ω= {A, B, C} 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐴 )ᶜ = 1-1/3= 2/ 𝐶𝑎𝑟𝑑(Ω)
𝐶 4 1 0 Pr(A)= 10 =567/ Pr(C)= 10 =9/
48. En un closet hay seis pares de zapatos. Se escogen 4 zapatos al azar. Encuentre la probabilidad de que haya por lo menos un par de zapatos entre los 4 zapatos escogidos. Sea A el evento “Hay por lo menos un par de zapatos” 𝐶 4 Pr(A)=1- = 19 / 33 12 50. Una persona presiona, al azar, 8 cifras en una calculadora. ¿Cuál es la probabilidad de los eventos siguientes? a) A: <>? 𝑉^8 108 b) B: <<el producto de las 8 cifras es un número par>>? Pr(B)= c) C: <<las 8 cifras forman un conjunto creciente>>? 𝐶^8 108 d) D: <<la suma de las cifras es igual a 3>>? Pr(D)= 52. Dentro de una cancha de baloncesto, cuyas dimensiones son 20 m por 12 m, se encuentran dos charcos que tienen forma de círculos, de 8 y 5 m de diámetro respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que una pelota lanzada a la cancha caiga dentro de uno de los charcos? Área de la cancha: 240m^2 Área de los charcos: 89𝜋 m^2 4 Sea A el evento “Una pelota lanzada a la cancha cae dentro de uno de los charcos” 89𝜋 Pr(A)= 4 =0, 240 54. Dentro del rectángulo limitado por las rectas 𝒙 = − 𝝅 𝟐
𝝅 (^) , 𝒚 = −𝟏, 𝒚 = 𝟏 , se tiene el 𝟐 gráfico de la función trigonométrica seno. Sobre el rectángulo cae una gota de tinta. ¿Cuál es la probabilidad de que la gota de tinta haya caído dentro del área comprendida entre el eje x y la curva y= sin x? (Observación: Suponga que el área, de la mancha de tinta es despreciable.)
Área entre el eje x y la curva y= sin x 𝜋⁄ ∫ 2 |sin(𝑋)|𝑑𝑥 = 2 −𝜋⁄ 2 Área del rectángulo=2π Sea B el evento “Una la gota de tinta cae dentro del área comprendida entre el eje x y la curva y= sin x” 2 1 Pr(B)= = 2π 𝜋
