BASE Y DIMENSIÓN LINEAL, Apuntes de Álgebra Lineal

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ÁLGEBRA LINEAL

Janneth Velasco

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE

ESPACIOS VECTORIALES

Base y dimensión

CONTENIDO

Título Definiciones y propiedades sobre base y dimensión de

espacios vectoriales.

Duración 120 minutos

Información general Teoría y ejercicios sobre base y dimensión de espacios

vectoriales.

Objetivo Aplicar las definiciones base y dimensión

Observación

El conjunto de vectores canónicos {𝒆𝟏, 𝒆𝟐, … , 𝒆𝒏} es una base para ℝ

𝑛 , llamada base

estándar para ℝ𝑛.

Ejemplo

Sea M el espacio vectorial de todas las matrices 2x3 sobre ℝ, entonces las matrices:

0 0 1

0 0 0 ; 0 1 0

0 0 0 ; 1 0 0

0 0 0 ; 0 0 0

0 0 1 ; 0 0 0

0 1 0 ; 0 0 0

1 0 0

forman la base usual o base canónica del espacio vectorial M

Repaso de combinaciones lineales

Teorema

Dada una matriz 𝐴 de orden 𝑚 × 𝑛. Entonces todos los enunciados siguientes son

verdaderos, o todos son falsos.

 Para cada 𝒃 ∈ ℝ𝑚, la ecuación 𝐴𝒙 = 𝒃 tiene una solución.

 Cada 𝒃 ∈ ℝ

𝑚 es combinación lineal de las columnas de 𝐴.

 Las columnas de 𝐴 generan ℝ

𝑚 .

 La matriz 𝐴 tiene una posición pivote en cada fila

Ejemplo

El siguiente teorema nos permite observar que una base es un conjunto generador sin vectores

innecesarios.

**Teorema ***

Sea ℬ = {𝒖𝟏, 𝒖𝟐, … , 𝒖𝒏} un conjunto en 𝑉, y sea 𝑊 = 𝐺𝑒𝑛{𝒖𝟏, 𝒖𝟐, … , 𝒖𝒏}.

 Si uno de los vectores de ℬ, digamos un 𝒖𝒊 , es una combinación lineal de los otros

vectores de ℬ, entonces el conjunto {𝒖𝟏, 𝒖𝟐, … , 𝒖𝒏} \ 𝒖𝒊 todavía genera a 𝑊.

 Si 𝑊 ≠ {𝟎}, algún subconjunto de ℬ es una base para 𝑊.

Observación

 Una base es un conjunto generador lo más pequeño posible.

 Una base es un conjunto linealmente independiente lo más grande posible.

Ejemplo

Determinar si los siguientes conjuntos de vectores forman una base de ℝ^3

Dimensión

Definición

Si un espacio vectorial 𝑉 es generado por un conjunto finito de vectores, entonces 𝑉 tiene

dimensión finita y se representa como dim 𝑽 a la dimensión de 𝑽; además dim 𝑉 es el

número de vectores de la base.

Definición

Si el espacio vectorial 𝑉 no es generado por un conjunto finito de vectores, entonces 𝑉 tiene

dimensión infinita.

La dimensión del espacio vectorial { 0 }, se define como cero.

Teorema

Si un espacio vectorial 𝑉 tiene una base ℬ = {𝒖𝟏, 𝒖𝟐, … , 𝒖𝒏}, entonces cualquier conjunto en

𝑉 que contenga más de 𝑛 vectores es linealmente dependiente.

Observación

El teorema anterior nos dice que si un espacio vectorial 𝑉 tiene una base ℬ = {𝒖𝟏, 𝒖𝟐, … , 𝒖𝒏},

entonces cada conjunto de vectores linealmente independiente que se encuentre en 𝑉 no tiene

más de 𝑛 vectores.

Teorema

Si un espacio vectorial 𝑉 tiene una base de 𝑛 vectores, entonces toda base de 𝑉 debe tener

exactamente 𝑛 vectores.