Deberes en connjuntop, Ejercicios de Física

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Vectores

Hoja

Ejercicios

resueltos

1. Dados los puntos A 2 , − 3 , B − 2 , 5 𝑦 C 0 , 4 ,deduzca analíticamente las

coordenadas de al menos un cuarto punto D, de modo que ABCD sea un

paralelogramo.

Solución:

Se debe notar que varias respuestas son factibles dependiendo

de la pareja de puntos escogidos para conformar un vector, es

así que, si los puntos son: A 2 , − 3 , B − 2 , 5 , C 0 , 4

￮ Entre el punto A y el punto B se tiene que:

AB = B − A = − 2 Ԧi + 5 Ԧj − 2 Ԧi − 3 Ԧj = − 4 Ԧi + 8 Ԧj

Por lo tanto el vector formado por los puntos C y D debe

tener la misma longitud que el vector formado entre A y B

para que ABCD sea un paralelogramo, por lo tanto:

CD = D − C = xԦi + yԦj − 0 Ԧi + 4 Ԧj = − 4 Ԧi + 8 Ԧj

→ D x, y = − 4 Ԧi + 8 Ԧj + 0 Ԧi + 4 Ԧj = − 4 Ԧi + 12 Ԧj

𝐷 − 4 , 12

𝐵 − 2 , 5 𝐶 0 , 4

𝐴 2 , − 3

￮ Entre el punto B y el punto C se tiene que:

BC = C − B = 0 Ԧi + 4 Ԧj − − 2 Ԧi + 5 Ԧj = 2 Ԧi − 1 Ԧj

Por lo tanto el vector formado por los puntos A y D debe

tener la misma longitud que el vector formado por B y C para

que ABCD sea un paralelogramo, por lo tanto:

AD = D − A = xԦi + yԦj − 2 Ԧi − 3 Ԧj = 2 Ԧi − 1 Ԧj

→ xԦi + yԦj = 2 Ԧi − 1 Ԧj + 2 Ԧi − 3 Ԧj = 4 Ԧi − 4 Ԧj

𝐷 4 , − 4

𝐵 − 2 , 5

𝐶 0 , 4

𝐴 2 , − 3

￮ ¿Que pasa si…..Se cambia el orden de los puntos?

3. Encuentre el ángulo que forma el vector A = 2 Ԧi + 3 Ԧj − 2 3 k y un vector cuyos

ángulos directores son: α = 45°, β = 60°, γ < 90°

Solución:

Se conoce que:

A = 2 Ԧi + 3 Ԧj − 2 3 k; A = 4 + 9 + 12 = 5

B = B, 45°, 60°, < 90° ; B = B

Si de acuerdo a la definición de vector unitario se sabe que:

u B

= cos α

2

• cos β

2

• cos γ

2 = 1

2

2

• cos γ

2

= 1

⟹ γ = 60°

Por lo tanto:

B =

BԦi +

BԦj +

Bk

Si el producto punto de dos vectores se define como:

A ∙ B = AB cos θ = A x

B

x

+ A

y

B

y

+ A

z

B

z

⟹ cos θ =

A

x

B

x

+ A

y

B

y

+ A

z

B

z

AB

2 B +

B − 3 B

5B

⟹ θ = 76 .32°

Datos:

A = 2 Ԧi − 3 Ԧj + 3 k

B = 4

u A

× u B

Incógnitas:

B

Solución:

Sean los vectores:

A = 2 Ԧi − 3 Ԧj + 3 k

B = xԦi + yԦj + zk

Sus módulos respectivamente son:

A = 4 + 9 + 9 = 4

B = 4

Por lo tanto sus vectores unitarios vienen dados por:

u A

Ԧi −

Ԧj +

k

u B

x

Ԧi +

y

Ԧj +

z

k

− 3 z − 3 y = 0

3 x − 2z = 0 ⟹ z =

x

2y + 3x = 0 ⟹ y = −

x

Si se conoce que el modulo de B viene dado por:

x

2

• y

2

• z

2

= 4

Se tiene que reemplazando los valores de y y z en función de x:

x

2

x

2

x

2

= 16

⟹ x = ± 2

Sea:

x = 2 ⟹ y = − 3 , z = 3

x = − 2 ⟹ y = 3 , z = − 3

Por lo tanto el vector que cumple con la condición de que u A

× u B

= 0 , puede ser:

B = 2 Ԧi − 3 Ԧj + 3 k, o B = − 2 Ԧi + 3 Ԧj − 3 k

Datos:

C 120 , − 200 , 150 m

Plano que contiene los puntos:

P 4 , − 5 , 7 m

Q 3 , − 2 , − 10 m

R − 20 , 15 , − 12 m

Incógnitas:

Distancia del punto C al plano PQR.

C

Q

R

P

d

Solución:

Se conoce que un plano contiene varios puntos y que dos

líneas forman un plano, por lo tanto se puede determinar

dos vectores que estén contenidos en el plano:

PQ = Q − P = 3 Ԧi − 2 Ԧj − 10 k − 4 Ԧi − 5 Ԧj + 7 k

PQ = − 1 Ԧi + 3 Ԧj − 17 k

PR = R − P = − 20 Ԧi + 15 Ԧj − 12 k − 4 Ԧi − 5 k + 7 k

PR = − 24 Ԧi + 20 Ԧj − 19 k

Si el producto cruz de dos vectores tiene como resultado un

vector perpendicular a ellos, se tiene que:

C

Q

R

P

N

d