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C´alculo Num´erico I
Interpolaci´on
El objeto de este cap´ıtulo es el estudio de t´ecnicas que permitan manejar una funci´on dada por medio de otra sencilla y bien deter- minada que la aproxime en alg´un sentido.
El lector ya conoce la aproximaci´on que de una funci´on de clase Ck+1^ proporciona su polinomio de Taylor de orden k en torno a un punto. Sabemos que, en general, esta aproximaci´on es buena cerca del punto dado. Sin embargo, si queremos obtener una buena aproximaci´on de la funci´on en todo un intervalo tenemos que re- currir a otras t´ecnicas.
Estudiaremos en primer lugar la interpolaci´on polin´omica y m´as adelante la interpolaci´on por medio de polinomios osculadores y por splines.
Algunas otras posibilidades que no estudiaremos: interpolaci´on por funciones racionales, ajuste por m´ınimos cuadrados, series de Fourier, wavelets.
12 Interpolaci´on polin´omica
Sea f (x) una funci´on, que en todo este cap´ıtulo supondremos al menos continua, definida sobre un intervalo [a, b ]. Ya sea porque el calcular los valores de f requiere un cierto trabajo ya porque la funci´on f no es totalmente conocida —digamos que podemos calcular experimentalmente unos cuantos valores de f — queremos sustituir f por una funci´on sencilla con la propiedad de coincidir con f en ciertos puntos de [a, b ]. Nos ocuparemos en principio del caso en el que la funci´on sencilla que buscamos es un polinomio del menor grado posible. Si el n´umero de puntos distintos del intervalo [a, b ] sobre los que queremos que el polinomio coincida con la funci´on es de k + 1 entonces siempre podremos encontrar un polinomio de grado k.
13 Forma de Lagrange
Teorema 3 (Existencia y unicidad). Dados (x 0 , y 0 ), (x 1 , y 1 ),
... , (xn, yn), puntos de R^2 verificando la propiedad de que, si i 6 = j, xi 6 = xj , existe un ´unico polinomio Pn de grado menor o igual que n que verifica ∀i = 0, 1 ,... , n, Pn(xi) = yi.
Demostraci´on. Obs´ervese primero que para cada j es muy f´acil construir un polinomio Lj (x) de grado menor o igual que n que tiene ceros en los puntos xi, i 6 = j, i = 0, 1 ,... , n; sea ´este por ejemplo
∏n i=0,i 6 =j (x^ −^ xi).^ Si adem´as queremos que tome un de- terminado valor en xj no tendremos m´as que multiplicarlo por la constante adecuada:
Lj (x) =
∏n ∏i=0,i^6 =j^ (x^ −^ xi) n i=0,i 6 =j (xj^ −^ xi)
toma el valor 1 en x = xj.
A partir de estos polinomios Lj es muy f´acil construir el polinomio
buscado. Este ser´´ a
Pn(x) =
∑^ n
j=
yj Lj (x).
Esta es la llamada forma de Lagrange del polinomio interpolador.^ ´
La unicidad del polinomio interpolador se deduce del teorema fun- damental del ´algebra de la siguiente manera: si Q fuese otro poli- nomio interpolador de grado menor o igual que n entonces la dife- rencia P − Q tendr´ıa n + 1 ceros distintos x 0 , x 1 ,... xn, siendo un polinomio de grado n, y por tanto ser´ıa id´enticamente nula.
La demostraci´on que hemos dado es una demostraci´on constructiva del polinomio interpolador. En el siguiente ejemplo utilizamos este m´etodo para construir el polinomio interpolador pedido.
Ejemplo 13.1. Hallar el polinomio interpolador de los puntos (− 1 , 3), (0, −2), (2, 4).
Construiremos Li(x), i = 0, 1 , 2 tales que Li(xj ) = δij (delta de Kronecker) con xj = − 1 , 0 , 2 para j = 0, 1 , 2 respectivamente.
L 0 (x) =
x(x − 2) (−1)(−3)
L 1 (x) =
(x + 1)(x − 2) 1(−2)
L 2 (x) =
(x + 1)x 3 · 2
entonces se observa que el coeficiente principal C = ax n^0 ,...,xn ser´a igual a la siguiente combinaci´on de los coeficientes principales de los otros dos:
ax n^0 ,...,xn=
ax n^1 −,...,x 1 n− ax n^0 −,...,x 1 n−^1 xn − x 0
Los coeficientes ak se ir´an entonces calculando comenzando por los a 0 : ax 0 i = f (xi)
y a partir de ellos iteradamente
a xi,xj 1 =^
ax 0 j− ax 0 i xj − xi
f (xj ) − f (xi) xj − xi
def = f [xi, xj ]
ax 2 i ,xj^ ,xk=
f [xj , xk] − f [xi, xj ] xk − xi
def = f [x i, xj , xk]
y en general
ax k^0 ,...,xk=
f [x 1 ,... , xk] − f [x 0 ,... , xk− 1 ] xk − x 0
def = f [x 0 ,... , xk]
Por esta raz´on las f [x 0 ,... , xk] reciben el nombre de diferencias divididas de Newton de orden k de la funci´on f con nodos en los puntos x 0 ,... , xk. Las diferencias divididas de orden cero son sim- plemente los valores de la funci´on en los nodos.
15 Acotaci´on del error
Si los yi son los valores de una funci´on f en los respectivos xi llamaremos a P el polinomio interpolador de f con nodos en los puntos xi. El polinomio P coincide con la funci´on f en los puntos xi y nos gustar´ıa saber cual es la desviaci´on entre ambos en cualquier otro punto. Tratemos de evaluar esta desviaci´on en un punto x = t. Observemos que la funci´on error E(x) = P(x) − f (x) tiene ceros en los puntos x 0 ,... , xn y por tanto coincidir´a sobre ellos con el polinomio L(x) = C(x − x 0 )(x − x 1 ) · · · (x − xn). Tomando un valor adecuado de la constante C podemos hacer que ambas funciones E y L coincidan tambi´en en el punto t. Supongamos que la funci´on f es de clase Cn+1. Su diferencia L(x) − E(x) tiene n + 2 ceros distintos x 0 , x 1 ,... , xn, t y por tanto la derivada de orden n + 1 de esta diferencia tiene al menos un cero ξ en el intervalo m´as peque˜no I(x 0 , x 1 ,... , xn, t) que contiene a estos puntos.
dn+ dxn+^
(L(x) − E(x))
∣x=ξ = C(n + 1)! + f (n+1)(ξ) = 0
y por tanto
C = −
f (n+1)(ξ) (n + 1)!
as´ı
E(t) = P(x) − f (x) = −
f (n+1)(ξ) (n + 1)!
(t − x 0 )(t − x 1 ) · · · (t − xn)
y esta f´ormula del error es v´alida para todo t, teniendo en cuenta que el punto ξ depende de t. Si se quiere una acotaci´on v´alida en todo un intervalo bastar´a tomar una cota superior de f (n+1)^ en este intervalo.
En todo el desarrollo que precede hemos demostrado el siguiente teorema.
Teorema 4. Sea f una funci´on de clase Cn+1^ en un intervalo [a, b ] de la recta. Sea P el polinomio interpolador de f con nodos en los puntos x 0 ,... , xn∈ [a, b ]. Entonces para todo t ∈ [a, b ] existe ξ ∈ I(x 0 ,... , xn, t) tal que I(x 0 ,... , xn) es el menor intervalo de R que contiene a todos los xi, i = 0 ,... , n. f (t) − P(t) =
(t − x 0 )(t − x 1 ) · · · (t − xn) (n + 1)!
f (n+1)(ξ)
Si la funci´on f no es derivable se puede obtener una f´ormula del error an´aloga de la siguiente manera: fijamos el punto x en el que queremos estimar el error y hallamos el polinomio Pn+1 que inter- pola a f en los nodos x 0 ,... , xn, y x. La forma de Newton para el polinomio interpolador nos da
Pn+1(t) = Pn(t) + f [x 0 ,... , xn, x](t − x 0 )(t − x 1 ) · · · (t − xn)
y por tanto
f (x)−Pn(x) = Pn+1(x)−Pn(x) = f [x 0 ,... , xn, x](x−x 0 ) · · · (x−xn).
De todo lo visto hasta ahora podemos deducir las siguientes propiedades de las diferencias divididas.
f [x 0 ,... , xn] =
∑^ n
i=
f (xi) ∏n j=0,j 6 =i(xi^ −^ xj^ )
- Para toda permutaci´on (i 0 , i 1 ,... , in) de (0, 1 ,... , n)
f [x 0 ,... , xn] = f [xi 0 ,... , xin ].
- Si f ∈ Cn[a, b] entonces
lim x 0 ,...,xn→x f [x 0 ,... , xn] =
f (n)(x) n!
siempre que x 0 ,... , xn, x ∈ [a, b ].
Tambi´en podemos analizar por separado su m´aximo en el intervalo [−^12 h, 12 h]. Este es´ 169 h^4 ; por tanto en este intervalo
|E(x)| ≤
M h^4 , donde ahora M = sup ξ∈[x 0 ,x 3 ]
|f iv(ξ)|.
16 Interpolaci´on osculatoria
Recordemos una de las formas en las que se obtiene el polinomio de Taylor: dada una funci´on f , de clase n, y su valor y los valores de sus n primeras derivadas en un punto x 0 hallar el polinomio del menor grado posible que tiene estos mismos valores. Escribiendo el polinomio en funci´on de sus coeficientes (por simplicidad, en potencias de x − x 0 ) podemos determinarlos con los n + 1 datos y por tanto el polinomio tendr´a grado menor o igual que n.
Si en el la f´ormula de Newton del polinomio interpolador de n + 1 puntos hacemos que todos ellos tiendan a uno, sea este x 0 , observa- mos, dadas las propiedades de las diferencias divididas, que nuestro polinomio se convierte en el de Taylor.
Podemos imaginar cualquier situaci´on intermedia en la que agru- pemos los nodos en varias clases y todos los correspondientes a una clase tiendan a uno dado. Obtenemos as´ı un polinomio interpo- lador osculador , llamado tambi´en polinomio de Hermite en el cual polinomio interpolador osculador se tienen un cierto n´umero de nodos y en cada uno de estos se cono- polinomio de Hermite cen los valores de las derivadas hasta un cierto orden. El grado de este polinomio ser´ıa una unidad menor a la suma de los ´ordenes de las derivadas que se conocen en cada nodo. Por ejemplo, si tenemos nodos xi, i = 1,... , k, y el n´umero de derivadas conocidas en xi es ni, entonces el grado del polinomio interpolador osculador ser´a n 1 + n 2 + · · · + nk − 1. Los casos del polinomio interpolador ordi- nario (llamado tambi´en polinomio de Lagrange) y del polinomio de Taylor son los extremales de esta situaci´on.
Vamos a estudiar un s´olo caso particular de polinomio interpolador osculador: aquel en el que en cada nodo conocemos el valor de la funci´on y el valor de su primera derivada. De hecho vamos a estudiar solamente el caso en el cual tenemos dos nodos: x 0 , x 1. En este caso al tener cuatro datos el polinomio osculador ser´a de grado menor o igual que tres; suele denominarse polinomio c´ubico de Hermite. Podemos plantear el sistema de ecuaciones polinomio c´ubico de Hermite
a+bx 0 + cx^20 +dx^30 = f (x 0 ) a+bx 1 + cx^21 +dx^31 = f (x 1 ) b+ 2 cx 0 +3dx^20 = f ′(x 0 ) b+ 2 cx 1 +3dx^21 = f ′(x 1 );
tambi´en podemos partir de la forma de Newton del polinomio inter- polador y concentrar los cuatro nodos dos a dos sobre x 0 , x 1. Las diferencias divididas de primer orden sobre puntos que convergen al mismo nodo convergen a la derivada de forma que una colecci´on de diferencias divididas puede calcularse seg´un la siguiente tabla
x 0 f (x 0 ) f ′(x 0 ) x 0 f (x 0 )
f [x 0 , x 1 ] − f ′(x 0 ) x 1 − x 0 f [x 0 , x 1 ]
f ′(x 1 ) − 2 f [x 0 , x 1 ] + f ′(x 0 ) (x 1 − x 0 )^2 x 1 f (x 1 )
f ′(x 1 ) − f [x 0 , x 1 ] x 1 − x 0 f ′(x 1 ) x 1 f (x 1 )
Ejemplo 16.1. Polinomio osculador que interpola a la funci´on f (x) con datos f (0) = f (π) = 0, f ′(0) = 1, f ′(π) = −1 (estos datos corresponden a la funci´on sen x. Las diferencias divididas relevantes son: f (0) = 0, f [0, 0] = f ′(0) = 1, f [0, 0 , π] = − 1 /π, f [0, 0 , π, π] = 0, por lo que el polinomio buscado es P (x) = x − x^2 /π.
Una acotaci´on del error en este polinomio puede calcularse por medio de la misma f´ormula que en el caso del polinomio interpolador ordinario, repitiendo ahora los nodos: |ε(x)| ≤ (^) 4!^1 sup |f (4)(x)||(x − x 0 )^2 (x − x 1 )^2 |.
En el ejemplo anterior, sabido que la funci´on interpolada es sen x, se obtiene la cota (^) 4!^1 (π/2)^4 ≤ 0 ′ 26
17 Splines
En todo lo anterior hemos aproximado una funci´on dada por medio de un polinomio de un cierto grado en todo un intervalo. Obser- vando cualquiera de las f´ormulas de error que hemos obtenido se ve que ´este depende de la longitud del intervalo [a, b ]. Por ejem- plo, si el grado del polinomio es 2, una cota superior grosera del error ser´a proporcional a ((b− 2 a))^3. As , una estrategia para encon- trar una aproximaci´on a la funci´on f podr a ser la de subdividir el intervalo de partida [a, b ] y hallar en cada uno de los subinterva- los resultantes un polinomio interpolador de grado bajo en vez de aumentar el grado del polinomio interpolador en todo [a, b ].
El procedimiento anterior tiene el defecto de que si bien la funci´on global resultante es continua, en los puntos de uni´on de subinter- valos consecutivos no ser´a, generalmente derivable. Si se quiere conseguir una funci´on de aproximaci´on que sea de orden Cl^ y que
peculiar, que se justifica enseguida al tomar valores en los extremos.
s′ i(x) = (^12)
(x − xi)^2 xi− 1 − xi
Mi− 1 + (^12)
(x − xi− 1 )^2 xi − xi− 1
Mi + Ai + Bi
si(x) =
(x − xi)^3 xi− 1 − xi
Mi− 1 +
(x − xi− 1 )^3 xi − xi− 1
Mi +Ai(x−xi− 1 )+Bi(x−xi)
Si tomamos valores en los extremos:
f (xi− 1 ) =
(xi− 1 − xi)^2 Mi− 1 + (xi− 1 − xi)Bi
f (xi) =
(xi − xi− 1 )^2 Mi + (xi − xi− 1 )Ai
Y de estas expresiones obtenemos
Bi =
f (xi− 1 ) xi− 1 − xi
(xi− 1 − xi)Mi− 1
Ai =
f (xi) xi − xi− 1
(xi − xi− 1 )Mi
El sistema de ecuaciones que tenemos que resolver para determinar las Mi lo obtenemos ahora de las condiciones que nos faltan por usar: las derivadas primeras a la izquierda y a la derecha en cada uno de los nodos interiores xi, i = 1, 2 ,... , n − 1, coinciden.
s′ i(xi) = s′ i+1(xi)
s′ i(xi) = 12 (xi − xi− 1 )Mi + Ai + Bi s′ i+1(xi) = 12 (xi − xi+1)Mi + Ai+1 + Bi+
Por tanto
1 6
(xi − xi− 1 )Mi− 1 +
(xi+1 − xi− 1 )Mi +
(xi+1 − xi)Mi+
f (xi+1) − f (xi) xi+1 − xi
f (xi) − f (xi− 1 ) xi − xi− 1
Para i = 1, 2 ,... , n−1. Se obtiene as´ı un sistema de n−1 ecuaciones y n + 1 inc´ognitas que queda por tanto indeterminado. Requerimos a˜nadir dos ecuaciones m´as para tener todas las si definidas.
Como se indica en el ejemplo 17.2, una de las formas de a˜nadir estas dos ecuaciones extra es poniendo M 0 = 0 y Mn = 0. Se obtiene as´ı el llamado spline c´ubico natural.
Otra soluci´on es la del ejemplo 17.3, que consiste en prescribir los valores de las derivadas primeras en los extremos del intervalo: f ′(x 0 ) y f ′(xn). El resultado as´ı obtenido se denomina spline c´ubico completo.
Se deja como ejercicio el obtener las dos ecuaciones resultantes en los Mi que completan el sistema lineal.
