¡Descarga Ejercicios de derivación implícita y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Diferenciación implícita Una relación entre dos variables en algunas ocasiones se expresa por medio de una relación implícita, lo que se debe considerar es como calcular la derivada dy dx cuando x y y están relacionadas por una ecuación implícita. En algunos casos es posible resolver la ecuación implícita F ( x , y )= 0 y obtener una función y en forma explícita en términos de x. en estos casos, las técnicas estándar de derivación permiten calcular la derivada en la forma ordinaria, sin embargo, en algunos casos no es posible obtener la función explicita; para lo cual es necesario usar la técnica de diferenciación implícita. 1.- d dx
( f ( y ) ) =f ´ ( y )
dy dx 2.- dx dy
dy dx EJEMPLO 1 Calcule dy dx six^2 + y^2 = 4 d dx
( x
2
)= 2 x
d d y
( y^2 )=
d d y
( y^2 )∗dy
dx
y∗dy dx d dx
2 x+ 2 y∗dy dx
y∗dy dx =− 2 x dy dx
− 2 x 2 y
−x y Comprobación: x 2
=( 4 −x
2
1 / 2 dy dx
( 4 −x^2 )
− 1 (^2) ( (^2) x ) dy dx
−x √ 4 −x 2
−x y
EJEMPLO 2 Calcule dy dx
sixy +ln ( x y^2 ) = 7
xy +ln ( x ) + 2 ln y= 7 d dx (xy )+ d dx
d dx ( xy )= d dx ( x )∗y + x∗d dx ( y ) d dx ( xy )= y + x∗d y dx d dx
d dx
( y^ +^ x∗dy dx )
x
y ∗dy dx
(x^ +^
y ) ∗dy dx =−( y +
x ) dy dx
−( y +
x ) (x^ +^
y )^
− y ( xy + 1 ) x ( xy + 2 ) EJEMPLO 3 Determine la ecuación de la línea tangente en el punto (^) (^2 ,−^
2 )^ a la gráfica de la relación implícita x y 2 −x 2 y + y−x= 0 d dx
( x y
2
d dx
( x
2
y )+
dy dx
( y^2 ∗ 1 + x∗ 2 y∗dy dx ) −( x 2 ∗dy dx
dy dx
− 2 x 2 y + 2 dy dx
− 2 x 2 ( y+ 1 ) dy dx
− x y + 1 3.- (^) x^3 + y^3 =a^3 (a es constante) 3 x 2
3 y 2 ∗dy dx
3 y 2 ∗dy dx =− 3 x 2 dy dx
− 3 x 2 3 y 2 dy dx
−x 2 y 2 5.- ( y−x ) ( y + 2 x ) − 12 = 0 y 2
- xy− 2 x 2 − 12 = 0 d dx ( xy )= d dx ( x )∗y + x∗d dx ( y ) d dx ( xy )= y + x∗dy dx 2 y∗dy dx
- y+ x∗dy dx − 4 x− 0 = 0 dy dx ( 2 y+ x )= 4 x − y dy dx
4 x− y 2 y + x 7.- (^) x y^2 + y x^2 = 6
d dx
( x y
2
d dx ( x )∗y 2
x∗d dx ( y 2 ) d dx
( x y^2 ) = y^2 + 2 y
x∗dy dx d dx
( y x
2
d dx ( y )∗x 2
y∗d dx (x 2 ) d dx
( yx
2
x 2 ∗dy dx
x 2 ∗dy dx
( 2 yx + x
2
) =− 2 xy− y
2 dy dx
− y ( 2 x+ y ) x ( 2 y + x ) 9.- x^5 + y^5 = 5 xy 5 d dx ( xy )= 5
[
d dx ( x )∗y + x∗d dx ( y )
]
d dx ( xy )= 5
[
y + x∗dy
dx ]
5 x 4
= 5 [ y+
x∗dy
dx ]
[
x 4
y^4 ∗dy
dx ]
[
y + x∗dy
dx ]
x 4
y 4 ∗dy dx = y + x∗dy dx x 4 − y= (x− y 4 )∗dy dx dy dx
x 4 − y x− y 4
