Derivación Implícita, Diapositivas de Matemáticas

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ANALISIS MATEMATICO IANALISIS MATEMATICO I

Regla de L’Hospital – Derivada implícita^ Regla de L’Hospital – Derivada implícita

En un experimento de laboratorio, se determinó que la ecuación de Van der Waals para cierto gas es: Considerando el volumen V como función de la presión P , ; calcular el ritmo de cambio del volumen respecto a la presión cuando la presión es.

CASO: LA ECUACIÓN DE VAN DER WAALS^ CASO: LA ECUACIÓN DE VAN DER WAALS

Regla de L’HospitalRegla de L’Hospital

L

g x

f x

g x

f x

x  x ^ x  x 

lim lim

0 0

Ejemplos:Ejemplos:

Calcular lim 𝑥 → 1 𝑥 2 − 𝑥 𝑥 2 − 1

lim

𝑥 → 0

2 𝑥

lim

𝑥 → 0

lim 3

𝑥 → 2

2

Función explicita e implícitaFunción explicita e implícita

FUNCIÓN EXPLICITA:

Cuando en la función, la variable y está despejada en términos de x.

Tiene la forma y = f ( x ).

Ejemplo 1: FUNCIÓN IMPLICITA:

Cuando en la función, la variable y no está despejada en términos de

x. No se puede o es difícil de despejar la variable y. Tiene la forma

F ( x,y ) = 0

Ejemplo 2: c

Consiste en encontrar la derivada de una función implícita, es decir de

una función donde la variable y no está despejada.

Se deriva teniendo en cuenta que y es una función de x. Por eso,

cuando se derive y , se escribirá y´.

Ejemplo 3:

Derivación implícita^ Derivación implícita

10 Ejemplo 4: Dada la función ; calcula Solución:

1. Derivar a ambos lados de la ecuación:
2. Agrupar los temimos con
3. Factorice en la parte izquierda:
4. Despeje

Ejemplos de derivación implícita^ Ejemplos de derivación implícita

Se sigue los siguientes pasos:

1. Expresar la función implícita en la forma:
2. Para obtener , aplicar la fórmula: Donde:

es la derivada de respecto a x , considerando a y constante.

es la derivada de respecto a y , considerando a x constante.

Procedimiento para la derivar una función implícita^ Procedimiento para la derivar una función implícita

Segundo Método (Método Práctico)

Ahora, ¿Podrás ahora resolver el caso: La ecuación de Van Der Waals? Van der Waals

La ecuación de Van der Waals para cierto gas es: Solución: Efectuando la función implícita, tenemos: Derivando esta función tenemos: Reemplazando en la derivada los datos obtenidos anteriormente: Respuesta: La razón de cambio del volumen respecto de la presión es aproximadamente -3,23.

CASO: LA ECUACIÓN DE VAN DER WAALS^ CASO: LA ECUACIÓN DE VAN DER WAALS

2

V V

PV P

      ' 0 , 03 5 ' 0 , 3 ' 0 ' ( 0 , 03 )' 5 ' 0 , 15 ' ( 9 , 7 )' 2 3 1 2              V PV V V V V PV P V V 5 2 0 , 3 3 0 , 03 '  ^      P V V V V 3 , 23 5 5 0 , 3

( 5 ; 1 ) 2 3 ( 5 ; 1 )

  P V V

V

dP dV

1. Calcule la derivada de la curva Kappa dada por
2. Calcula recta tangente y la recta normal a la curva Kappa en el punto.
3. Evaluar el límite

EVALUACIÓN INDIVIDUAL^ EVALUACIÓN INDIVIDUAL

2 2 2 2 x (x  y ) y  2 2,^ 2 2 1 ln lim 2 2 1   x x x x sen x x (^) 4 ( 6 ) lim  0