Derivadas Implícitas, Plano Tangente y Aproximación Lineal, Diapositivas de Cálculo Avanzado

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DERIVADA IMPLÍCITA, PLANO

TANGENTE, APROXIMACIÓN

LINEAL

domingo, 11 de febrero de 2024

TEMAS A TRATAR

1. DERIVADA IMPLÍCITA

2. PLANO TANGENTE A UNA SUPERFICIE

3. LINEALIZACIÓN Y APROXIMACIÓN LINEAL

4. DIFERENCIALES

EJEMPLO

Determine

𝑑𝑦 𝑑𝑥

si 𝑒

𝑦

y úsela para determinar la ecuación de la recta

tangente en (𝜋, − 1 )

4 En este caso se tiene que: 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑒 𝑦 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑥 − 𝑥𝑦 = 0 de donde 𝐹𝑥 = 𝑒 𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 − 𝑦 𝐹𝑦 = 𝑒 𝑦 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑥 Por lo tanto, 𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝐹𝑥 𝐹𝑦

𝑒 𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥− 1 −𝑦 𝑒𝑦𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑥

−𝑒 𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥+ 1 +𝑦 𝑒𝑦𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑥 Evaluando en 𝜋, − 1 la derivada es 𝑚 = − 1 𝜋𝑒 la ecuación es 𝑦 − 𝑦 0 = 𝑚 𝑥 − 𝑥 0 𝑦 + 1 = − 1 𝜋𝑒 𝑥 − 𝜋 o 𝑦 = − 1 𝜋𝑒

1 𝑒

DERIVADAS IMPLÍCITAS EN ℝ

3 Con 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) se puede definir 𝑧 como una función implícita con una expresión de la forma 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 Esto es 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦)) = 0 para todo (𝑥, 𝑦) en el dominio de 𝑓 Aplicando la regla de la cadena 𝜕𝐹 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥

𝜕𝐹 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥

𝜕𝐹 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 0 así 𝜕𝐹 𝜕𝑥

𝜕𝐹 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 0 con lo que 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = − 𝜕𝐹 𝜕𝑥 𝜕𝐹 𝜕𝑧 = − 𝐹𝑥 𝐹𝑧 Análogamente: 𝜕𝐹 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦

𝜕𝐹 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦

𝜕𝐹 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 0 así 𝜕𝐹 𝜕𝑦

𝜕𝐹 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 0 con lo que 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = − 𝜕𝐹 𝜕𝑦 𝜕𝐹 𝜕𝑧 = − 𝐹𝑦 𝐹𝑧

PLANO TANGENTE A UNA SUPERFICIE

7

• Por un punto 𝑃 de una superficie pasan infinitas rectas tangentes a ella
• Sin embargo, hay dos rectas características definidas por las derivadas 𝑓𝑥 y 𝑓𝑦 en el punto 𝑃 Así 𝑓 es una función con derivadas parciales continuas, una ecuación del plano tangente a la superficie de 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) en el punto 𝑃 (𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑧 0 ) está dada por: 𝑧 − 𝑧 0 = 𝑓𝑥(𝑥 0 , 𝑦 0 ) 𝑥 − 𝑥 0 + 𝑓𝑦(𝑥 0 , 𝑦 0 ) 𝑦 − 𝑦 0 Algunos textos prefieren escribirlo de la manera: 𝑧 − 𝑧 0 = 𝑓𝑥 ቚ 𝑃

𝑃

EJEMPLO

Determinar la ecuación del plano tangente a la superficie 𝑧 = 9 𝑥 2

• 4 𝑦 2 En el punto 1 9

1 4

13 36 En este caso 𝑓𝑥 = 18𝑥, 𝑓𝑥 = 8𝑦 𝑓𝑥 ቚ 𝑃

𝑃

𝑧 − 𝑧 0 = 𝑓𝑥 ቚ 𝑃 𝑥 − 𝑥 0 + 𝑓𝑦 ቚ 𝑃 𝑦 − 𝑦 0 𝑧 −

LINEALIZACIÓN Y APROXIMACIÓN LINEAL

10 Si se considera el plano tangente a 𝑓(𝑥, 𝑦) en el punto 𝑃 (𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑧 0 ), con ecuación: 𝑧 − 𝑧 0 = 𝑓𝑥 ȁ𝑃 𝑥 − 𝑥 0 + 𝑓𝑦 ห 𝑃 𝑦 − 𝑦 0 éste puede ser reescrito como 𝑧 = 𝑓 ቚ 𝑥 𝑃 𝑥 − 𝑥 0

• 𝑓 ቚ 𝑦 𝑃 𝑦 − 𝑦 0
• 𝑧 0 Por lo que la linealización 𝑓(𝑥, 𝑦) en 𝑃 (𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑧 0 ) está dada por: 𝐿 𝑥, 𝑦 = 𝑓 ቚ 𝑥 𝑃 𝑥 − 𝑥 0
• 𝑓 ቚ 𝑦 𝑃 𝑦 − 𝑦 0
• 𝑧 0 Y en la vecindad de 𝑃 la aproximación lineal es 𝑓 𝑥, 𝑦 ≈ 𝑓𝑥 ቚ 𝑃 𝑥 − 𝑥 0 + 𝑓𝑦 ቚ 𝑃 𝑦 − 𝑦 0 + 𝑓(𝑥 0 , 𝑦 0 ) Nota: El concepto se puede extender a n dimensiones aún cuando no se tenga una representación geométrica de ello.

EJEMPLO

Determinar linealización de 𝑓(𝑥, 𝑦) =

En 0 , 0 , 0 𝑓𝑥 =

2

𝑃

2

𝑃

La linealización será 𝐿 𝑥, 𝑦 = 2 𝑥 − 0 + 3 𝑦 − 0 + 0 𝐿 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 + 3𝑦 Y la aproximación lineal está dada por 𝑓 𝑥, 𝑦 ≈ 2𝑥 + 3𝑦 En una vecindad de ( 0 , 0 , 0 )

EJEMPLO:

Imagen adaptada de le- topographe via Wunderstock La tension 𝑇 de la cuerda del yoyo en la figura está dada por 𝑇 = 𝑚𝑔𝑅 2 𝑟^2 +𝑅^2 siendo 𝑚 la masa y 𝑔 la gravedad. Utilice diferenciales para estimar el cambio en la tensión si 𝑅 se incrementa de 5 a 5. 1 𝑐𝑚 y 𝑟 se incrementa de 1. 2 a 1. 3 𝑐𝑚 ¿Crece o decrece 𝑇? 𝑇(𝑟, 𝑅) entonces 𝑑𝑇 = 𝑇𝑅 𝑟, 𝑅 𝑑𝑅 + 𝑇𝑟 𝑟, 𝑅 𝑑𝑟 Ahora: 𝑇𝑅 = 𝑚𝑔 2 𝑟 2 −𝑅 2 ( 2 𝑟^2 +𝑅^2 )^2 y 𝑇𝑟 = − 4 𝑚𝑔𝑟𝑅 ( 2 𝑟^2 +𝑅^2 )^2 Y ∆𝑅 = 0. 1 𝑐𝑚 ∆𝑟 = 0. 1 𝑐𝑚 y 𝑃 es ( 1. 2 , 5 ) ∆𝑇 ≈ 𝑇𝑅 1. 2 , 5 ∆𝑅 + 𝑇𝑟 1. 2 , 5 ∆𝑟 ∆𝑇 ≈ − 0 ,00599𝑚𝑔 (decrece la tensión)

EJEMPLO:

Si 𝑅 es la resistencia total de tres resistores 𝑅 1 , 𝑅 2 , 𝑅 3 conectados en paralelo está dada por: 1 𝑅

Si cada resistor se mide como 𝑅 1 = 20 Ω, 𝑅 2 = 40 Ω , 𝑅 3 = 80 Ω , en cada uno de ellos su posible error (tolerancia) es de 0. 5 %. ¿Cuál es el error máximo en el valor calculado de 𝑅? Imagen tomada de http://www.sysrecon.com/ Reescribiendo 𝑅 − 1 = 𝑅 1 − 1

• 𝑅 2 − 1
• 𝑅 3 − 1 Haciendo el diferencial −𝑅 − 2 ∆𝑅 = −𝑅 1 − 2 ∆𝑅 1 −𝑅 2 − 2 ∆𝑅 2 −𝑅 3 − 2 ∆𝑅 3 Con la información dada: 𝑅 = 80 7

Así: ∆𝑅 = 𝑅 2 ∆𝑅 1 𝑅 1

2 +^

∆𝑅 2 𝑅 2

2 +^

∆𝑅 3 𝑅 3 2 por lo que ∆𝑅 = 2 35

SOBRE ESTAS

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José Luis Puello Correo de contacto: [email protected] El contenido de estas diapositivas puede ser reutilizado siempre que se dé crédito a los autores, se distribuya con los mismos derechos y no se use con fines comerciales. http://creativecommons.org/licens es/by-nc-sa/4.