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C´alculo Num´erico I
Derivaci´on Num´erica
La definici´on de la derivada de una funci´on como un l´ımite lleva impl´ıcito un m´etodo de aproximaci´on num´erica:
f ′(x) ≈
f (x + h) − f (x) h
≡ Dhf (x);
diremos que esta ´ultima cantidad es una derivada num´erica de f con paso h.
Ejemplo 21.1. Si calculamos la derivada num´erica de f (x) = x^2 en x = 1,
h Dhf Error 0’1 2’1 0’ 0’05 2’05 0’ 0’025 2’025 0’
Utilizando la f´ormula de Taylor,
f (x + h) = f (x) + hf ′(x) + 12 h^2 f ′′(c)
as´ı
Dhf (x) = f ′(x) + 12 hf ′′(c)
por lo tanto el error en la derivada num´erica es del orden de h. De hecho en nuestro ejemplo f ′′(1) = 2, por tanto el error es exacta- mente h.
22 Derivada del polinomio interpolador
Si observamos la derivada num´erica reci´en definida, podemos ver que es simplemente la pendiente de la secante por (x, f (x)) y (x + h, f (x + h)), es decir la derivada del polinomio interpolador de f en los nodos x, x + h. Podemos aproximar num´ericamente la deriva- da de una funci´on aproximando esta por medio de un polinomio interpolador y calculando la derivada de este ´ultimo.
Por ejemplo, sea P 2 el polinomio que interpola a f con nodos en los puntos x 0 = x − h, x 1 = x, x 2 = x + h; se obtiene
P 2 (t) =
(t − x 1 )(t − x 2 ) 2 h^2
f (x 0 )+
(t − x 0 )(t − x 2 ) −h^2
f (x 1 )+
(t − x 0 )(t − x 1 ) 2 h^2
f (x 2 ).
Por tanto,
P′ 2 (t) =
2 t − (x 1 + x 2 ) 2 h^2
f (x 0 )+
2 t − (x 0 + x 2 ) −h^2
f (x 1 )+
2 t − (x 0 + x 1 ) 2 h^2
f (x 2 );
en particular
P′ 2 (x 1 ) =
x 2 − x 1 2 h^2
f (x 0 )+
(x 1 − x 0 ) + (x 1 − x 2 ) −h^2
f (x 1 )+
x 1 − x 0 2 h^2
f (x 2 )
f (x 2 ) − f (x 1 ) 2 h
Es decir,
f ′(x 1 ) ≈
f (x 1 + h) − f (x 1 − h) 2 h
que representa una especie de media entre la derivada hacia ade- lante ^ (h > 0) y la derivada hacia atr´as ^ (h < 0) de la anterior.
¿C´omo estimar el error en P′ n(x)?
Teorema 5. Sea f ∈ Cn+2([a, b]) y sea Pn(t) el polinomio interpo- lador de f con nodos x 0 ,... , xn ∈ [a, b]; ∀t ∈ [a, b], ∃ξ 1 , ξ 2 ∈ [a, b] tales que
f ′(t) − P′ n(t) = Ln(t)
f (n+2)(ξ 1 ) (n + 2)!
f (n+1)(ξ 2 ) (n + 1)!
donde Ln(t) = (t − x 0 )(t − x 1 ) · · · (t − xn).
Demostraci´on. El error en Pn viene dado por
Pn(t) − f (t) = −Ln(t)f [x 0 , x 1 ,... , xn, t]
por tanto,
E(t) = Pn′(t) − f ′(t)
= −L′ n(t)f [x 0 ,... , xn, t] + Ln(x)
d dt
f [x 0 ,... , xn, t]
= −L′ n(t)f [x 0 ,... , xn, t] + Ln(t)f [x 0 ,... , xn, t, t]
dado que f ∈ C(n+2), ∃ξ 1 , ξ 2 ∈ [a, b] tal que
E(x) = −L′ n(x)
f (n+1)(ξ 1 ) (n + 1)!
− Ln(x)
f (n+2)(ξ 2 ) (n + 2)!
dado que el polinomio de Taylor de f nos da:
f (x ± h) = f (x) ± f ′(x)h +
f ′′(x)h^2 ±
f ′′′(x)h^3 +
f ıv(ξ±)h^4 (23.1)
Despejando f ′(x) obtenemos
f ′(x) = (A + B + C)f (x) + h(−A + C)f ′(x) +
h^2 (A + C)f ′′(x)
h^3 (−A + C)f ′′′(x) +
h^4 (Af ıv(ξ−) + Cf ıv(ξ+)).
Si identificamos coeficientes obtenemos el sistema
A + B + C = 0
− A + C =
h A + C = 0,
cuya soluci´on es A = −C = − (^21) h , B = 0; por tanto
f ′(x) ≈
f (x + h) − f (x − h) 2 h
= Dhf (x);
f ′(x) − Dhf (x) =
h^3 48
[f ıv(ξ−) + f ıv(ξ+)]
Ejemplo 23.2. Queremos deducir una derivada segunda de la forma
D h^2 f (x) = Af (x − 2 h) + Bf (x − h) + Cf (x + h) + Df (x + 2h).
Para ello, junto con (23.1) utilizamos
f (t± 2 h) = f (t)± 2 hf ′(t)+2h^2 f ′′(t)±
h^3 f ′′′(t)+
h^4 (f ıv(ζ 1 )+f ıv(ζ 2 )) (23.2)
De ellas resulta que
f ′′(t) = (A+B+C+D)f (t)+h(− 2 A−B+C+2D)f ′(t)+
h^2 2
(4A+B+C+4D)f ′′(t)
h^3 6
(− 8 A−B+C+8D)f ′′′(t)+
h^4 24
(16Af ıv(ζ−)+Bf ıv(ξ−)+Cf ıv(ξ+)+16Df ıv(ζ+))
lo que da el sistema lineal
A + B + C + D = 0 − 2 A − B + C + 2D = 0
4 A + B + C + 4D =
h^2 − 8 A − B + C + 8D = 0
que resuelto proporciona
D h^2 f (x) =
f (x − 2 h) − f (x − h) − f (x + h) + f (x + 2h) 3 h^2
con error
h^2 72
[16f ıv(ζ−) − f ıv(ξ−) − f ıv(ξ+) + 16f ıv(ζ+)].
24 Estabilidad Num´erica
Si observamos todas las reglas de derivaci´on num´erica que hemos deducido, veremos que consisten en un cociente de dos n´umeros que cuando h (distancia entre nodos) tiende a cero es de la forma 0
- De ello resulta que cuando^ h^ es muy peque˜no vamos a tener una p´erdida de significaci´on en el numerador amplificada por la divisi´on por hk. Esto hace que, dada una cierta precisi´on en los c´alculos, habr´a un h ´optimo que nos dar´a la precisi´on m´axima en el c´alculo de la derivada num´erica.
Supongamos que ε es la precisi´on relativa de nuestros c´alculos (di- gamos ε ≈ 10 −^16 , como ocurre con Matlab). Vamos a estudiar qu´e sucede con la derivada num´erica
Dhf (x) =
f (x + h) − f (x − h) 2 h
En su c´alculo con la m´aquina tenemos
D˜hf (x) =
f˜ (x + h) − f˜ (x − h) 2 h
donde f˜ (x − h) = (1 + ε 2 )f (x − h); f˜ (x + h) = (1 + ε 1 )f (x + h); (|εi| ≤ ε, i = 1, 2), por tanto
D˜hf (x) − f ′(x) = ε^1 f^ (x^ +^ h)^ −^ ε^2 f^ (x^ −^ h) 2 h
dado que |Dhf (x) − f ′(x)| ≤ 16 h^2 sup |f ′′| resulta
∣ ∣ ∣ D˜hf (x) − f ′(x)
∣ ≤^ sup^ |f^ |^
ε h
es decir
E(h) = | D˜hf (x) − f ′(x)| ≤ C 1
ε h
para buscar el E m´ınimo hacemos E′(h) = 0, es decir 2C 2 h −
C 1 εh−^2 = 0, que tiene soluci´on h = 3
C 1 2 C 2 ε.^ Como esperamos que tanto C 1 como C 2 tengan un valor moderado , h ≈ C 3
ε (si trabajamos con Matlab, h ≈ 10 −^5 ).
