UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL BUENOS AIRES
FISICA II
Z–2154
Año 2011
CLASE 7
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Asignatura: Física, Profesor: , Carrera: Ingeniería Eléctrica, Universidad: UNIRIOJA
Tipo: Apuntes
2014/2015
1 / 17
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL BUENOS AIRES
FISICA IIZ–2154Año 2011CLASE 7
Física II – UTN – FRBA
CLASE 7:
Ley de Gauss – Conductores
Página 2 de 17
Líneas de campo eléctrico
E E
Física II – UTN – FRBA
CLASE 7:
Ley de Gauss – Conductores
Página 4 de 17
×^
A = A n ×^
ˆn
Flujo de un campo vectorial
(^
)^
(^
)^
(^
)
Un campo vectorial E
E^
,^
,^
, E
,^
,^
, E
,^
,^
define
el vector E para todo punto ( ,
x^
y^
z
x y z
x y z
x y z
x y z
^
=^
^
^
Una
superficie plana
de área A se puede representar por un vector
A
normal a dicha superficie.
Tomando una superficie A pequeña, donde se puede considerar a
E
como uniforme,
se define
el flujo del campo
E
a través de la superficie
A
como:
= E A
n
Donde A
= A cosn
θ^
es la proyección de
A
normal a
E
Entonces, se puede poner al flujo
como:
n
= E A
= E A cos
θ^
= E A
Φ^
Habiendo elegido el Nº de líneas N que representan al campotales que
n^
n
n^
n
N^
N
E A
A
A^
A^
N
E^
^
∝^
∝^
^
^
Calcular el
flujo de
E
a través de una superfi
cie, equivale a evaluar
la cantidad de líneas de campo que
atraviesan esa superficie
^
A mayor superficie
mayor cantidad de líneas
^
A mayor densidad de líneas
mayor intensidad de
E
mayor cantidad de líneas
× × × × ×
E
×
×^ ×
×
×
A θθθθ
A
An
Física II – UTN – FRBA
CLASE 7:
Ley de Gauss – Conductores
Página 5 de 17
Flujo de un campo eléctrico
Flujo de
E
a través de
dA
^
:^
d^
= E. dA Φ
Flujo de
E
a través de toda la superficie A:
Sup.A
=^
E. dA
∫∫
E
dA
Superficie
A
Física II – UTN – FRBA
CLASE 7:
Ley de Gauss – Conductores
Página 7 de 17
Flujo a través de cualquier superficie cerrada A’
(^
)
A'
ya no es
=^
E. dA'
E^
dA'
A'
∫∫
^
^
^
Tomando una superficie esférica A,
el Nº
de líneas que atraviesan
A
es necesaria-
mente el mismo que atraviesa
A’
0
A'^
A
q
E. dA'
E. dA
ε
=^
∫∫^
∫∫ ^
^
Si la superficie
no encierra la carga
(superficie A” de la figura), entonces:
A"
E. dA"
∫∫^
Salen las mismas líneas que entran.
Sup.
A’
Sup.
A”
Sup.
A
q
E
Física II – UTN – FRBA
CLASE 7:
Ley de Gauss – Conductores
Página 8 de 17
Flujo del campo eléctrico de varias cargas. Ley de Gauss
(^
)
1
2
3
A^
A
E. dA
E^
E^
E^
. dA
=^
+^
+^
∫∫
∫∫ ^
^
^
^
1
2
1
2
3
0
0
A^
A^
A
q^
q
E^
. dA
E^
. dA
E^
. dA
ε^
ε
=^
+^
+^
=^
+^
∫∫
∫∫^
∫∫
^
^
^
^
Sólo las cargas encerradas por la sup. A contribuyen al flujo
ΦΦΦΦ.
Ley de Gauss EL flujo de un campo eléctrico a través de una superficie cerrada cualquiera (A), es igual a lacarga neta encerrada por la superficie, dividida por
εεεε^0
0
0
A
1
Q
E. dA
q
ε^
enc ε
i i ^
=^
^
^
∑
∫∫
q^3
q^1
q^2
dA
1
2
3
E^
E^
E^
E
=^
+^
^
^
^
Sup.
A
Física II – UTN – FRBA
CLASE 7:
Ley de Gauss – Conductores
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Aplicaciones de la Ley de Gauss. Problema 32
Conociendo la
forma del campo eléctrico
cercano a la
placa, se elige una
superficie Gaussiana
adecuada
El campo
E
es necesariamente
uniforme
en proximida-
des de una placa uniformemente cargada con
σσσσ
1
2 1
2
Cubo
A^
A^
A
por ser E
A
0
E.dA
E.dA
E.dA
E.dA Lat
Lat^ Lat ⊥
=
=^
+^
∫∫
∫∫^
∫∫^
∫∫
^
^
^
^
^
^
Queda entonces:
(^
)
1
2
1
2 (A
A
A)
0
0
Q^
σ^ A
E A
E A
E^
2A
ε^
ε
enc
=^
=
+^
=^
=^
Es decir:
σ^0
E^
=^
(resultado ya obtenido en el problema 27)
E
+^
+^
+^
+^
+^
+^
A^1 A^2
E
A
Lat
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CLASE 7:
Ley de Gauss – Conductores
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Problema 33
Conociendo la
forma del campo eléctrico
cercano a la línea,
se elige una
superficie Gaussiana
adecuada
El campo
E
es necesariamente uniforme en proximidades de
una línea uniformemente cargada con
λλλλ
1
2 1
2
1
2
Cilindro
A^
A^
S
por ser E
A
y A
0
E.dA
E.dA
E.dA
E.dS Lat
Lat
⊥
=
+^
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
^
^
^
^
^
^
^
Queda entonces:
(^
)^
0
0
Q^
λ^ L
E S
E^
2 π
r L
ε^
ε enc
Lat
=^
=^
Es decir:
0
λ^
E^
r
=^
(resultado ya obtenido en el problema 26)
E
A^1
A^2
S Lat λλλλ
L
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CLASE 7:
Ley de Gauss – Conductores
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Campo eléctrico en conductores. Distribución de cargas ^
Modelo de
material conductor
gas de electrones
(casi)
libres
, confinado en el volumen del conductor.
^
Ante la presencia de un campo
E
dentro del conductor,
las cargas libres experimentan una fuerza
F = q E
^
Una situación
electrostática
es, por definición, aquella en la cual las cargas
no tienen movimiento neto
^
Por lo tanto, en electrostática, el campo eléctrico en todo punto del conductor es necesariamente cero
E = 0
^
Cuando en un conductor
se coloca un exceso de carga
, luego de un tiempo muy breve,
las cargas en exceso
estarán en reposo y se ubicarán todas en la superficie del material
0
SG
Q
E.dA
enc ε
∫∫
En efecto, tomando una superficie Gaussiana adentro del conductor, al ser
E = 0
,
entonces Q
enc
Deformando la SG adentro del conductor, el resultado en el mismo.Entonces,
no puede haber carga en exceso en ningún punto dentro de un
conductor sólido
Toda carga excedente debe encontrarse en la superficie
Las cargas se distribuyen de forma tal de anular el campo en el interior
+^
+^
+^
+
+
**+
- +**
+
+^
+^
+
+
+^ + + SG
Q
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CLASE 7:
Ley de Gauss – Conductores
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Carga inducida
Al acercar un cuerpo cargado con Q a un conductorneutro, los e
-^ migran hacia la izquierda atraídos por Q.
En el extremo derecho se acumula la misma cantidad decarga Q.El balance de carga en el conductor sigue siendo neutroEstas cargas se llaman
cargas inducidas
El proceso finaliza cuando un e
-^ atraído por Q, es también rechazado por las cargas negativas de la izquierda.
La situación final de
equilibrio electrostático
es que
E = 0
en el interior del conductor.
El campo de las cargas inducidas anula el campo de la carga inductora en el interior del conductor.
+ Q^
–Q
Q
+^ +^ **+ +
- +**
- - – – –^ -
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CLASE 7:
Ley de Gauss – Conductores
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Problema 38
0
SG
Q
E.dA
enc ε
∫∫^
a) r <
a^
Tomo una SG1 esférica de radio r <
a
(^
2 )
0
0
SG
Q^
Q
E.dA
E 4
π^
r^
ε^
ε enc
=^
=^
∫∫^
2 Q^0
E^
(r <
4 π ε
r
a
b)
a^
< r <
b^
Tomo una SG2 esférica de radio r en (
a,b
0
0
SG20 ya que E=
Q^
Q^
Q
E.dA
ε^
Q^
Q
enc ε
i
i
n
d
d
n
=
−
−
=^
=^
=^
∫∫^
Q induce una carga
Q
−^ ind
en la superficie interior de la cavidad.
c) r >
b^
Tomo una SG3 esférica de radio r >
b
La inducción de
Q
−^ ind
va necesariamente acompañada de la inducción
de
Q
+^ ind
en la superficie exterior del conductor.
(^
2 )
0
0
SG
Q^
q^
Q
E.dA
E 4
π^
r^
ε^
ε
enc^
- ind
=^
=^
∫∫^
2 0 q^
Q
E^
(r >
)
4 π ε
ind r
b
=
SG
3 SG
2
SG
1
a
b^
Q + q^
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+ +
+
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